精品解析：2024届南通暨苏北七市（扬泰徐淮连宿）高三第三次调研测试数学试题

扬州市2024届高三第三次调研测试数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置上，在其他位置作答一律无效. 3．本卷满分为150分，考试时间为120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知三个单位向量满足，则向量的夹角为（ ） A. B. C. D. 3. 某同学测得连续7天的最低气温分别为（单位：），若这组数据的平均数是中位数的2倍，则（ ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 7 4. 已知为复数，则“”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 非充分非必要条件 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 设数列的前项和为，若，则（ ） A. 65 B. 127 C. 129 D. 255 7. 已知函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数．若，则（ ） A. 23 B. 24 C. 25 D. 26 8. 已知一个正四棱台的上、下底面边长分别为2，8，侧棱长为，则该正四棱台内半径最大的球的表面积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则（ ） A B. C. D. 10. 在正方体中，为的中点，是底面上一点，则（ ） A. 中点时， B. 为中点时，平面 C. 满足的点在圆上 D. 满足直线与直线成角的点在双曲线上 11. 已知，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设a为实数，若函数在处取得极大值，则a的值为______． 13. 已知随机变量．若，则__________，若，则的方差为__________． 14. 已知是椭圆左、右焦点，是上一点．过点作直线的垂线，过点作直线的垂线．若的交点在上（均在轴上方，且，则的离心率为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角的对边分别为． （1）求； （2）若的面积为边上的高为1，求的周长． 16. 如图，在直三棱柱中，，． （1）当时，求证：平面； （2）设二面角的大小为，求的取值范围． 17. 已知函数． （1）若，求的最小值； （2）设数列前项和，若，求证：． 18. 已知抛物线的焦点为，直线过点交于两点，在两点的切线相交于点的中点为，且交于点．当的斜率为1时，． （1）求的方程； （2）若点的横坐标为2，求； （3）设在点处的切线与分别交于点，求四边形面积的最小值． 19. “熵”常用来判断系统中信息含量的多少，也用来判断概率分布中随机变量的不确定性大小，一般熵越大表示随机变量的不确定性越明显．定义：随机变量对应取值的概率为，其单位为bit的熵为，且．（当，规定．） （1）若抛掷一枚硬币1次，正面向上的概率为，正面向上的次数为，分别比较与时对应的大小，并根据你的理解说明结论的实际含义； （2）若拋郑一枚质地均匀的硬币次，设表示正面向上的总次数，表示第次反面向上的次数（0或1）．表示正面向上次且第次反面向上次的概率，如时，．对于两个离散的随机变量，其单位为bit的联合熵记为，且． （ⅰ）当时，求值； （ⅱ）求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 扬州市2024届高三第三次调研测试数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置上，在其他位置作答一律无效. 3．本卷满分为150分，考试时间为120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通分，根据数字特征即可判断两集合之间关系. 【详解】， ， 因为表示所有的奇数，而表示所有的整数，则， 故选：A. 2. 已知