7.4 分布列（知识解题+达标测试）-2024-2025学年高二数学《知识解读•题型专练》（人教A版2019选择性必修第三册）

7.4二项分布列，超几何分布和正态分布 【考点1：n次独立试验与二项分布列】 【考点2：超几何分布】 【考点3：正态密度曲线】 【考点4：正态密度曲线的性质】 【考点5：正态分布的应用】 知识点 两点分布、二项分布、超几何分布与正态分布 1、两点分布：若随机变量X的分布列具有下表的形式，则称X服从两点分布，并称p＝P(X＝1)为成功概率． X 0 1 P 1－p p 2、二项分布 （1）次独立重复试验：一般地，在相同条件下重复做的次试验称为次独立重复试验． 【注意】独立重复试验的条件：①每次试验在同样条件下进行；②各次试验是相互独立的；③每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生． （2）二项分布的表示：一般地，在次独立重复试验中，用表示事件发生的次数，设每次试验中事件发生的概率为，不发生的概率，那么事件恰好发生次的概率是（，，，…，），于是得到的分布列 … … … … 由于表中第二行恰好是二项式展开式各对应项的值，称这样的离散型随机变量服从参数为，的二项分布，记作，并称为成功概率． （3）二项分布的期望、方差：若，则，． 3、超几何分布：在含有件次品的件产品中，任取件，其中恰有件次品，则事件发生的概率为，，1，2，…，，其中，且，，，，，称分布列为超几何分布列．如果随机变量的分布列为超几何分布列，则称随机变量服从超几何分布． 0 1 … … 4、正态曲线与正态分布 （1）正态曲线：我们把函数，（其中是样本均值，是样本标准差）的图象称为正态分布密度曲线，简称正态曲线．正态曲线呈钟形，即中间高，两边低． （2）正态曲线的性质 ①曲线位于轴上方，与轴不相交； ②曲线是单峰的，它关于直线对称； ③曲线在处达到峰值（最大值）； ④曲线与轴之间的面积为1； ⑤当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿轴平移； ⑥当一定时，曲线的形状由确定．越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散， （3）正态分布：一般地，如果对于任何实数，，随机变量满足，则称随机变量服从正态分布．正态分布完全由参数，确定，因此正态分布常记作．如果随机变量服从正态分布，则记为． 其中，参数是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计；是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计． （4）原则 若，则对于任意的实数，为下图中阴影部分的面积，对于固定的和而言，该面积随着的减小而变大．这说明越小，落在区间的概率越大，即集中在周围的概率越大 特别地，有；；． 由，知正态总体几乎总取值于区间之内．而在此区间以外取值的概率只有，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生，即为小概率事件．在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量只取之间的值，并简称之为原则． 【考点1：n次独立试验与二项分布列】 【典例1】．某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从道备选题中一次性随机抽取道题，按照题目要求独立完成．规定：至少正确完成其中道题便可通过．已知道备选题中应聘者甲有道题能正确完成，道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响． (1)求甲恰好正确完成两个面试题的概率； (2)求乙正确完成面试题数的分布列及其期望. 【变式1-1】甲、乙两支队伍进行某项比赛，赛制分为两种，一种是五局三胜制，另一种是三局两胜制，根据以往数据，在决胜局（在五局三胜制中指的是第五局比赛，在三局两胜制中指的是第三局比赛）中，甲、乙两队获胜的概率均为；而在非决胜局中，甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为. (1)若采用五局三胜制，直到比赛结束，共进行了Y局比赛，求随机变量Y的分布列，并指出进行几局比赛的可能性最大； (2)如果你是甲队的领队，你希望举办方采用五局三胜制还是三局两胜制？ 【变式1-2】某食品生产厂生产某种市场需求量很大的食品，这种食品有A、B两类关键元素含量指标需要检测，设两元素含量指标达标与否互不影响．若A元素指标达标的概率为，B元素指标达标的概率为，按质量检验规定：两元素含量指标都达标的食品才为合格品． (1)一个食品经过检测，AB两类元素至少一类元素含量指标达标的概率； (2)任意依次抽取该种食品4个，设表示其中合格品的个数，求分布列及． 【变式1-3】某人工智能研究实验室开发出一款全新聊天机器人，它能够通过学习和理解人类的语言来进行对话．聊天机器人的开发主要采用（人类反馈强化学习）技术，在测试它时，如果输入的问题没有语法错误，则它的回答被采纳的概率为80%，当出现语法错误时，它的回答被采纳的概率为40%． (1)在某次测试中输入了8个问题，聊天机器人的回答有5个被采纳，现从这8个问题中抽取4个，以X表示抽取的问题中回答被采纳的问题个数，求X的分布列和数学期望； (2)设输入的问题出现语法错误的概率为p，若聊天机器人的回答被采纳的概率为70%，求p的值． 【考点2：二项分布列的均值与方差】 【典例2】多选题已知随机变量，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】已知随机变量，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】甲同学每次投篮命中的概率为，在投篮6次的实验中，命中次数的均值为2.4，则的方差为（    ） A．1.24 B．1.44 C．1.2 D．0.96 【变式2-3】多选题已知随机变量满足：，则（    ） A． B． C． D． 【考点3：超几何分布概率】 【典例3】小张参加某公司的招聘考试，题目按照难度不同分为A类题和B类题，小张需要通过“抽小球”的方式决定要答的题目难度类型：一个箱子里装有质地，大小一样的5个球，3个标有字母A，另外2个标有字母B，小张从中任取3个小球，若取出的球比球多，则答类题，否则答类题． (1)设小张抽到球的个数为，求的分布列及． (2)已知A类题里有4道论述题和1道计算题，B类题里有3道论述题和2道计算题，小张确定题目的难度类型后需要从相应题目中任选一道题回答．求小张回答论述题的概率； 【变式3-1】某班有10名同学计划参加学科竞赛，每个同学只参加一个科目的学科竞寒，在这10名同学中，4名同学计划参加物理竞寒，其余6名同学计划参加化学竞赛，现从这10名同学中随机选取3名为班级做学法指导（每位同学被选到的可能性相同）. (1)求选出的3名同学中参加竞寒科目一样的概率； (2)设为选出的3名同学中参加物理竞赛的人数，求随机变量的分布列. 【变式3-2】小张参加某公司的招聘考试，题目按照难度不同分为A类题和B类题，小张需要通过“抽小球”的方式决定要答的题目难度类型：一个箱子里装有质地､大小一样的5个球，3个标有字母A，另外2个标有字母B，小张从中任取3个小球，若取出的A球比B球多，则答A类题，否则答B类题. (1)设小张抽到A球的个数为X，求X的分布列及. (2)已知A类题里有4道论述题和1道计算题，B类题里有3道论述题和2道计算题，小张确定题目的难度类型后需要从相应题目中任选一道题回答. （i）求小张回答论述题的概率； （ii）若已知小张回答的是论述题，求小张回答的是A类题的概率. 【考点4：正态密度曲线】 【典例4】多选题某市对历年来新生儿体重情况进行统计，发现新生儿体重，则下列结论正确的是（    ） A．该正态分布的均值为 B． C． D． 【变式4-1】多选题已知随机变量服从正态分布，即，则（   ）． A． B． C． D． 【变式4-2】多选题已知，则（    ） A． B． C． D． 【考点5：正态密度曲线的性质】 【典例5】已知随机变量服从正态分布，且，则等于（    ） A．0.14 B．0.36 C．0.72 D．0.86 【变式5-1】已知随机变量X服从正态分布，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】已知随机变量服从正态分布，若，则（    ） A．0.2 B．0.3 C．0.5 D．0.6 【变式5-3】已知随机变量，，则（    ） A．0.5 B．0.4 C．0.3 D．0.2 一、单选题 1．某射手射击时击中目标的概率为0.7，设4次射击击中目标的次数为随机变量，则等于（    ） A．0.9163 B．0.0081 C．0.0756 D．0.9919 2．小王每次通过英语听力测试的概率是，且每次通过英语听力测试相互独立，他连续测试3次，那么其中恰有1次通过的概率是（   ） A． B． C． D． 3．已知在件产品中有件次品，现从这件产品中任取件，用表示取得次品的件数，则（    ） A． B． C． D． 4．某田地生长的小麦的株高服从正态分布，则（    ） （附：若随机变量服从正态分布，则，，） A．0.6827 B．0.8186 C．0.9545 D．0.9759 5．随机变量服从正态分布，，，则（    ） A． B． C．1 D． 6．已知随机变量，，且，则（    ） A． B． C． D． 7．现有10名学生参加某项测试，可能有学生不合格，从中抽取3名学生成绩查看，记这3名学生中不合格人数为，已知，则本次测试的不合格率为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 8．多选题已知随机变量和满足，若服从正态分布，其正态曲线对应的密度函数为，则（    ） A． B． C． D． 9．多选题已知随机变是服从正态分布，定义函数为取值不超过的概率，即，若，则下列说法正确的有（    ） A． B． C．在上是增函数 D． 10．多选题小明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到，坐公交车平均用时10min，样本方差为9；骑自行车平均用时15min，样本方差为1.已知坐公交车所花时间与骑自行车所花时间都服从正态分布，用样本均值和样本方差估计，Y分布中的参数，并利用信息技术工具画出和的分布密度曲线如图所示.若小明每天需在早上8点之前到校，否则就迟到，则下列判断正确的是（    ） A． B．若小明早上7：50之后出发，并选择坐公交车，则有60%以上的可能性会迟到 C．若小明早上7：42出发，则应选择骑自行车 D．若小明早上7：47出发，则应选择坐公交车 11．多选题已知随机变量X服从正态分布，且，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球.若每次抽取后都放回，设取到黑球的个数为，则 ， . 13．某工厂生产一批零件（单位：），其尺寸服从正态分布，且，，则 ． 14．已知随机变量，若，则 . 15．若离散型随机变量满足：，则随机变量的期望 ． 16．已知随机变量，若，则的值为 ． 四、解答题 17．后疫情时代，为了可持续发展，提高人民幸福指数，国家先后出台了多项减税增效政策.某地区对在职员工进行了个人所得税的调查，经过分层随机抽样，获得500位在职员工的个人所得税(单位：百元)数据，按，分成九组，制成如图所示的频率分布直方图：假设每个组内的数据是均匀分布的.    (1)求这500名在职员工的个人所得税的中位数(保留到小数点后一位)； (2)从个人所得税在三组内的在职员工中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记年个税在内的员工人数为，求的分布列和数学期望； (3)以样本的频率估计概率，从该地区所有在职员工中随机抽取100名员工，记年个税在内的员工人数为，求的数学期望与方差. 18．年菜一词指旧俗过年时所备的菜肴，也就是俗称的“年夜饭”，为了了解消费者对年菜开支的接受区间，某媒体统计了1000名消费者对年菜开支接受情况，经统计这1000名消费者对年菜开支接受区间都在内（单位：百元），按照，，，，，，分组，得到如下频率分布直方图（同一组中的数据以该组区间的中点值为代表）． (1)根据频率分布直方图求出这1000名消费者对年菜开支接受价格的分位数（精确到0.1）； (2)根据频率分布直方图可认为消费者对年菜开支接受价格X近似服从正态分布，其中近似为样本平均数．用样本估计总体，求所有消费者对年菜开支接受价格大于972元的概率． 参考数据：若，则，． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 7.4二项分布列，超几何分布和正态分布 【考点1：n次独立试验与二项分布列】 【考点2：超几何分布】 【考点3：正态密度曲线】 【考点4：正态密度曲线的性质】 【考点5：正态分布的应用】 知识点 两点分布、二项分布、超几何分布与正态分布 1、两点分布：若随机变量X的分布列具有下表的形式，则称X服从两点分布，并称p＝P(X＝1)为成功概率． X 0 1 P 1－p p 2、二项分布 （1）次独立重复试验：一般地，在相同条件下重复做的次试验称为次独立重复试验． 【注意】独立重复试验的条件：①每次试验在同样条件下进行；②各次试验是相互独立的；③每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生． （2）二项分布的表示：一般地，在次独立重复试验中，用表示事件发生的次数，设每次试验中事件发生的概率为，不发生的概率，那么事件恰好发生次的概率是（，，，…，），于是得到的分布列 … … … … 由于表中第二行恰好是二项式展开式各对应项的值，称这样的离散型随机变量服从参数为，的二项分布，记作，并称为成功概率． （3）二项分布的期望、方差：若，则，． 3、超几何分布：在含有件次品的件产品中，任取件，其中恰有件次品，则事件发生的概率为，，1，2，…，，其中，且，，，，，称分布列为超几何分布列．如果随机变量的分布列为超几何分布列，则称随机变量服从超几何分布． 0 1 … … 4、正态曲线与正态分布 （1）正态曲线：我们把函数，（其中是样本均值，是样本标准差）的图象称为正态分布密度曲线，简称正态曲线．正态曲线呈钟形，即中间高，两边低． （2）正态曲线的性质 ①曲线位于轴上方，与轴不相交； ②曲线是单峰的，它关于直线对称； ③曲线在处达到峰值（最大值）； ④曲线与轴之间的面积为1； ⑤当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿轴平移； ⑥当一定时，曲线的形状由确定．越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散， （3）正态分布：一般地，如果对于任何实数，，随机变量满足，则称随机变量服从正态分布．正态分布完全由参数，确定，因此正态分布常记作．如果随机变量服从正态分布，则记为． 其中，参数是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计；是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计． （4）原则 若，则对于任意的实数，为下图中阴影部分的面积，对于固定的和而言，该面积随着的减小而变大．这说明越小，落在区间的概率越大，即集中在周围的概率越大 特别地，有；；． 由，知正态总体几乎总取值于区间之内．而在此区间以外取值的概率只有，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生，即为小概率事件．在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量只取之间的值，并简称之为原则． 【考点1：n次独立试验与二项分布列】 【典例1】．某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从道备选题中一次性随机抽取道题，按照题目要求独立完成．规定：至少正确完成其中道题便可通过．已知道备选题中应聘者甲有道题能正确完成，道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响． (1)求甲恰好正确完成两个面试题的概率； (2)求乙正确完成面试题数的分布列及其期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）设甲正确完成面试的题数为，则的取值范围是．然后求出即可； （2）设乙正确完成面试的题数为，则取值范围是，求出取每个值时的概率，即可得分布列，然后根据二项分布期望的求法求解即可. 【详解】（1）解：由题意得： 设甲正确完成面试的题数为，则的取值范围是． ； （2）设乙正确完成面试的题数为，则取值范围是． ，， ，． 应聘者乙正确完成题数的分布列为 【变式1-1】甲、乙两支队伍进行某项比赛，赛制分为两种，一种是五局三胜制，另一种是三局两胜制，根据以往数据，在决胜局（在五局三胜制中指的是第五局比赛，在三局两胜制中指的是第三局比赛）中，甲、乙两队获胜的概率均为；而在非决胜局中，甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为. (1)若采用五局三胜制，直到比赛结束，共进行了Y局比赛，求随机变量Y的分布列，并指出进行几局比赛的可能性最大； (2)如果你是甲队的领队，你希望举办方采用五局三胜制还是三局两胜制？ 【答案】(1)答案见解析，进行4局比赛的可能性最大. (2)答案见解析，采用五局三胜制. 【分析】（1）根据题意分析可知：的所有可能取值为3，4，5，结合独立重复性实验求分布列和期望； （2）分别求五局三胜制和三局两胜制时，甲队获胜的概率，对比分析即可. 【详解】（1）由题意可知：的所有可能取值为3，4，5，则有： ； ； ； 故的分布列为： 3 4 5 因为，所以进行4局比赛的可能性最大. （2）采用三局两胜时，甲获胜概率， 采用五局三胜时，甲获胜概率， 因为，所以如果我是甲队领队，采用五局三胜制. 【变式1-2】某食品生产厂生产某种市场需求量很大的食品，这种食品有A、B两类关键元素含量指标需要检测，设两元素含量指标达标与否互不影响．若A元素指标达标的概率为，B元素指标达标的概率为，按质量检验规定：两元素含量指标都达标的食品才为合格品． (1)一个食品经过检测，AB两类元素至少一类元素含量指标达标的概率； (2)任意依次抽取该种食品4个，设表示其中合格品的个数，求分布列及． 【答案】(1)； (2)分布列见解析，期望值为. 【分析】（1）根据给定条件，利用对立事件、相互独立事件的概率公式计算即得. （2）求出合格品的概率，利用二项分布的概率求出分布列和数学期望. 【详解】（1）令M为一个食品经过检测至少一类元素含量指标达标的事件，则是A，B都不达标的事件， 因此， 所以一个食品经过检测至少一类元素含量指标达标的概率为. （2）依题意，A，B两类元素含量指标都达标的概率为， 的所有可能取值为0，1，2，3，4，显然， 因此，，， ，， 所以的概率分布为： 0 1 2 3 4 P 数学期望. 【变式1-3】某人工智能研究实验室开发出一款全新聊天机器人，它能够通过学习和理解人类的语言来进行对话．聊天机器人的开发主要采用（人类反馈强化学习）技术，在测试它时，如果输入的问题没有语法错误，则它的回答被采纳的概率为80%，当出现语法错误时，它的回答被采纳的概率为40%． (1)在某次测试中输入了8个问题，聊天机器人的回答有5个被采纳，现从这8个问题中抽取4个，以X表示抽取的问题中回答被采纳的问题个数，求X的分布列和数学期望； (2)设输入的问题出现语法错误的概率为p，若聊天机器人的回答被采纳的概率为70%，求p的值． 【答案】(1)分布列见解析，数学期望为 (2) 【分析】（1）由题知X的所有取值为1，2，3，4，求出对应的概率，可得其分布列与数学期望； （2）利用全概率公式表示出回答被采纳的概率，结合条件代入可得关于的方程，解方程即可. 【详解】（1）由题可知X的所有取值为1，2，3，4， ， ， ， ， 故X的分布列为： X 1 2 3 4 P 则． （2）记“输入的问题没有语法错误”为事件A，记“输入的问题有语法错误”为事件B，记“回答被采纳”为事件C， 由已知得，，，，，， 所以由全概率公式得， 解得． 【考点2：二项分布列的均值与方差】 【典例2】多选题已知随机变量，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】由二项分布的期望公式可得A正确；方差公式可得B错误；由二项分布的概率公式可求C错误；由期望公式可得D正确. 【详解】A：因为随机变量，且，所以，故A正确； B：，故B错误； C：，故C错误； D：，故D正确； 故选：AD. 【变式2-1】已知随机变量，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二项分布的期望值公式，即可求得结果. 【详解】因为，所以，解得. 故选：A. 【变式2-2】甲同学每次投篮命中的概率为，在投篮6次的实验中，命中次数的均值为2.4，则的方差为（    ） A．1.24 B．1.44 C．1.2 D．0.96 【答案】B 【分析】利用二项分布期望值公式以及方差公式计算可得结果. 【详解】根据题意可得命中次数服从二项分布，即； 即可得均值为，解得； 所以的方差为. 故选：B 【变式2-3】多选题已知随机变量满足：，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据二项分布的期望公式和方差公式列方程求出，然后根据期望性质和方差性质依次判断即可. 【详解】对A，因为，所以， 解得，故A错误； 对B，由上知，故B正确； 对C，，故C正确； 对D，，故D正确． 故选：BCD． 【考点3：超几何分布概率】 【典例3】小张参加某公司的招聘考试，题目按照难度不同分为A类题和B类题，小张需要通过“抽小球”的方式决定要答的题目难度类型：一个箱子里装有质地，大小一样的5个球，3个标有字母A，另外2个标有字母B，小张从中任取3个小球，若取出的球比球多，则答类题，否则答类题． (1)设小张抽到球的个数为，求的分布列及． (2)已知A类题里有4道论述题和1道计算题，B类题里有3道论述题和2道计算题，小张确定题目的难度类型后需要从相应题目中任选一道题回答．求小张回答论述题的概率； 【答案】(1)分布列见解析， (2) 【分析】（1）利用超几何分布可求分布列，利用公式可求期望. （2）利用全概率可求小张回答论述题的概率. 【详解】（1）的所有可能取值为1，2，3，则，，， 所以的分布列为 1 2 3 故． （2）记事件为“小张回答类题”，为“小张回答类题”，为“小张回答论述题”． 由（1）知，， 由题意知，， 所以． 【变式3-1】某班有10名同学计划参加学科竞赛，每个同学只参加一个科目的学科竞寒，在这10名同学中，4名同学计划参加物理竞寒，其余6名同学计划参加化学竞赛，现从这10名同学中随机选取3名为班级做学法指导（每位同学被选到的可能性相同）. (1)求选出的3名同学中参加竞寒科目一样的概率； (2)设为选出的3名同学中参加物理竞赛的人数，求随机变量的分布列. 【答案】(1) (2)分布列见解析 【分析】（1）分别求出三人都参加物理竞赛的概率与三人都参加化学竞赛的概率，可求“选出的3名同学中参加竞赛科目一样”的概率； （2）随机变量的所有可能值为，利用超几何分布的概率公式计算可求分布列. 【详解】（1）设“选出的3名同学中参加竞赛科目一样”为事件A，事件A分三人都参加物理竞赛和三人都参加化学竞赛两类： 三人都参加物理竞赛的概率：. 三人都参加化学竞赛的概率：. . （2）随机变量的所有可能值为. ，， ，， 的分布列为 0 1 2 3 【变式3-2】小张参加某公司的招聘考试，题目按照难度不同分为A类题和B类题，小张需要通过“抽小球”的方式决定要答的题目难度类型：一个箱子里装有质地､大小一样的5个球，3个标有字母A，另外2个标有字母B，小张从中任取3个小球，若取出的A球比B球多，则答A类题，否则答B类题. (1)设小张抽到A球的个数为X，求X的分布列及. (2)已知A类题里有4道论述题和1道计算题，B类题里有3道论述题和2道计算题，小张确定题目的难度类型后需要从相应题目中任选一道题回答. （i）求小张回答论述题的概率； （ii）若已知小张回答的是论述题，求小张回答的是A类题的概率. 【答案】(1)分布列见解析， (2)（i）；（ii） 【分析】（1）根据条件求得的所有可能取值及相应的概率，列出分布列，根据期望公式求解即可； （2）（i）根据全概率公式进行计算即可；（ii）根据条件概率公式进行计算即可. 【详解】（1）的所有可能取值为， , 所以的分布列为 1 2 3 故. （2）记事件“小张回答类题”， “小张回答类题”，“小张回答论述题”. （i）由（1）知， 由题意知， 所以 . （ii）， 所以. 【考点4：正态密度曲线】 【典例4】多选题某市对历年来新生儿体重情况进行统计，发现新生儿体重，则下列结论正确的是（    ） A．该正态分布的均值为 B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据可得出该正态分布的均值，可判断A选项；利用正态密度曲线的性质可判断BCD选项. 【详解】因为， 对于A选项，该正态分布的均值为，A对； 对于B选项，，B对； 对于C选项，，C错； 对于D选项，由正态密度曲线的对称性可知，，D错. 故选：AB. 【变式4-1】多选题已知随机变量服从正态分布，即，则（   ）． A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】由正态分布概念、组成的理解和正态分布曲线的对称性逐一判断即得. 【详解】由可得，，故A错误；B正确； 对于C，因,则，故C错误； 对于D，因，则,故，即D正确. 故选：BD. 【变式4-2】多选题已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据正态分布直接判断AB；根据正态曲线的对称性分析判断CD. 【详解】由可得，故A正确；B错误； 对于C，利用正态曲线的对称性可知，， 且，则， 所以，故C错误； 对于D，利用正态曲线的对称性可知，， 可得， 所以，故D正确. 故选：AD. 【考点5：正态密度曲线的性质】 【典例5】已知随机变量服从正态分布，且，则等于（    ） A．0.14 B．0.36 C．0.72 D．0.86 【答案】A 【分析】根据正态曲线的性质直接求解即可. 【详解】由题意知，，所以， 则， 所以. 故选：A 【变式5-1】已知随机变量X服从正态分布，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正态分布曲线的对称性计算即可. 【详解】由题意可知该正态分布的对称轴为， 所以. 故选：C 【变式5-2】已知随机变量服从正态分布，若，则（    ） A．0.2 B．0.3 C．0.5 D．0.6 【答案】B 【分析】利用正态分布的概率性质可求得，进而可求的值. 【详解】， . 随机变量服从正态分布， 曲线关于对称， . 故选：B. 【变式5-3】已知随机变量，，则（    ） A．0.5 B．0.4 C．0.3 D．0.2 【答案】D 【分析】根据正态分布的对称性结合题意求解即可. 【详解】因为随机变量， 所以， 所以， 解得， 故． 故选：D 一、单选题 1．某射手射击时击中目标的概率为0.7，设4次射击击中目标的次数为随机变量，则等于（    ） A．0.9163 B．0.0081 C．0.0756 D．0.9919 【答案】D 【分析】根据题意可知服从二项分布，利用可得结果. 【详解】由题意得，，的取值为， ∵. ∴. 故选：D. 2．小王每次通过英语听力测试的概率是，且每次通过英语听力测试相互独立，他连续测试3次，那么其中恰有1次通过的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用次独立重复试验中事件恰好发生次概率计算公式求解. 【详解】小王每次通过英语听力测试的概率是，且每次通过英语听力测试相互独立，他连续测试3次，那么其中恰有1次通过的概率是, 故选：A 3．已知在件产品中有件次品，现从这件产品中任取件，用表示取得次品的件数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据组合计数原理结合古典概型的概率公式可求得. 【详解】由题意可知，件产品中有件次品，件正品， 从这件产品中任取件，用表示取得次品的件数， 表示要从件次品中抽取件，从件正品中抽取件， 故. 故选：B. 4．某田地生长的小麦的株高服从正态分布，则（    ） （附：若随机变量服从正态分布，则，，） A．0.6827 B．0.8186 C．0.9545 D．0.9759 【答案】B 【分析】根据正态分布的对称性及所提供数据运算即可. 【详解】由题知，， 所以 . 故选：B 5．随机变量服从正态分布，，，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】根据正态分布的对称性得到答案. 【详解】由对称性可知， 故. 故选：A 6．已知随机变量，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二项分布期望和方差的公式求解即可. 【详解】随机变量， 由得：，解得． 故选：D 7．现有10名学生参加某项测试，可能有学生不合格，从中抽取3名学生成绩查看，记这3名学生中不合格人数为，已知，则本次测试的不合格率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设10名学生中有名不合格，根据题意可得，可求，进而可求不合格率. 【详解】设10名学生中有名不合格，从中抽取3人，其中不合格人数为， 由，得，化简得，解得， 即本次测试的不合格率为. 故选：C. 二、多选题 8．多选题已知随机变量和满足，若服从正态分布，其正态曲线对应的密度函数为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据正态曲线对应的密度函数可确定中，继而结合方差的性质以及正态曲线的对称性意义判断各选项，即得答案. 【详解】由正态曲线对应的密度函数为，得，， 则，，A正确； 因为，所以，B错误； 因为，结合正态曲线可知，C正确； ，D错误． 故选：AC 9．多选题已知随机变是服从正态分布，定义函数为取值不超过的概率，即，若，则下列说法正确的有（    ） A． B． C．在上是增函数 D． 【答案】ACD 【分析】由正态分布可求得，判断A；当时，，，判断B；易得在上是增函数，可判断C；计算可得，可判断D. 【详解】对于A：因为，所以，故A正确； 对于B：因为，， 当时，，则， 又，所以不成立，故B错误； 对于C：，当增大时，也增大，所以在上是增函数，故C正确； 对于D：，故D正确. 故选：ACD. 10．多选题小明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到，坐公交车平均用时10min，样本方差为9；骑自行车平均用时15min，样本方差为1.已知坐公交车所花时间与骑自行车所花时间都服从正态分布，用样本均值和样本方差估计，Y分布中的参数，并利用信息技术工具画出和的分布密度曲线如图所示.若小明每天需在早上8点之前到校，否则就迟到，则下列判断正确的是（    ） A． B．若小明早上7：50之后出发，并选择坐公交车，则有60%以上的可能性会迟到 C．若小明早上7：42出发，则应选择骑自行车 D．若小明早上7：47出发，则应选择坐公交车 【答案】ACD 【分析】确定，，逐项判断即可. 【详解】由题意知，坐公交车所花时间，骑自行车所花时间，A正确. 对于B，若小明早上7：50之后出发，并选择坐公交车，有50%以上的可能性会超过10min，即8点之后到校会迟到，错误； 对于C、D， 由， 且， 应选择在给定的时间内不迟到的概率大的交通工具， 小明早上7：42出发，有18min可用，则应选择骑自行车，故C正确； 小明早上7：47出发，有13min可用，则应选择坐公交车，故D正确； 故选：ACD. 11．多选题已知随机变量X服从正态分布，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据正态分布曲线的对称性即可求解. 【详解】随机变量X服从正态分布， 所以正态分布的对称轴为 ， 根据对称性可知：，得，A正确，B错误； 则，C错误，D正确. 故选：AD 三、填空题 12．袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球.若每次抽取后都放回，设取到黑球的个数为，则 ， . 【答案】 / / 【分析】根据二项分布的知识求得正确答案. 【详解】依题意，每次取到黑球的概率为， 所以，所以. 故答案为：； 13．某工厂生产一批零件（单位：），其尺寸服从正态分布，且，，则 ． 【答案】 【分析】求得，再利用正态密度曲线的对称性可求得的值. 【详解】因为服从正态分布，且，， 则， 所以，. 故答案为：. 14．已知随机变量，若，则 . 【答案】 【分析】根据可得，求出，结合二项分布求出概率即可. 【详解】因为， 所以，解得 ， 所以. 故答案为： 15．若离散型随机变量满足：，则随机变量的期望 ． 【答案】2 【分析】利用二项分布的期望公式即可求解． 【详解】因为离散型随机变量满足：， 所以随机变量的期望是． 故答案为：2． 16．已知随机变量，若，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】由条件结合正态分布的性质可得，，再结合条件可求结论. 【详解】因为，， 所以， 所以， 所以， 故答案为：. 四、解答题 17．后疫情时代，为了可持续发展，提高人民幸福指数，国家先后出台了多项减税增效政策.某地区对在职员工进行了个人所得税的调查，经过分层随机抽样，获得500位在职员工的个人所得税(单位：百元)数据，按，分成九组，制成如图所示的频率分布直方图：假设每个组内的数据是均匀分布的.    (1)求这500名在职员工的个人所得税的中位数(保留到小数点后一位)； (2)从个人所得税在三组内的在职员工中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记年个税在内的员工人数为，求的分布列和数学期望； (3)以样本的频率估计概率，从该地区所有在职员工中随机抽取100名员工，记年个税在内的员工人数为，求的数学期望与方差. 【答案】(1)百元 (2)分布列见解析， (3) 【分析】（1）根据频率分布直方图的性质求得，利用中位数计算公式计算即可. （2）求得的所有可能取值和对应的概率即可得到分布列，再由数学期望公式计算即可. （3）由题意得，由二项分布的数学期望与方差公式直接计算即可. 【详解】（1）设这500名在职员工的个人所得税的中位数为， 则由频率分布直方图得， 解得， 所以这500名在职员工的个人所得税的中位数为百元. （2）由题意抽取的10人中，年个税在内的员工人数为人， 年个税在内的员工人数为人， 年个税在内的员工人数为人， 若现从这10人中随机抽取3人，记年个税在内的员工人数为， 则的所有可能取值为， 所以，， ，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 的数学期望为：. （3）由频率分布直方图可知年个税在内的概率为， 从该地区所有在职员工中随机抽取100名员工，恰有个员工的年个税在内的分布列服从二项分布， 由二项分布的数学期望、方差公式可得， 即的数学期望与方差分别为. 18．年菜一词指旧俗过年时所备的菜肴，也就是俗称的“年夜饭”，为了了解消费者对年菜开支的接受区间，某媒体统计了1000名消费者对年菜开支接受情况，经统计这1000名消费者对年菜开支接受区间都在内（单位：百元），按照，，，，，，分组，得到如下频率分布直方图（同一组中的数据以该组区间的中点值为代表）． (1)根据频率分布直方图求出这1000名消费者对年菜开支接受价格的分位数（精确到0.1）； (2)根据频率分布直方图可认为消费者对年菜开支接受价格X近似服从正态分布，其中近似为样本平均数．用样本估计总体，求所有消费者对年菜开支接受价格大于972元的概率． 参考数据：若，则，． 【答案】(1) (2)0.16 【分析】（1）利用分位数左边矩形的面积和为0.75可求得样本的分位数； （2）根据正态分布的对称性求出概率即可 【详解】（1）根据频率分布直方图，可得， ， 所以这1000名消费者对年菜开支接受价格的75%分位数是． （2）由， 所以， 所以， 故所有消费者对年菜开支接受价格大于972元的概率为0.16． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$