第1节 导数的概念、几何意义及运算-【金版教程】2025年高考数学一轮复习解决方案全书word（新教材，基础版）

金版教程 高考科学复习解决方案 数学 第一节　导数的概念、几何意义及运算 课标解读 考向预测 1.了解导数概念的实际背景，能通过函数图象直观理解导数的几何意义. 2.能根据导数的定义求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的导数. 3.能利用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，会求简单复合函数(限于形如f(ax＋b))的导数. 从近三年高考情况来看，本节是高考中的必考内容．预计2025年高考会以客观题的形式考查导数的定义、求曲线的切线方程．导数的几何意义也可能会作为解答题中的一问进行考查，试题难度属中、低档. 必备知识——强基础 1．平均变化率 对于函数y＝f(x)，把比值，即＝叫做函数y＝f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率． 2．瞬时速度 一般地，如果物体的运动规律可以用函数s＝s(t)来描述，那么，物体在时刻t的瞬时速度v就是物体在t到t＋Δt这段时间内，当Δt无限趋近于0时，无限趋近的常数． 3．瞬时变化率 定义式 ＝ 实质 瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0时，平均变化率趋近的值 作用 刻画函数在某一点处变化的快慢 4.导数的概念 一般地，函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是 ＝ ，我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝ ＝ . 注意：函数y＝f(x)在x＝x0处的导数是y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率． 5．导函数的概念 如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的每一点都是可导的，则称f(x)在区间(a，b)内可导．这样，对开区间(a，b)内的每一个值x，都对应一个确定的导数f′(x)，于是在区间(a，b)内f′(x)构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数y＝f(x)的导函数(简称导数)，记为f′(x)或y′，即f′(x)＝y′＝． 6．导数的几何意义 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)，就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率k0，即k0＝f′(x0)． 7．基本初等函数的导数公式 函数 导数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xα(α∈R，且α≠0) f′(x)＝αxα－1 f(x)＝sinx f′(x)＝cosx f(x)＝cosx f′(x)＝－sinx f(x)＝ax(a>0，且a≠1) f′(x)＝axln a f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax(a>0，且a≠1) f′(x)＝ f(x)＝ln x f′(x)＝ 8.导数的运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)． (2)[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)． (3)′＝(g(x)≠0)． 9．复合函数的导数 一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． 1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数． 2．求曲线y＝f(x)的切线方程的类型及方法 (1)已知切点P(x0，y0)，求y＝f(x)在点P处的切线方程：求出切线的斜率f′(x0)，由点斜式写出方程． (2)已知切线的斜率为k，求y＝f(x)的切线方程：设切点P(x0，y0)，通过方程k＝f′(x0)解得x0，再由点斜式写出方程． (3)已知切线上一点(非切点)，求y＝f(x)的切线方程：设切点P(x0，y0)，利用导数求得切线斜率f′(x0)，再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x0，最后由点斜式或两点式写出方程． (4)若曲线的切线与已知直线平行或垂直，求曲线的切线方程时，先由平行或垂直关系确定切线的斜率k，再由k＝f′(x0)求出切点坐标P(x0，y0)，最后写出切线方程． (5)①在点P处的切线即是以P为切点的切线，P一定在曲线上； ②过点P的切线即切线过点P，P不一定是切点．因此在求过点P的切线方程时，应首先检验点P是否在已知曲线上． 1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．(　　) (2)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．(　　) (3)f′(x0)＝[f′(x0)]′.(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)× 2．小题热身 (1)(人教A选择性必修第二册5.1.1 T3改编)一质点运动的方程为s＝5－3t2，若该质点在时间段[1，1＋Δt]内相应的平均速度为－3Δt－6，则该质点在t＝1时的瞬时速度是(　　) A．－3 B．3 C．6 D．－6 答案　D (2)设f(x)＝e＋ln 2的导函数为f′(x)，则f′(1)的值为(　　) A．0 B．e C． D． 答案　D (3)(人教A选择性必修第二册习题5.2 T3改编)已知函数f(x)＝x(2024＋ln x)，若f′(x0)＝2025，则x0＝(　　) A．e2 B．1 C．ln 2 D．e 答案　B (4)(人教A选择性必修第二册5.2.1练习T3改编)余弦曲线y＝cosx在点处的切线方程为________． 答案　y＝－x＋ 解析　因为y＝cosx，则y′＝－sinx，可得曲线y＝cosx在点处的切线斜率为k＝－1，则曲线y＝cosx在点处的切线方程为y＝－x＋. (5)求下列函数的导数． ①y＝2x＋log2x；②y＝； ③y＝(3x＋1)2ln (3x)；④y＝3xe－3x. 解　①y′＝2xln 2＋. ②y′＝ ＝. ③y′＝[(3x＋1)2]′ln (3x)＋(3x＋1)2· [ln (3x)]′＝6(3x＋1)·ln (3x)＋. ④y′＝(3x)′e－3x＋3x(e－3x)′＝3xe－3xln 3－3·3xe－3x. 考点探究——提素养 考点一　导数的概念及运算 例1(1)(2024·江苏连云港一中高三上月考)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且f′(1)＝a， ＝1－a，则实数a的值为(　　) A．－2 B．－ C． D．2 答案　D 解析　由题意，得 ＝－ ＝－a，所以－a＝1－a，解得a＝2.故选D. (2)(多选)下列结论中错误的是(　　) A．若y＝cos，则y′＝－sin B．若y＝sinx2，则y′＝2xcosx2 C．若y＝cos5x，则y′＝－sin5x D．若y＝xsin2x，则y′＝xsin2x 答案　ACD 解析　对于A，y＝cos，则y′＝sin，故A错误；对于B，y＝sinx2，则y′＝2xcosx2，故B正确；对于C，y＝cos5x，则y′＝－5sin5x，故C错误；对于D，y＝xsin2x，则y′＝sin2x＋xcos2x，故D错误．故选ACD. 【通性通法】 1．根据导数的定义求函数y＝f(x)在点x0处导数的方法 (1)求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)． (2)求平均变化率＝. (3)得导数f′(x0)＝ ，简记作：一差、二比、三极限． 2．函数的导数与导数值的区别与联系 导数是原来函数的导函数，而导数值是导函数在某一点的函数值，导数值是常数． 【巩固迁移】 1．(多选)下列求导数的运算中正确的是(　　) A．′＝1－ B．(3ln x)′＝ C．′＝ D．(x2cosx)′＝－2xsinx 答案　AB 解析　对于A，x′＝1，′＝(x－1)′＝－x－2＝－，相加即可，故A正确；对于B，系数不变，只对ln x求导即可，即(3ln x)′＝，故B正确；对于C，由除法求导公式，得′＝＝，故C错误；对于D，由乘法求导公式，得(x2cosx)′＝2xcosx－x2sinx，故D错误．故选AB. 2．(2023·重庆市第八中学高三适应性月考(三))已知函数f(x)的导数为f′(x)，且满足f(x)＝ex－2f′(0)sinx＋1，则f＝________． 答案　e＋ 解析　因为f′(x)＝ex－2f′(0)cosx，所以f′(0)＝e0－2f′(0)cos0，解得f′(0)＝，所以f＝e－sin＋1＝e＋. 考点二　导数的几何意义及其应用(多考向探究) 考向1导数与函数的图象 例2　函数f(x)的图象如图所示，则下列结论正确的是(　　) A．f′(1)>f′(2)>0>f′(3) B．f′(1)<f′(2)<f′(3)<0 C．0<f′(1)<f′(2)<f′(3) D．f′(1)>f′(2)>f′(3)>0 答案　D 解析　如图，作出函数在x＝1，2，3处的切线l1，l2，l3，可见三条切线的斜率依次递减，但是都大于零，由导数的几何意义可知，f′(1)>f′(2)>f′(3)>0.故选D. 【通性通法】 函数f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线的斜率．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)． 【巩固迁移】 3．函数y＝f(x)的图象如图所示，下列不等关系正确的是(　　) A．0<f′(2)<f′(3)<f(3)－f(2) B．0<f′(2)<f(3)－f(2)<f′(3) C．0<f′(3)<f(3)－f(2)<f′(2) D．0<f(3)－f(2)<f′(2)<f′(3) 答案　C 解析　如图所示，根据导数的几何意义，可得f′(2)表示切线l1的斜率k1>0，f′(3)表示切线l3的斜率k3>0，又由平均变化率的定义，可得＝f(3)－f(2)，表示割线l2的斜率k2，结合图象，可得0<k3<k2<k1，即0<f′(3)<f(3)－f(2)<f′(2)．故选C. 考向2求切点的坐标 例3已知曲线f(x)＝x3－x＋3在点P处的切线与直线x＋2y－1＝0垂直，则点P的坐标为(　　) A．(1，3) B．(－1，3) C．(1，3)或(－1，3) D．(1，－3) 答案　C 解析　设切点P(x0，y0)，∵f′(x)＝3x2－1，直线x＋2y－1＝0的斜率为－，∴f′(x0)＝3x－1＝2，∴x＝1，∴x0＝±1，又切点P(x0，y0)在曲线y＝f(x)上，∴y0＝x－x0＋3，∴当x0＝1时，y0＝3；当x0＝－1时，y0＝3，∴切点P的坐标为(1，3)或(－1，3)． 【通性通法】 已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数，再让导数等于切线的斜率，从而求出切点的横坐标，将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标． 【巩固迁移】 4．在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝ln x上，且该曲线在点A处的切线经过点(－e，－1)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标是________． 答案　(e，1) 解析　设点A(x0，y0)，则y0＝ln x0.又y′＝，当x＝x0时，y′＝，则曲线y＝ln x在点A处的切线方程为y－y0＝(x－x0)，即y－ln x0＝－1，代入点(－e，－1)，得－1－ln x0＝－1，即x0ln x0＝e.令H(x)＝xln x，当x∈(0，1)时，H(x)<0，当x∈(1，＋∞)时，H(x)>0，且H′(x)＝ln x＋1，当x>1时，H′(x)>0，H(x)单调递增，注意到H(e)＝e，故x0ln x0＝e存在唯一的实数根x0＝e，此时y0＝1，故点A的坐标为(e，1)． 考向3求切线的方程 例4　(1)曲线y＝在点(－1，－3)处的切线方程为________． 答案　5x－y＋2＝0 解析　因为y′＝＝，所以曲线y＝在点(－1，－3)处的切线的斜率k＝5，故所求切线方程为y＋3＝5(x＋1)，即5x－y＋2＝0. (2)(2022·新高考Ⅱ卷)曲线y＝ln |x|过坐标原点的两条切线的方程为________，________． 答案　y＝x　y＝－x 解析　当x＞0时，y＝ln x，设切点为(x0，ln x0)，由y′＝，得y′|x＝x0＝，所以切线方程为y－ln x0＝(x－x0)，又切线过坐标原点，所以－ln x0＝(－x0)，解得x0＝e，所以切线方程为y－1＝(x－e)，即y＝x；当x＜0时，y＝ln (－x)，设切点为(x1，ln (－x1))，由y′＝，得y′|x＝x1＝，所以切线方程为y－ln (－x1)＝(x－x1)，又切线过坐标原点，所以－ln (－x1)＝(－x1)，解得x1＝－e，所以切线方程为y－1＝(x＋e)，即y＝－x. 【通性通法】 注意：“待定切点法”——如果已知点(x1，y1)不在曲线上，则设出切点(x0，y0)，解方程组得切点(x0，y0)，进而确定切线方程． 【巩固迁移】 5．若经过点P(2，8)作曲线y＝x3的切线，则切线方程为(　　) A．12x－y－16＝0 B．3x－y＋2＝0 C．12x－y＋16＝0或3x－y－2＝0 D．12x－y－16＝0或3x－y＋2＝0 答案　D 解析　易知点P在曲线y＝x3上，y′＝3x2，当点P为切点时，切线斜率k＝12，切线方程为12x－y－16＝0.当点P不是切点时，设切点为A(x0，y0)，由定义可求得切线的斜率为k＝3x.∵点A在曲线上，∴y0＝x，∴＝3x，∴x－3x＋4＝0，∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得x0＝－1或x0＝2(舍去)，∴y0＝－1，k＝3，此时切线方程为y＋1＝3(x＋1)，即3x－y＋2＝0.故经过点P作曲线的切线有两条，方程为12x－y－16＝0或3x－y＋2＝0.故选D. 考向4求参数的值或取值范围 例5 　(2023·河南郑州高三第二次质量预测)已知曲线y＝xln x＋ae－x在点x＝1处的切线方程为2x－y＋b＝0，则b＝(　　) A．－1 B．－2 C．－3 D．0 答案　C 解析　由题意，得y′＝ln x＋1－ae－x，根据导数的几何意义可知，在点x＝1处的切线斜率为1－＝2，解得a＝－e，所以切点为(1，－1)，代入切线方程可得2＋1＋b＝0，解得b＝－3.故选C. 【通性通法】 1．利用导数的几何意义求参数的基本方法 利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，进而求出参数的值或取值范围． 2．求解与导数的几何意义有关问题时应注意的两点 (1)注意曲线上横坐标的取值范围． (2)谨记切点既在切线上又在曲线上． 【巩固迁移】 6．(2022·新高考Ⅰ卷)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________． 答案　(－∞，－4)∪(0，＋∞) 解析　因为y＝(x＋a)ex，所以y′＝(x＋a＋1)ex.设切点为A(x0，(x0＋a)ex0)，O为坐标原点，依题意得，切线斜率kOA＝(x0＋a＋1)ex0＝，化简，得x＋ax0－a＝0.因为曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，所以关于x0的方程x＋ax0－a＝0有两个不同的根，所以Δ＝a2＋4a＞0，解得a＜－4或a＞0，所以a的取值范围是(－∞，－4)∪(0，＋∞)． 考点三　两曲线的公切线问题 例6　设曲线y＝ln x与y＝(x＋a)2有一条斜率为1的公切线，则a＝(　　) A．－1 B．－ C． D． 答案　B 解析　因为y＝ln x，所以y′＝，又因为切线的斜率为1，所以y′＝＝1，解得x＝1，y＝0，所以切线方程为y＝x－1.因为y＝(x＋a)2，所以y′＝2x＋2a＝1，解得x＝－a，代入切线方程得y＝－－a，再将代入y＝(x＋a)2，解得a＝－.故选B. 【通性通法】 解决两曲线的公切线问题的两种方法 (1)利用其中一曲线在某点处的切线与另一曲线相切，列出关系式求解． (2)设公切线l在曲线y＝f(x)上的切点P1(x1，f(x1))，在曲线y＝g(x)上的切点P2(x2，g(x2))，则f′(x1)＝g′(x2)＝. 【巩固迁移】 7．(2023·江西南昌模拟)已知曲线y＝x＋ln x在点(1，1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a＝(　　) A．4 B．8 C．2 D．1 答案　B 解析　y＝x＋ln x的导数为y′＝1＋，曲线y＝x＋ln x在x＝1处的切线斜率k＝2，则曲线y＝x＋ln x在x＝1处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.由于切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，联立得ax2＋ax＋2＝0，又a≠0，两曲线相切有一切点，所以Δ＝a2－8a＝0，解得a＝8.故选B. 课时作业 一、单项选择题 1.(2023·辽宁抚顺六校协作体高三上学期期中考试)现有一个圆柱形空杯子，盛液体部分的底面半径为2 cm，高为8 cm，用一个注液器向杯中注入溶液，已知注液器向杯中注入的溶液的容积V(单位：mL)关于时间t(单位：s)的函数解析式为V＝πt3＋3πt2(t≥0)，不考虑注液过程中溶液的流失，则当t＝2时，杯中溶液上升高度的瞬时变化率为(　　) A．4 cm/s B．5 cm/s C．6 cm/s D．7 cm/s 答案　C 解析　由题意，杯子的底面积为S＝4π，则溶液上升高度h＝＝，所以h′＝，则h′|t＝2＝6 cm/s.故选C. 2．(2024·湖南长沙长郡中学高三上月考(四))已知函数f(x)＝2cosx－f′sinx，则f′＝(　　) A． B．－ C．2 D．－2 答案　B 解析　因为f(x)＝2cosx－f′sinx，所以f′(x)＝－2sinx－f′cosx，故f′＝－2sin－f′cos，即f′＝－－f′，所以f′＝－.故选B. 3．(2023·全国甲卷)曲线y＝在点处的切线方程为(　　) A．y＝x B．y＝x C．y＝x＋ D．y＝x＋ 答案　C 解析　设曲线y＝在点处的切线方程为y－＝k(x－1)，因为y＝，所以y′＝＝，所以k＝y′|x＝1＝，所以y－＝(x－1)，所以曲线y＝在点处的切线方程为y＝x＋.故选C. 4．(2024·河北邢台六校联考高三上学期第一次月考)下列求导运算正确的是(　　) A．′＝cos B．(x2sin3x)′＝2xsin3x＋x2cos3x C．(tanx)′＝ D．[ln (2x－1)]′＝ 答案　C 解析　对于A，′＝0，A错误；对于B，(x2sin3x)′＝(x2)′sin3x＋x2(sin3x)′＝2xsin3x＋3x2cos3x，B错误；对于C，(tanx)′＝′＝＝，C正确；对于D，[ln (2x－1)]′＝×2＝，D错误．故选C. 5．(2023·安徽六安新安中学模拟)若函数f(x)＝ln x＋ax的图象存在斜率为2的切线，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，2] B．[2，＋∞) C．(－∞，2) D．(2，＋∞) 答案　C 解析　由题意，函数f(x)＝ln x＋ax的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝＋a.函数f(x)＝ln x＋ax的图象存在斜率为2的切线，即＋a＝2在(0，＋∞)上有解，即a＝2－在(0，＋∞)上有解．因为x>0，所以>0，则－<0，2－<2，所以a<2，即实数a的取值范围是(－∞，2)．故选C. 6．(2024·河南南阳阶段考试)设点P，Q分别是曲线y＝xe－x(e是自然对数的底数)和直线y＝x＋3上的动点，则P，Q两点间距离的最小值为(　　) A． B． C． D． 答案　B 解析　由题意，曲线y＝xe－x上的动点P和直线y＝x＋3上的动点Q间的距离的最小值，即曲线y＝xe－x上与直线y＝x＋3平行的切线与直线y＝x＋3之间的距离．由y＝可得y′＝，令y′＝1，解得x＝0.当x＝0时，y＝0，点P(0，0)，因此P，Q两点间距离的最小值，即为点P(0，0)到直线y＝x＋3的距离，dmin＝＝.故选B. 7．已知函数f(x)＝ex，直线y＝kx与函数f(x)的图象有两个交点，则实数k的取值范围为(　　) A． B．(，＋∞) C．(e，＋∞) D． 答案　D 解析　当过原点的直线y＝kx与函数f(x)的图象相切时，设切点为P，由f′(x)＝ex，可得过点P的切线方程为y－em＝em(x－m)，代入点(0，0)可得－em＝－mem，解得m＝1，此时切线的斜率为e，由函数f(x)的图象可知，若直线y＝kx与函数f(x)的图象有两个交点，实数k的取值范围为.故选D. 8．(2023·江苏南通模拟)已知过点A(a，0)作曲线y＝(1－x)ex的切线有且仅有1条，则a＝(　　) A．－3 B．3 C．－3或1 D．3或1 答案　C 解析　设切点为(x0，(1－x0)ex0)，由已知得y′＝－xex，则切线斜率k＝－x0ex0，切线方程为y－(1－x0)ex0＝－x0ex0(x－x0)，直线过点A(a，0)，则－(1－x0)ex0＝－x0ex0(a－x0)，化简得x－(a＋1)x0＋1＝0，切线有且仅有1条，即Δ＝(a＋1)2－4＝0，解得a＝－3或1.故选C. 二、多项选择题 9．函数y＝g(x)在区间[a，b]上连续，对[a，b]上任意两点x1，x2(x1≠x2)，g<时，我们称函数g(x)在[a，b]上“严格上凹”．若用导数的知识可以简单地解释为原函数的导函数的导函数(二阶导函数)在给定区间内恒为正，即g″(x)>0.下列所列函数在所给定义域上“严格上凹”的是(　　) A．f(x)＝log2x(x>0) B．f(x)＝2e－x＋x C．f(x)＝－x3＋2x(x<0) D．f(x)＝sinx－x2(0<x<π) 答案　BC 解析　由题意可知，若函数在所给定义域上“严格上凹”，则满足f″(x)>0在定义域内恒成立．对于A，f(x)＝log2x(x>0)，则f″(x)＝′＝－·<0在x>0时恒成立，故A不符合题意；对于B，f(x)＝2e－x＋x，则f″(x)＝(－2e－x＋1)′＝2e－x>0恒成立，故B符合题意；对于C，f(x)＝－x3＋2x(x<0)，则f″(x)＝(－3x2＋2)′＝－6x>0在x<0时恒成立，故C符合题意；对于D，f(x)＝sinx－x2(0<x<π)，则f″(x)＝(cosx－2x)′＝－sinx－2<0在0<x<π时恒成立，故D不符合题意．故选BC. 10．已知函数f(x)的导数为f′(x)，若存在x0，使得f(x0)＝f′(x0)，则称x0是f(x)的一个“巧值点”，则下列函数中有“巧值点”的是(　　) A．f(x)＝x2 B．f(x)＝ C．f(x)＝ln x D．f(x)＝ 答案　ABC 解析　对于A，f′(x)＝2x，令x2＝2x，得x＝0或x＝2，有“巧值点”；对于B，f′(x)＝－，令＝－，得x＝－1，有“巧值点”；对于C，f′(x)＝，令ln x＝，结合y＝ln x，y＝的图象，知方程ln x＝有解，即有“巧值点”；对于D，f′(x)＝，令＝，得sin2x＝2，无解，无“巧值点”．故选ABC. 11．(2023·江苏南京模拟)已知函数y＝f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程是x－2y＋1＝0，若g(x)＝xf(x)，则下列各式成立的是(　　) A．f(1)＝1 B．f′(1)＝1 C．f(x)＝x2＋ D．g′(1)＝ 答案　AD 解析　对于A，由题意知，点(1，f(1))在直线x－2y＋1＝0上，所以f(1)＝1，故A正确；对于B，函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程是x－2y＋1＝0，所以f′(1)＝，故B错误；对于C，f(x)＝x2＋，虽然满足f(1)＝1，f′(1)＝，但该函数只是一种特殊情况，该函数还可以为f(x)＝，也满足f(1)＝1，f′(1)＝，故C错误；对于D，由题得g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，所以g′(1)＝f(1)＋f′(1)＝1＋＝，故D正确．故选AD. 三、填空题 12．(2024·安徽亳州第一中学高三上学期第二次月考)已知函数f(x)＝ax－ln x，且 ＝3，则曲线f(x)在(1，f(1))处的切线方程是________． 答案　y＝x＋1 解析　由 ＝3＝3，得f′(1)＝1，而f′(x)＝a－，所以a＝2，f(x)＝2x－ln x，f(1)＝2，所以切线方程为y－2＝x－1，即y＝x＋1. 13．(2023·黑龙江牡丹江联考)已知函数f(x)＝x2＋2f′(1)ln x，则f′(1)＝________． 答案　－2 解析　因为f(x)＝x2＋2f′(1)ln x，所以f′(x)＝2x＋，则f′(1)＝2＋2f′(1)，故f′(1)＝－2. 14．(2023·河南信阳高级中学高三上学期期末)已知函数f(x)＝|ex－1|.若存在x1，x2∈(－a，a)(x1<x2，a>0)，使得曲线y＝f(x)在x＝x1，x＝x2处的切线互相垂直，则实数a的取值范围为________． 答案　(ln 4，＋∞) 解析　f(x)＝f′(x)＝若存在x1，x2∈(－a，a)(x1<x2，a>0)，使得曲线y＝f(x)在x＝x1，x＝x2处的切线互相垂直，根据导数的几何意义可知，f′(x1)f′(x2)＝－1，且x1<x2，所以－a<x1<0<x2<a，则ex2·＝－1，e x1+ x2＝4，因为－a<x1＋x2<a，e－a<e x1+ x2<ea，所以解得a>ln 4.故实数a的取值范围为(ln 4，＋∞)． 15．(2023·江苏扬州高邮市第一中学等2校高三上学期期末联考)若曲线y＝x3－2x2＋m与曲线y＝4x2＋1有一条过原点的公切线，则m的值为________． 答案　8或－ 解析　因为过原点斜率不存在的直线为x＝0，该直线与曲线y＝4x2＋1不相切，所以设曲线y＝4x2＋1过原点的切线的方程为y＝kx，切点为B(x2，y2)，则k＝8x2，k＝，y2＝4x＋1，所以x2＝±.当x2＝时，k＝4，所以直线y＝4x与曲线y＝x3－2x2＋m相切，设切点为A(x1，y1)，则y1＝4x1，3x－4x1＝4，y1＝x－2x＋m，所以x1＝－或x1＝2，当x1＝－时，m＝－，当x1＝2时，m＝8；当x2＝－时，k＝－4，所以直线y＝－4x与曲线y＝x3－2x2＋m相切，设切点为C(x3，y3)，则y3＝－4x3，3x－4x3＝－4，y3＝x－2x＋m，满足方程3x－4x3＝－4的解不存在，故m不存在．所以m＝8或m＝－. 16．已知函数f(x)＝ln x＋－x(a>0)． (1)当a＝1时，求曲线f(x)在x＝2处的切线方程； (2)当a≥3时，曲线f(x)上存在分别以A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))为切点的两条互相平行的切线，求x1＋x2的取值范围． 解　(1)当a＝1时，f(x)＝2ln x＋－x，f(2)＝2ln 2－1，f′(x)＝－－1， 所以f′(2)＝－，即切线的斜率k＝－， 所以曲线f(x)在x＝2处的切线方程为y－(2ln 2－1)＝－(x－2)， 即x＋2y－4ln 2＝0. (2)由题意知f′(x1)＝f′(x2)，f′(x)＝－－1，即－－1＝－－1， 整理得＝－， 因为x1≠x2， 所以·＝1， 所以x1＋x2＝(x1＋x2)·＝·>＝， 令g(a)＝a＋， 则g′(a)＝1－＝， 因为a≥3，g′(a)>0， 所以g(a)在[3，＋∞)上单调递增， 所以g(a)≥g(3)＝3＋＝，即a＋≥， 所以≤＝， 即＝， 所以x1＋x2>，即x1＋x2的取值范围为. 17 学科网（北京）股份有限公司 $$