第3节 二次函数与一元二次方程、不等式-【金版教程】2025年高考数学一轮复习解决方案全书word（新教材，基础版）

金版教程 高考科学复习解决方案 数学 第三节　二次函数与一元二次方程、不等式 课标解读 考向预测 1.会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系. 2.会从实际情境中抽象出一元二次不等式，了解一元二次不等式的实际意义. 3.能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集. 4.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系. 二次函数、一元二次方程和一元二次不等式统称为“二次问题”，二次函数是解决“二次问题”的核心灵魂．对于高考，主要考查利用二次函数解决一元二次不等式，借助二次函数的图象利用数形结合写出有关不等式的解集或者是未知参数的取值范围．预计2025年高考对于二次函数的考查，还是以结合一元二次不等式为主，难度不会太大，比如集合部分和函数定义域部分的求解等，稍有难度的主要还是与数形结合出题，整体保持稳定. 必备知识——强基础 1．二次函数与一元二次方程、不等式解集的对应关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根 有两相异实根x1，x2(x1＜x2) 有两相等实根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集 {x|x>x2或x<x1} R ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2} ∅ ∅ 2.分式不等式 (1)>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)． (2)≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0． 3．简单的绝对值不等式 |x|>a(a>0)的解集为(－∞，－a)∪(a，＋∞)，|x|<a(a>0)的解集为(－a，a)． 1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)不等式－x2－x＋6＞0的解集是{x|x＜－3或x＞2}．(　　) (2)不等式≥2等价于x－1≥2x＋6.(　　) (3)不等式x2－a≤0的解集是[－，]．(　　) (4)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c，关于x的不等式f(x)<0的解集为(－1，3)，则f(4)>f(0)>f(1)．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．小题热身 (1)(人教B必修第一册2.2.3练习B T1改编)已知集合A＝{0，1，2，4}，B＝{x|x2－6x＋5<0}，则A∩B＝(　　) A．{0，1，2，3，4} B．{1，2，4} C．{0，1} D．{2，4} 答案　D 解析　由题意，得B＝{x|x2－6x＋5<0}＝{x|1<x<5}，所以A∩B＝{2，4}．故选D. (2)设m＋n>0，则关于x的不等式(m－x)(n＋x)>0的解集是(　　) A．{x|x<－n或x>m} B．{x|－n<x<m} C．{x|x<－m或x>n} D．{x|－m<x<n} 答案　B 解析　原不等式可变形为(x－m)(x＋n)<0，方程(x－m)(x＋n)＝0的两根为m，－n，显然由m＋n>0，得m>－n，所以原不等式的解集是{x|－n<x<m}．故选B. (3)若关于x的不等式ax2＋bx＋2>0的解集是，则a＋b的值是________． 答案　－14 解析　由题意，知－，是方程ax2＋bx＋2＝0的两根，由根与系数的关系，得 则所以a＋b＝－14. (4)若不等式mx2＋2mx－4＜2x2＋4x对任意x都成立，则实数m的取值范围是________． 答案　(－2，2] 解析　原不等式可整理为(2－m)x2＋(4－2m)x＋4＞0.当m＝2时，不等式为4＞0，该不等式恒成立；当m≠2时，需满足 解得－2＜m＜2.综上可知，实数m的取值范围是(－2，2]． 考点探究——提素养 考点一　一元二次不等式的解法(多考向探究) 考向1不含参数的一元二次不等式的解法 例1已知集合A＝{x|4－x2>0}，B＝{x|x2－4x＋3<0}，则A∪B＝(　　) A．{x|－2<x<1} B．{x|1<x<2} C．{x|－2<x<3} D．{x|－2<x<2} 答案　C 解析　因为A＝{x|－2<x<2}，B＝{x|1<x<3}，所以A∪B＝{x|－2<x<3}．故选C. 【通性通法】 解不含参数的一元二次不等式的一般步骤 【巩固迁移】 1．(2024·浙江绍兴诸暨高三联考)已知集合M＝{x|0≤x＜2}，N＝{x|－x2＋2x＋3＞0}，则M∩N＝(　　) A．{x|0≤x＜1} B．{x|0≤x＜2} C．{x|0≤x≤1} D．{x|0≤x≤2} 答案　B 解析　因为N＝{x|－x2＋2x＋3＞0}＝{x|x2－2x－3＜0}＝{x|－1