7.4.1 二项分布-2023-2024学年高二数学新教材【教材解读】（人教A版2019选择性必修第三册）

7.4.1 二项分布 [核心素养·学习目标] 课程标准 课标解读 1. 理解相互独立事件的概念，理解独立重 复试验的概念，理解二项分布的概率模型. 2. 理解相互独立事件的概率模型.伯努利 试验的特点. 3. 掌握二项分布的特点，会求二项分布 列，期望与方差. 通过本节课的学习，要求会求二项分布列及应用分布列公式的特点求解相关量及参数，会求二项分布列的期望与方差. 课前预习 预习01 n重伯努利试验 n重伯努利试验 (1)伯努利试验：我们把只包含两个 结果的试验叫做伯努利试验． (2)n重伯努利试验：将一个伯努利试验独立地 进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验． (3) n重伯努利试验的特征： ①同一个伯努利试验重复做n次； ②各次试验的结果 ． 预习02二项分布 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝ ，k＝0，1，2，…，n. 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作 ． 知识讲解 知识点 1．相互独立的概念 (1)相互独立的定义 设A，B为两个事件，如果P(AB)＝P(A)·P(B)，则称事件A与事件B相互独立． (2)相互独立事件 事件A(或B)发生对事件B(或A)发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件． 2．相互独立的性质 若事件A与B相互独立，则A与，与B，与也相互独立． 把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验，将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验。共同特征：（1）同一个伯努利试验重复做n次；（2）各次试验的结果相互独立 3.一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，(k＝0，1，2，…，n)，则称随机变量X服从二项分布，记作 3、若随机变量X服从参数为n，p的二项分布，即X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)． 【特别注意】 1．相互独立事件与互斥事件的区别 相互独立事件是指两个事件发生的概率互不影响，计算式为P(AB)＝P(A)P(B)，互斥事件是指在同一试验中，两个事件不会同时发生，计算公式为P(A∪B)＝P(A)＋P(B)． 2．判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有二：其一是独立性，即一次试验中，事件发生与不发生二者必居其一；其二是重复性，即试验是独立重复地进行了n次． 3．P(A·B)＝P(A)·P(B)只有在事件A，B相互独立时，公式才成立，此时P(B)＝P(B|A)． 4.利用相互独立事件求复杂事件概率的解题思路 (1)将待求复杂事件转化为几个彼此互斥简单事件的和． (2)将彼此互斥简单事件中的简单事件，转化为几个已知(易求)概率的相互独立事件的积事件． (3)代入概率的积公式求解． 5.独立重复试验与二项分布问题的类型及解题策略 (1)在求n次独立重复试验中事件恰好发生k次的概率时，首先要确定好n和k的值，再准确利用公式求概率． (2)在根据独立重复试验求二项分布的有关问题时，关键是理清事件与事件之间的关系，确定二项分布的试验次数n和变量的概率，求得概率． 6.(1)如果ξ ～B(n，p)，则用公式E(ξ)＝np，D(ξ)＝np(1－p)求解，可大大减少计算量． (2)有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，这时，可以综合应用E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b以及E(ξ)＝np求出E(aξ＋b)，同样还可求出D(aξ＋b)． 【大招总结】 大招1 重伯努利试验的判断 n重伯努利试验的判断依据 (1)要看该试验是不是在相同的条件下可以重复进行． (2)每次试验相互独立，互不影响． (3)每次试验都只有两种结果，即事件发生，不发生． 大招2重伯努利试验的概率问题 n重伯努利试验概率求法的三个步骤 (1)判断：依据n重伯努利试验的特征，判断所给试验是否为n重伯努利试验． (2)分拆：判断所求事件是否需要分拆． (3)计算：就每个事件依据n重伯努利试验的概率公式求解，最后利用互斥事件概率加法公式计算． 大招3 二项分布及其应用 概率综合问题的求解策略 (1)定模型：准确地确定事件的性质，把问题归为古典概型、互斥事件、独立事件、n重伯努利试验中的某一种． (2)明事件：判断事件是A＋B还是AB. (3)套公式：选择相应公式求解即可． 典型例题 题型01重伯努利试验的判断 【例1】下列事件不是n重伯努利试验的是(　　) A．运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环” B．甲、乙两运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环” C