1.1集合的概念讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

1.1 集合的概念 · 学习要点 1.了解集合的概念及集合中元素的三个特性 2.理解元素与集合的关系 3.掌握集合的表示方法 · 知识结构 · 知识清单 1、知识点1：集合的含义 （1）元素：一般地，我们把研究对象统称为元素，用小写拉丁字母表示，记为a、b、c等。 （2）集合：把一些元素组成的总体叫做集合，用大写拉丁字母表示，记为A、B、C等。 （3）集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的，记为A=B。 （4）常用数集 常用数集 含义 记法 自然数集 （非负整数集） 全体非负整数组成的集合 N 正整数集 全体正整数组成的集合 N+或N* 整数集 全体整数组成的集合 Z 有理数集 全体有理数组成的集合 Q 实数集 全体实数组成的集合 R 2、知识点2：集合的特性 （1）确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的；也就是说，给定一个集合，那么一个元素在或不在这个集合中就确定了。 （2）互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的。也就是说，集合中的元素是不重复出现的。 （3）无序性：构成集合的元素间无先后顺序之分。 3、知识点3：元素与集合的关系 （1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作。 （2）不属于：如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作。 4、知识点4：集合的表示方法 （1）列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法。例如方程x2-9=0的所有实数根组成的集合为{-3,3}。 （2）描述法：一般地，设A是一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为或或，这种表示集合的方法称为描述法。例如不等式4x-5<3的解集为。 （3）图示法（Venn图法）：在数学中，用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图。 · 随学随练 1.已知集合，则A中元素的个数为（ ） A.9 B.8 C.5 D.4 【答案】A 【解析】由题意可知，x和y可取0，±1。 分类讨论：①当x=0时，y=0或±1，即（0,0）、（0,1）、（0,-1） ②当x=1时，y=0或±1，即（1,0）、（1,1）、（1,-1） ③当x=-1时，y=0或±1，即（-1,0）、（-1,1）、（-1,-1） 综上，共9个元素，故选A 2.下列各组两个集合A和B，表示相等集合的是（ ） 【答案】D 【解析】集合相等，两集合中的元素完全相同。 A选项π≠3.14159； B选项集合A表示2个实数，集合B表示一个点。 C选项集合A中包含，集合B包含- D选项集合 综上，故选D 3.已知，且，则a的值为 【答案】a= 【解析】分类讨论：①当a-1=-2时，a=-1，A={-2,-2,2}，A中含有两个一样的元素，不符合集合定义，因此a不能取-1。 ②当2a2+5a+1=-2时，a=-1或 由①知，a=， ③a2+1≥1，不可能为-2 综上，a= ( 【答案】 【解析】 ，显然 A 中无法取得 综上， )4.设集合，，则a与A的关系是 ( 【答案】 【解析】大于1的自然数，除了1和它本身以外，不能被其他自然数整除的数叫做质数。 )5.用列举法表示 6.已知集合，若集合A中的元素有且有一个，求a的值。 【答案】a=0或1 【解析】分类讨论：①a=0时，，满足题意。 ②a≠0时，要使集合A中的元素有且有一个，则ax2+2x+1=0的 ∴a=1 综上，a=0或1 学科网（北京）股份有限公司 $1.1集合的概念 冬学习要点 1.了解集合的概念及集合中元素的三个特性 2.理解元素与集合的关系 3.掌握集合的表示方法 ?知识结构 元素 集合 概念 集合相等 常用数集 确定性 特性 互异性 集合 无序性 属于 元素与集合的关系 一不属于 列举法 表示方法 描述法 图示法 冬知识清单 1、知识点1：集合的含义 (1)元素：一般地，我们把 统称为元素，用 表 示，记为a、b、c等。 (2)集合：把一些元素组成的 叫做集合，用 表 示，记为A、B、C等。 (3)集合相等：只要构成 是一样的，我们就称这两个集 合是的，记为4=B。 (4)常用数集 常用数集 含义 记法 自然数集 (非负整数 组成的集合 N 集) 正整数集 组成的集合 N4或W 整数集 组成的集合 Z 有理数集 组成的集合 0 实数集 组成的集合 R 2、知识点2：集合的特性 (1)确定性：给定的集合，它的元素必须是；也就是 说，给定一个集合，那么一个元素这个集合中就确定了。 (2)互异性：一个给定集合中的元素是 的。也就是说， 集合中的元素是 出现的。 (3)无序性：构成集合的元素间 之分。 3、知识点3：元素与集合的关系 (1)属于：如果a是集合A的元素，就说a集合A,记作 a∈A. (2)不属于：如果a不是集合A中的元素，就说a集合 A,记作a生A。 4、知识点4：集合的表示方法 (1)列举法：把集合的出来，并用一“{}”括起 来表示集合的方法叫做列举法。例如方程x-9=0的所有实数根组成 的集合为{-3,3}。 (2)描述法：一般地，设A是一个集合，把集合A中所有具有 共同特征P()的元素x所组成的集合表示为或 或 ，这种表示集合的方法称为描述法。例如不等式4x-5<3的解集为 {x<2}。 (3)图示法(Venn图法)：在数学中，用平面上 的内部 代表集合，这种图称为Venn图。 ◇随学随练 1.己知集合A=《,r+s3xeZ,yeZ, 则A中元素的个数为() A.9 B.8 C.5 D.4 2.下列各组两个集合A和B,表示相等集合的是() A.A={π，B=3.14159y B.A=3,4B={《3,4)} CA=1W2,πB=1,,-2 D.A={-1<x≤1，x∈N}B={0,1} 3已知A=a-l,2a2+5a+1,a2+1,且-2eA,则a的值为_ 4设集合1=钟≤2，a=,则与4的关系是 5.用列举法表示x为小于20的质数 6已知集合4=r+2x+1=0,a∈R,若集合A中的元素有且有一个， 求a的值。