第2节 常用逻辑用语-【金版教程】2025年高考数学一轮复习解决方案全书word（新教材，基础版）

金版教程 高考科学复习解决方案 数学 第二节　常用逻辑用语 课标解读 考向预测 1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系. 2.理解全称量词与存在量词的意义；能正确使用存在(或全称)量词对全称(或存在)量词命题进行否定. 新高考对常用逻辑用语直接考查的频率比较低，一般与其他知识交汇考查，难度为中等偏易.2025年备考仍以选择题为主训练，主要涉及与函数、数列、三角的有关性质、不等式的解法及直线与平面位置关系的判定等相关知识结合考查. 必备知识——强基础 1．充分条件、必要条件与充要条件的概念 p与q的关系 结论 p⇒q p是q的充分条件，q是p的必要条件 p⇒q且qp p是q的充分不必要条件 p q且q⇒p p是q的必要不充分条件 p⇔q p是q的充要条件 p q且q p p是q的既不充分也不必要条件 2.充分、必要条件与集合的子集之间的关系 设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则 (1)若A⊆B，则p是q的充分条件； (2)若A⊇B，则p是q的必要条件； (3)若A＝B，则p是q的充要条件； (4)若AB，则p是q的充分不必要条件； (5)若AB，则p是q的必要不充分条件． 3．全称量词命题与存在量词命题及其否定 名称 形式 全称量词命题 存在量词命题 结构 对M中任意一个x，p(x)成立 存在M中的元素x，p(x)成立 简记 ∀x∈M，p(x) ∃x∈M，p(x) 否定 ∃x∈M，¬p(x) ∀x∈M，¬p(x) 1．在判断充分、必要条件时，小范围可以推大范围，大范围不可以推小范围． 2．含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”．对省略了全称量词的命题否定时，要对原命题先加上全称量词再对其否定． 1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．(　　) (2)已知集合A，B，A∪B＝A∩B的充要条件是A＝B.(　　) (3)“∃x∈M，p(x)”与“∀x∈M，¬p(x)”的真假性相反．(　　) 答案　(1)√　(2)√　(3)√ 2．小题热身 (1)(2024·四川绵阳南山中学模拟)“sinα＝sinβ”是“α＝β”的________条件．(用“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”填空) 答案　必要不充分 解析　若α＝，β＝，则满足sinα＝sinβ，而不满足α＝β；当α＝β时，sinα＝sinβ一定成立，所以“sinα＝sinβ ”是“α＝β ”的必要不充分条件． (2)已知p：x>a是q：2<x<3的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________． 答案　(－∞，2] 解析　由已知可得{x|2<x<3}{x|x>a}，所以a≤2. (3)(人教A必修第一册习题1.5 T6改编)已知“若x＞1，则2x＋1＞λ”是假命题，则实数λ的取值范围是________． 答案　(3，＋∞) 解析　因为“若x＞1，则2x＋1＞λ”是假命题，所以“∃x＞1，使2x＋1≤λ”是真命题．因为当x＞1时，2x＋1＞3，所以实数λ的取值范围是(3，＋∞)． (4)设命题p：∃x∈R，x2－2x＋m－3＝0；命题q：∀x∈R，x2－2(m－5)x＋m2＋19≠0，若p，q均为真命题，则实数m的取值范围为________． 答案　 解析　若命题p：∃x∈R，x2－2x＋m－3＝0为真命题，则Δ＝4－4(m－3)≥0，解得m≤4；若命题q：∀x∈R，x2－2(m－5)x＋m2＋19≠0为真命题，则Δ＝4(m－5)2－4(m2＋19)＜0，解得m∈.又p，q均为真命题，所以实数m的取值范围为{m|m≤4}∩＝. 考点探究——提素养 考点一　充分条件、必要条件的判断 例1(1)(2023·全国甲卷)“sin2α＋sin2β＝1”是“sinα＋cosβ＝0”的(　　) A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件 C．充要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件 答案　B 解析　当sin2α＋sin2β＝1时，例如α＝，β＝0，但sinα＋cosβ≠0，即sin2α＋sin2β＝1推不出sinα＋cosβ＝0；当sinα＋cosβ＝0时，sin2α＋sin2β＝(－cosβ)2＋sin2β＝1，即sinα＋cosβ＝0能推出sin2α＋sin2β＝1.综上可知，“sin2α＋sin2β＝1”是“sinα＋cosβ＝0”的必要条件但不是充分条件．故选B. (2)(2023·河北石家庄模拟)已知a，b，c∈R，则“a＝b＝c”是“a2＋b2＋c2＝ab＋bc＋ac”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充