第4节 幂函数与二次函数-【金版教程】2025年高考数学一轮复习解决方案全书word（新教材，基础版）

金版教程 高考科学复习解决方案 数学 第四节　幂函数与二次函数 课标解读 考向预测 1.通过具体实例，结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数. 2.掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值等). 以幂函数的图象与性质的应用为主，常与指数函数、对数函数交汇命题；以二次函数的图象与性质的应用为主，常与方程、不等式等知识交汇命题，着重考查函数与方程、转化与化归及数形结合思想，题型一般为选择题、填空题，中档难度．预计2025年高考对于幂函数的考查最多出一道选择题，以幂函数的图象和性质应用为主．对于二次函数的考查一般与其他知识综合，题型一般为选择题、填空题，中档难度. 必备知识——强基础 1．幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． (2)在同一坐标系中的五个幂函数的图象 (3)幂函数的性质 ①幂函数在(0，＋∞)上都有定义； ②当α＞0时，幂函数的图象都过点(0，0)和(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α＜0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减； ④当α为奇数时，y＝xα为奇函数；当α为偶数时，y＝xα为偶函数． 2．二次函数解析式的三种形式 一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)； 顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)； 两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)． 3．二次函数的图象和性质 解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0) 图象 定义域 R R 值域 单调性 在上单调递减；在上单调递增 在上单调递增；在上单调递减 对称性 函数的图象关于直线x＝－对称 1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝－x是幂函数．(　　) (2)当α<0时，幂函数y＝xα在定义域内单调递减．(　　) (3)若幂函数y＝xα是偶函数，则α为偶数．(　　) (4)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的两个零点确定，则二次函数的解析式确定．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．小题热身 (1)已知幂函数f(x)的图象过点，则f(4)的值是(　　) A．64 B．4 C. D. 答案　D (2)(北师大版必修第一册1.4.2例4改编)若一次函数y＝ax＋b的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y＝ax2＋bx的图象可能是(　　) 答案　C 解析　因为一次函数y＝ax＋b的图象经过第二、三、四象限，所以a<0，b<0，所以二次函数y＝ax2＋bx的图象开口向下，对称轴为直线x＝－<0，且过原点．故选C. (3)已知α∈，若幂函数f(x)＝xα为奇函数，且在(0，＋∞)上单调递增，则α＝________． 答案　1 解析　由y＝xα为奇函数，知α取－1，1，又y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，∴α>0，∴α＝1. (4)(人教B必修第二册4.4例1改编)已知a＝0.40.3，b＝0.30.3，c＝0.30.4，则a，b，c的大小关系是________(用“<”连接)． 答案　c<b<a 解析　由指数函数、幂函数的单调性可知，0.30.4<0.30.3，0.40.3>0.30.3，即c<b<a. 考点探究——提素养 考点一　幂函数的图象与性质 例1(1)若幂函数y＝x－1，y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则m与n的取值情况为(　　) A．－1<m<0<n<1 B．－1<n<0<m< C．－1<m<0<n< D．－1<n<0<m<1 答案　D 解析　幂函数y＝xα，当α>0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，且0<α<1时，图象上凸，∴0<m<1.当α<0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递减．不妨令x＝2，由图象得2－1<2n，则－1<n<0.综上，－1<n<0<m<1.故选D. (2)(2024·江苏连云港海滨中学高三学情检测)若幂函数f(x)＝(m2－2m－2)x－m2＋m＋3在(0，＋∞)上是减函数，则实数m＝________． 答案　3 解析　因为幂函数f(x)＝(m2－2m－2)x－m2＋m＋3在(0，＋∞)上是减函数，所以由m2－2m－2＝1，得m＝－1或m＝3.当m＝－1时，－m2＋m＋3＝－1－1＋3＝1>0，所以m＝－1舍去；当m＝3时，－m2＋m＋3＝－9＋3＋3＝－3<0，符合题意．综上，m＝3. 【通性通法】 (1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式． (2)对于幂函数的图象，需记住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x所分区域．根据α＜0，0＜α＜1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定． (3)在比较幂值的大小时，可结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较． (4)在区间(0，1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴(简记为“指大图高”)． 【巩固迁移】 1．(2023·皖淮联考)已知a＝2ln 2，b＝3－0.5，c＝2－0.4，则(　　) A．a>b>c B．a>c>b C．c>a>b D．c>b>a 答案　B 解析　因为2ln 2＝ln 4>ln e＝1，3－0.5<3－0.4<2－0.4<1，所以a>c>b.故选B. 2．(2023·江苏南京高三二模)幂函数f(x)＝xa(a∈R)满足：对任意x∈R有f(－x)＝f(x)，且f(－1)<f(2)<2.写出符合上述条件的一个函数：f(x)＝________． 答案　x (答案不唯一) 解析　取f(x)＝x，则定义域为R，且f(－x)＝(－x)＝x＝f(x)，f(－1)＝1，f(2)＝2＝，满足f(－1)<f(2)<2.故f(x)＝x满足题意． 考点二　二次函数的解析式 例2已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，则f(x)＝________． 答案　－4x2＋4x＋7 解析　解法一(利用“一般式”)：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由题意得解得∴所求二次函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7. 解法二(利用“顶点式”)：设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．∵f(2)＝f(－1)，∴函数图象的对称轴为直线x＝＝，∴m＝.又函数有最大值8，∴n＝8，∴y＝f(x)＝a＋8.∵f(2)＝－1，∴a＋8＝－1，解得a＝－4，∴f(x)＝－4＋8＝－4x2＋4x＋7. 解法三(利用“两根式”)：由已知得f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)，即f(x)＝ax2－ax－2a－1.又函数有最大值8，即＝8，解得a＝－4.∴所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7. 【通性通法】 根据已知条件确定二次函数的解析式，一般用待定系数法，选择规律如下： 【巩固迁移】 3．已知二次函数f(x)＝x2－bx＋c满足f(0)＝3，∀x∈R，都有f(1＋x)＝f(1－x)成立，则f(x)＝________． 答案　x2－2x＋3 解析　由f(0)＝3，得c＝3，又f(1＋x)＝f(1－x)，所以函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以＝1，即b＝2，所以f(x)＝x2－2x＋3. 考点三　二次函数的图象与性质(多考向探究) 考向1二次函数的图象 例3(多选)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分图象如图，图象过点A(－3，0)，对称轴为直线x＝－1，则下列四个结论中正确的是(　　) A．b2＞4ac B．2a－b＝1 C．a－b＋c＝0 D．5a＜b 答案　AD 解析　因为图象与x轴交于两点，所以b2－4ac＞0，即b2＞4ac，A正确；对称轴为直线x＝－1，即－＝－1，2a－b＝0，B错误；结合图象，当x＝－1时，y＞0，即a－b＋c＞0，C错误；因为2a－b＝0，即b＝2a，根据抛物线开口向下，知a＜0，所以5a＜2a，即5a＜b，D正确．故选AD. 【通性通法】 1．识别二次函数图象应学会“三看” 2．解决二次函数图象问题的基本方法 (1)排除法，抓住函数的特殊性质或特殊点． (2)讨论函数图象，依据图象特征，得到参数间的关系． 【巩固迁移】 4．设abc>0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是(　　) 答案　D 解析　因为abc>0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，对于A，a<0，b<0，c<0，不符合题意；对于B，a<0，b>0，c>0，不符合题意；对于C，a>0，b>0，c<0，不符合题意．故选D. 考向2二次函数的单调性 例4若函数f(x)＝x2＋a|x|＋2，x∈R在区间[3，＋∞)和[－2，－1]上均单调递增，则实数a的取值范围是(　　) A. B．[－6，－4] C．[－3，－2] D．[－4，－3] 答案　B 解析　∵f(x)为偶函数，∴f(x)在[1，2]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增，当x>0时，f(x)＝x2＋ax＋2，图象的对称轴为直线x＝－，∴2≤－≤3，解得－6≤a≤－4.故选B. 【通性通法】 解决二次函数单调性问题的基本方法 (1)二次函数的单调性在其图象对称轴的两侧不同，因此研究二次函数的单调性时要依据其图象的对称轴进行分类讨论． (2)若已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)在区间A上单调递减(单调递增)，则A⊆，即区间A一定在函数图象的对称轴的左侧(右侧)． 【巩固迁移】 5．若函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在区间[－1，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围为(　　) A．[－3，0) B．(－∞，－3] C．[－2，0] D．[－3，0] 答案　D 解析　当a＝0时，f(x)＝－3x＋1在[－1，＋∞)上单调递减，满足题意；当a≠0时，f(x)图象的对称轴为直线x＝.由f(x)在[－1，＋∞)上单调递减，知解得－3≤a＜0.综上，实数a的取值范围为[－3，0]．故选D. 考向3二次函数的最值 例5已知函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在区间[－1，2]上有最大值4，则实数a的值为________． 答案　或－3 解析　f(x)＝a(x＋1)2＋1－a.当a＝0时，函数f(x)在区间[－1，2]上的值为常数1，不符合题意，舍去；当a＞0时，函数f(x)在区间[－1，2]上单调递增，最大值为f(2)＝8a＋1＝4，解得a＝；当a＜0时，函数f(x)在区间[－1，2]上单调递减，最大值为f(－1)＝1－a＝4，解得a＝－3.综上可知，实数a的值为或－3. 【通性通法】 求二次函数在闭区间上最值的类型及策略 【巩固迁移】 6．设关于x的方程x2－2mx＋2－m＝0(m∈R)的两个实数根分别是α，β，则α2＋β2＋5的最小值为________． 答案　7 解析　由题意得且Δ＝4m2－4(2－m)≥0，解得m≤－2或m≥1，所以α2＋β2＋5＝(α＋β)2－2αβ＋5＝4m2＋2m＋1，令f(m)＝4m2＋2m＋1，而f(m)图象的对称轴为直线m＝－，且m≤－2或m≥1，所以f(m)min＝f(1)＝7. 课时作业 一、单项选择题 1.如图，①②③④对应四个幂函数的图象，其中①对应的幂函数可能是(　　) A．y＝x3 B．y＝x2 C．y＝x D．y＝x 答案　D 解析　根据题中函数图象可得①对应的幂函数y＝xα在[0，＋∞)上单调递增，且增长速度越来越慢，故α∈(0，1)，故D符合要求．故选D. 2．已知幂函数y＝f(x)的图象经过点(3，)，则f(x)(　　) A．是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 B．是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数 C．是奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数 D．是非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 答案　D 解析　设幂函数的解析式为y＝xα，将点(3，)的坐标代入解析式得3α＝，解得α＝，所以y＝x，函数的定义域为[0，＋∞)，是非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数．故选D. 3．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c，其中a>0，c<0，a＋b＋c＝0，则(　　) A．∀x∈(0，1)，都有f(x)>0 B．∀x∈(0，1)，都有f(x)<0 C．∃x∈(0，1)，使得f(x)＝0 D．∃x∈(0，1)，使得f(x)>0 答案　B 解析　由a>0，c<0，a＋b＋c＝0可知抛物线开口向上，f(0)＝c<0，f(1)＝a＋b＋c＝0，所以∀x∈(0，1)，都有f(x)<0.故选B. 4．(2024·甘肃武威十八中一诊)若函数f(x)＝ax2＋2x－1在区间(－∞，6)上单调递增，则实数a的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　当a＝0时，函数f(x)＝2x－1在R上单调递增，即a＝0符合题意；当a≠0时，由二次函数的性质知解得－≤a<0.综上，实数a的取值范围是.故选A. 5．(2024·江苏南京高三摸底)已知a＝2，b＝4，c＝25，d＝6，则(　　) A．b<a<d<c B．b<c<a<d C．c<d<b<a D．b<a<c<d 答案　D 解析　由题意得a＝2＝16，b＝4＝16，c＝25，d＝6＝36，因为幂函数y＝x在R上单调递增，所以a<c<d.又因为指数函数y＝16x在R上单调递增，所以b<a.故选D. 6．设函数f(x)＝x2＋x＋a(a>0)．已知f(m)<0，则(　　) A．f(m＋1)≥0 B．f(m＋1)≤0 C．f(m＋1)>0 D．f(m＋1)<0 答案　C 解析　因为f(x)图象的对称轴为直线x＝－，f(0)＝a>0，所以f(x)的大致图象如图所示，由f(m)<0，得－1<m<0.所以m＋1>0.所以f(m＋1)>f(0)>0.故选C. 7．已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，g(x)＝f(f(x))，若g(x)的值域为[2，＋∞)，f(x)的值域为[k，＋∞)，则实数k的最大值为(　　) A．0 B．1 C．2 D．4 答案　C 解析　设t＝f(x)，由题意可得g(x)＝f(t)＝at2＋bt＋c(t≥k)，函数y＝at2＋bt＋c，t≥k的图象为y＝f(x)的图象的部分，即g(x)的值域为f(x)的值域的子集，即[2，＋∞)⊆[k，＋∞)，可得k≤2，即实数k的最大值为2.故选C. 8．已知在(－∞，1]上单调递减的函数f(x)＝x2－2tx＋1，且对任意的x1，x2∈[0，t＋1]，都有|f(x1)－f(x2)|≤2，则实数t的取值范围是(　　) A．[－，] B．[1，] C．[2，3] D．[1，2] 答案　B 解析　由于f(x)＝x2－2tx＋1图象的对称轴为直线x＝t，又y＝f(x)在(－∞，1]上是减函数，所以t≥1，则在区间[0，t＋1]上，f(x)max＝f(0)＝1，f(x)min＝f(t)＝t2－2t2＋1＝－t2＋1，要使对任意的x1，x2∈[0，t＋1]，都有|f(x1)－f(x2)|≤2，只需1－(－t2＋1)≤2，解得－≤t≤.又t≥1，所以1≤t≤.故选B. 二、多项选择题 9.二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列说法正确的是(　　) A．2a＋b＝0 B．4a＋2b＋c<0 C．9a＋3b＋c<0 D．abc<0 答案　ACD 解析　由二次函数图象开口向下知a<0，图象的对称轴为直线x＝－＝1，即2a＋b＝0，故b>0，又因为f(0)＝c>0，所以f(2)＝f(0)＝4a＋2b＋c>0，f(3)＝f(－1)＝9a＋3b＋c<0，abc<0.故选ACD. 10．已知幂函数f(x)＝(m2－m－1)xm2＋m－3，对任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，都满足>0，若a，b∈R且f(a)＋f(b)<0，则下列结论可能成立的是(　　) A．a＋b>0且ab<0 B．a＋b<0且ab<0 C．a＋b<0且ab>0 D．以上都可能 答案　BC 解析　因为f(x)＝(m2－m－1)x m2＋m－3为幂函数，所以m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1.依题意f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以m＝2，此时f(x)＝x3，因为f(－x)＝(－x)3＝－x3＝－f(x)，所以f(x)＝x3为奇函数．因为a，b∈R且f(a)＋f(b)<0，所以f(a)<f(－b)，又y＝f(x)为增函数，所以a<－b，所以a＋b<0.故选BC. 三、填空题 11．已知函数f(x)为幂函数，且f(4)＝，则当f(a)＝4f(a＋3)时，实数a＝________． 答案　 解析　设f(x)＝xα，则4α＝，所以α＝－，因此f(x)＝x，从而a＝4(a＋3)，解得a＝. 12．已知二次函数f(x)的图象经过点(4，3)，且图象被x轴截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，则f(x)的解析式为________． 答案　f(x)＝x2－4x＋3 解析　∵f(2－x)＝f(2＋x)对任意x∈R恒成立，∴f(x)图象的对称轴为直线x＝2，又f(x)的图象被x轴截得的线段长为2，∴f(x)＝0的两根为1和3，设f(x)的解析式为f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)，∵f(x)的图象过点(4，3)，∴3a＝3，∴a＝1，∴所求函数的解析式为f(x)＝(x－1)(x－3)，即f(x)＝x2－4x＋3. 13．已知定义在R上的奇函数f(x)满足：当x≥0时，f(x)＝x3，若不等式f(－4t)＞f(2m＋mt2)对任意实数t恒成立，则实数m的取值范围是________． 答案　(－∞，－) 解析　由题意知，f(x)在R上是增函数，结合f(－4t)＞f(2m＋mt2)对任意实数t恒成立，知－4t＞2m＋mt2对任意实数t恒成立，∴mt2＋4t＋2m＜0对任意实数t恒成立， ∴∴m∈(－∞，－)． 14．(2024·浙江台州模拟)已知函数f(x)＝(x2－2x－3)(x2＋ax＋b)是偶函数，则f(x)的值域是________． 答案　[－16，＋∞) 解析　因为f(x)＝(x2－2x－3)(x2＋ax＋b)＝(x－3)(x＋1)(x2＋ax＋b)是偶函数，所以代入整理，得 解得所以f(x)＝(x2－2x－3)·(x2＋2x－3)＝(x2－3)2－4x2＝x4－10x2＋9＝(x2－5)2－16≥－16，所以f(x)的值域为[－16，＋∞)． 四、解答题 15．(2024·福建百校高三联考)已知幂函数f(x)＝(m2＋m－1)xm＋1在(0，＋∞)上是减函数． (1)求f(x)的解析式； (2)若(5－a)>(2a－1)，求实数a的取值范围． 解　(1)由幂函数的定义，知m2＋m－1＝1， 即m2＋m－2＝0，解得m＝－2或m＝1. 因为f(x)在(0，＋∞)上是减函数， 所以m＋1<0，即m<－1，则m＝－2. 故f(x)＝x－1＝. (2)由(1)可得m＝－2，设g(x)＝x， 则g(x)的定义域为(0，＋∞)，且g(x)在定义域上为减函数， 因为(5－a)>(2a－1)， 所以解得2<a<5. 故实数a的取值范围为(2，5)． 16．若函数y＝x2－4x－4的定义域为[0，a)，值域为[－8，－4]，则实数a的取值范围为________． 答案　(2，4] 解析　函数y＝x2－4x－4的图象如图所示，因为函数在[0，a)上的值域为[－8，－4]，结合图象可得2<a≤4，故实数a的取值范围为(2，4]． 17．已知幂函数f(x)＝(m－1)2xm2－4m＋2在(0，＋∞)上单调递增，函数g(x)＝2x－3t，对任意x1∈[1，5)，总存在x2∈[1，5)，使得f(x1)＝g(x2)，则t的取值范围是________． 答案　 解析　因为f(x)＝(m－1)2x m2－4m＋2为幂函数，则(m－1)2＝1，解得m＝0或m＝2.当m＝2时，f(x)＝x－2在(0，＋∞)上单调递减，舍去，故f(x)＝x2.当x∈[1，5)时，f(x)∈[1，25)，故g(5)＝25－3t≥25，所以t≤；g(1)＝2－3t≤1，所以t≥.综上所述，t的取值范围是. 18．(2024·福建福州高三模拟)已知二次函数f(x)＝ax2－x＋2a－1. (1)若f(x)在区间[1，2]上单调递减，求a的取值范围； (2)若a>0，设函数f(x)在区间[1，2]上的最小值为g(a)，求g(a)的表达式． 解　(1)当a>0时，f(x)＝ax2－x＋2a－1的图象开口向上，对称轴方程为x＝， 所以f(x)在区间[1，2]上单调递减需满足 解得0<a≤； 当a<0时，f(x)＝ax2－x＋2a－1的图象开口向下，对称轴方程为x＝<0， 所以f(x)在区间[1，2]上单调递减需满足a<0. 综上，a的取值范围是(－∞，0)∪. (2)①当0<≤1，即a≥时， f(x)在区间[1，2]上单调递增，此时g(a)＝f(1)＝3a－2； ②当1＜＜2，即＜a＜时， f(x)在区间上单调递减，在区间上单调递增， 此时g(a)＝f＝2a－－1； ③当≥2，即0<a≤时， f(x)在区间[1，2]上单调递减， 此时g(a)＝f(2)＝6a－3. 综上所述，g(a)＝ 14 学科网（北京）股份有限公司 $$