8.2 一元线性回归模型及其应用-2023-2024学年高二数学新教材【教材解读】（人教A版2019选择性必修第三册）

8.2 一元线性回归模型及其应用 [核心素养·学习目标] 课程标准 课标解读 1. 了解一元线性回归模型的含义，理解两 个变量之间随机关系的一元线性回归模型的作用与意义； 2. 了解残差在线性回归与非线性回归问 题的作用及意义； 3. 了解一元线性回归模型参数与最小二 乘估计的推导过程，理解最小二乘估计的原理； 4. 会结合题意求一元线性回归方程； 5. 会用相关指数进行分析模型拟合的效 果情况. 通过本节课的学习，要求会求一元线性回归方程，会进行残差分析，能判断回归模型的拟合效果，能利用样本数据建立统计模型并能进行预测. 课前预习 预习01一元线性回归模型 称为Y关于x的一元线性回归模型． 其中Y称为 ，x称为 ，a称为 ，b称为 ；e是Y与bx＋a之间的随机误差，如果e＝0，那么Y与x之间的关系就可以用一元线性函数模型来描述． 预习02最小二乘法 将＝x＋称为Y关于x的经验回归方程，也称 ， 其图形称为 ，这种求经验回归方程的方法叫做 ， 求得的，叫做b，a的 ，其中 ，＝－. 预习03残差与残差分析 1．残差 对于响应变量Y，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的称为 ，观测值减去预测值称为残差． 2．残差分析 残差是随机误差的估计结果，通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为残差分析． 预习04对模型刻画数据效果的分析 1．残差图法 在残差图中，如果残差比较均匀地集中在以横轴为对称轴的水平带状区域内，则说明经验回归方程较好地刻画了两个变量的关系． 2．残差平方和法 残差平方和越小，模型的拟合效果 ． 3．R2法 可以用R2＝1－来比较两个模型的拟合效果， R2越大，模型拟合效果 ，R2越小，模型拟合效果 ． 知识讲解 知识点 1.一元线性回归模型 用表示父亲身高，表示儿子身高，表示随机误差，假定随机误差的均值为，方差为与父亲身高无关的定值，则它们之间的关系可以表示为 我们称它为关于的一元线性回归模型. 2. 线性回归方程 对于变量和变量，设经过随机抽样获得的成对样本数据为，其中和的均值分别为和，其中 我们将称为关于的经验回归方程，其图形称为经验回归直线，这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法. 备注 线性回归直线经过定点. 3. 线性回归分析 (1)残差图法 作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为残差图．在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高． 残差平方和(yi－i)2，残差平方和越小，模型拟合效果越好． (2)用R2刻画回归效果 在回归分析中，可以用来刻画回归的效果，它表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，R2越接近于1，表示回归的效果越好． 4.残差分析 通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的称为预测量，观测值减去预测值称为残差，残差是随机误差的估计结果，通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判定原始数据是否存在可疑数据，这方面的工作称为残差分析. 通过观察残差图可以直观判断模型是否满足一元线性回归模型中对随机误差的假设，那残差应是均值为，方差为的随机变量的观测值. 5. 模型的拟合效果用相关指数来表示，，表达式中，与经验回归方程无关，残差平方和与经验回归方程有关，因此，越大，意味着残差平方和越小，即模型的拟合效果越好；越小，残差平方和越大，即模型的拟合效果越差 【特别提示】在回归模型中，y的值由x和随机因素e共同确定，即x只能解释部分y的变化，x称为解释变量，y称为预报变量，e称为随机误差，它的均值E(e)＝0，方差D(e)＝σ2>0. 【大招总结】 大招1求经验回归方程 求经验回归方程的步骤 ①作出散点图，判断两变量是否具有线性相关关系，若具有线性相关关系，则可求其经验回归方程； ②列表求出,的值； ③利用公式先计算,再根据经验回归直线过样本点的中心计算； ④写出经验回归方程. 求经验回归方程，关键在于正确求出系数,,由于计算量较大，所以计算时要仔细谨慎、分层进行，避免因计算产生错误要特别注意，只有两个变量呈线性相关关系时，求出的经验回归方程才有意义. 大招2线性回归分析 刻画回归效果的三种方法 (1)残差图法，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内说明选用的模型比较合适． (2)残差平方和法：残差平方和越小，模型的拟合效果越好． (3)R2法：越接近1，表明模型的