第05讲 一元二次不等式与其他常见不等式解法（十大题型）（讲义）-【上好课】2025年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

第05讲 一元二次不等式与其他常见不等式解法 目录 01 考情透视·目标导航 2 02 知识导图·思维引航 3 03 考点突破·题型探究 4 知识点1：一元二次不等式 4 知识点2：分式不等式 4 知识点3：绝对值不等式 5 解题方法总结 5 题型一：不含参数一元二次不等式的解法 6 题型二：含参数一元二次不等式的解法 7 题型三：三个二次之间的关系 8 题型四：分式不等式以及高次不等式的解法 9 题型五：绝对值不等式的解法 10 题型六：二次函数根的分布问题 10 题型七：一元二次不等式恒（能）成立问题 11 题型八：解含参型绝对值不等式 12 题型九：解不等式组型求参数问题 13 题型十：不等式组整数解求参数问题 13 04真题练习·命题洞见 14 05课本典例·高考素材 15 06易错分析·答题模板 16 易错点：解含参数不等式时分类讨论不恰当 16 答题模板：一元二次不等式恒成立问题 16 考点要求 考题统计 考情分析 （1）会从实际情景中抽象出一元二次不等式． （2）结合二次函数图象，会判断一元二次方程的根的个数，以及解一元二次不等式． （3）了解简单的分式、绝对值不等式的解法． 2020年I卷第1题，5分 从近几年高考命题来看，三个 “二次” 的关系是必考内容，单独考查的频率很低，偶尔作为已知条件的一部分出现在其他考点的题目中． 复习目标： 1、理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题. 2、会结合二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的分布问题. 3、能借助二次函数求解二次不等式，类比会求高次方程和绝对值不等式. 知识点1：一元二次不等式 一元二次不等式，其中，是方程的两个根，且 （1）当时，二次函数图象开口向上． （2）①若，解集为． ②若，解集为． ③若，解集为． （2） 当时，二次函数图象开口向下． ①若，解集为 ②若，解集为 【诊断自测】不等式的解集是，则的值是（    ） A． B． C． D． 知识点2：分式不等式 （1） （2） （3） （4） 【诊断自测】不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 知识点3：绝对值不等式 （1） （2）； ； （3）含有两个或两个以上绝对值的不等式，可用图象法和零点分段法求解. 【诊断自测】（2024·高三·山西忻州·期末）不等式的解集是 ． 解题方法总结 1、已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式． 由的解集为，得：的解集为即关于的不等式的解集为． 2、已知关于的不等式的解集为（其中），解关于的不等式． 由的解集为，得：的解集为，即关于的不等式的解集为． 3、已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式． 由的解集为，得：的解集为即关于的不等式的解集为，以此类推． 4、已知关于的不等式的解集为（其中），解关于的不等式． 由的解集为，得：的解集为即关于的不等式的解集为． 5、已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足； 6、已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足； 7、已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足； 8、已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足． 题型一：不含参数一元二次不等式的解法 【典例1-1】（2024·上海嘉定·一模）不等式的解集为 ． 【典例1-2】不等式的解集是，则不等式的解集是（用集合表示） ． 【方法技巧】 解一元二次不等式不等式的思路是：先求出其相应方程根，将根标在 轴上，结合图象，写出其解集. 【变式1-1】不等式的解集是 ． 【变式1-2】一元二次不等式的解集为 . 题型二：含参数一元二次不等式的解法 【典例2-1】设函数 (1)若不等式对一切实数x恒成立，求a的取值范围； (2)解关于的不等式：． 【典例2-2】已知关于的一元二次不等式的解集为． (1)求和的值； (2)求不等式的解集． 【方法技巧】 (1)根据二次项系数为正、负及零进行分类讨论． (2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数，数形结合处理． (3)有两个根时，还需要根据两根的大小进行讨论，注意分类讨论． 【变式2-1】已知函数． (1)若关于x的不等式的解集为R，求实数a的取值范围； (2)解关于x的不等式． 【变式2-2】解关于实数的不等式：． 【变式2-3】设函数，其中．解不等式； 题型三：三个二次之间的关系 【典例3-1】（2024·高三·云南德宏·期末）已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【典例3-2】已知的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D． 【方法技巧】 1、一定