精品解析：湖南省岳阳市岳阳县第一中学2024届高三下学期4月期中考试数学试题

2024年高三数学期中考试试题 一．选择题（共8小题，每题5分，共40分） 1. 若集合，则的元素个数为（ ） A 2 B. 3 C. 4 D. 5 2. 已知在中，角，，的对边分别为，，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 设，则“”是“为奇函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 林业部门规定：树龄500年以上的古树为一级，树龄300~500年之间的古树为二级，树龄100~299年的古树为三级，树龄低于100年不称为古树．林业工作者为研究树木年龄，多用年轮推测法，先用树木测量生长锥在树干上打孔，抽取一段树干计算年轮个数，由经验知树干截面近似圆形，年轮宽度依次构成等差数列．现为了评估某棵大树的级别，特测量数据如下：树干周长为3.14米，靠近树芯的第5个年轮宽度为0.4cm，靠近树皮的第5个年轮宽度为0.2cm，则估计该大树属于（ ） A. 一级 B. 二级 C. 三级 D. 不是古树 5. 如图，在中，点D为线段BC的中点，点E，F分别是线段AD上靠近D，A的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 6. 在正三棱柱中，，，以为球心，为半径的球面与侧面的交线长为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在上恰有4个不同的零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在上的函数满足，，且当时，，，则关于的不等式的解集为（ ） A B. C. D. 二．多选题（共4小题，每题5分，共20分） 9. 大年除夕吃年夜饭是中国古老的民俗传统，唐朝诗人孟浩然曾写下“续明催画烛，守岁接长筵”这样的诗句．为了解某地区居民的年夜饭消费金额，研究人员随机调查了该地区100个家庭，所得金额统计如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 可以估计，该地区年夜饭消费金额在家庭数量超过总数的三分之一 B. 若该地区有2000个家庭，可以估计年夜饭消费金额超过2400元的有940个 C. 可以估计，该地区家庭年夜饭消费金额的平均数不足2100元 D. 可以估计，该地区家庭年夜饭消费金额的中位数超过2200元 10. 已知，，则下列说法正确的是（ ） A. 两圆位置关系是相交 B. 两圆的公共弦所在直线方程是 C. 上到直线的距离为的点有四个 D. 若为上任意一点，则 11. 已知圆锥的顶点为S，高为1，底面圆的直径，B为圆周上不与A重合的动点，F为线段AB上的动点，则（ ） A. 圆锥侧面积为 B. 面积的最大值为 C. 直线SB与平面SAC所成角的最大值为 D. 若B是的中点，则的最小值为 12. 下列说法中，其中正确的是（ ） A. 命题：“，”的否定是“，” B. 化简的结果为 C. D. 在三棱锥中，，，点D是侧棱的中点，且，则三棱锥的外接球的体积为． 三．填空题（共4小题，每题5分，共20分） 13. 已知展开式中所有项的系数之和为128，则展开式中的系数为________． 14. 二项式的展开式中的常数项为______． 15. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点A在C的左支上，交C的右支于点B， ，，则C的焦距为___________， 的面积为___________． 16. 经过坐标原点O的直线与椭圆C：相交于A，B两点，过A垂直于AB的直线与C交于点D，直线DB与y轴相交于点E，若，则C的离心率为_______． 四．解答题（共6小题，70分） 17. 已知首项为3的数列的前n项和为，且． （1）求证：数列等比数列； （2）求数列的前n项和． 18. 已知数列的前项和为，且，. （1）求的通项公式； （2）记，，数列的前项和为，求. 19. 近年来，一种全新的营销模式开始兴起——短视频营销．短视频营销以短视频平台为载体，通过有限时长，构建一个相对完整的场景感染用户，与用户产生吸引、了解、共鸣、互动、需求的心理旅程．企业通过短视频作为营销渠道，打通新的流量入口，挖掘受众群体，获得新的营销空间．某企业准备在三八妇女节当天通过“抖音”和“快手”两个短视频平台进行直播带货． （1）已知小李3月7日选择平台“抖音”、“快手”购物的概率分别为0.6，0.4，且小李如果第一天选“抖音”平台，那么第二天选择“抖音”平台的概率为0.6；如果第一天选择“快手”平台，那么第二天选择“抖音”平台的概率为0.7．求3月8日小李选择“抖音”平台购物的概率； （2）三八妇女节这天，“抖音”平台直播间进行秒杀抢购活动，小李一家三人能下单成功的概率分别为，，0.5，三人是否抢购