7.1.2全概率公式课件-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

7.1.2 全概率公式 7.1 条件概率与全概率公式 设A、B为随机事件，且P(A)>0，则在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率记为P(B|A). (1)求P(B|A)： (2)求P(AB)： ③直观意义 ①概率的乘法公式：P(A)>0时，P(AB)=P(A)P(B|A) ②A，B相互独立：P(AB)=P(A)P(B) 复习回顾 条件概率的公式 条件概率的性质 条件概率只是缩小了样本空间，因此条件概率同样具有概率的性质. 设P(A)>0，则 (1)P(Ω|A)=1； (2)如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)； (3)设 和B互为对立事件，则 复习回顾 自主探究 探究：从有a个红球和b个蓝球的袋子中，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回. 显然，第1次摸到红球的概率为 . 那么第2次摸到红球的概率是多大？如何计算这个概率呢？ 在上节计算按对银行储蓄卡密码的概率时，我们首先把一个复杂事件表示为一些简单事件运算的结果，然后利用概率的加法公式和乘法公式求其概率，下面我们再看一个求复杂事件概率的问题. 自主探究 探究：从有a个红球和b个蓝球的袋子中，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回. 显然，第1次摸到红球的概率为 . 那么第2次摸到红球的概率是多大？如何计算这个概率呢？ 解析：用Ri表示事件“第i次摸到红球”，Bi表示事件“第i次摸到蓝球”，i=1,2. 事件R2可按第1次可能的摸球结果(红球或蓝球)表示为两个互斥事件的并，即R2=R1R2∪B1R2. 利用概率的加法公式和乘法公式，得 P(R2)=P(R1R2∪B1R2)=P(R1R2)+P(B1R2) =P(R1)P(R2|R1)+P(B1)P(R2|B1) P(R2|R1) P(B2|R1) P(R2|B1) P(B2|B1) P(R1) P(B1) R1R2 R1B2 B1R2 B1B2 R2 B2 R2 B2 B1 R1 上述过程采用的方法是: 按照某种标准，将一个复杂事件表示为两个互斥事件的并，再由概率的加法公式和乘法公式求得这个复杂事件的概率. 全概率公式 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，P(Ai)>0，i=1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有 我们称上面的公式为全概率公式. 全概率公式使用条件： ①A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件； ②A1∪A2∪…∪An=Ω；　 ③P(Ai)>0，且 . 全概率公式展开即为： P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+…+P(An)P(B|An) 某一事件B的发生可能有各种的原因，如果B是由原因Ai(i=1，2，…，n)(Ai两两互斥，构成一个完备事件)所引起，则BAi发生的概率是P(BAi)=P(Ai)P(B|Ai). 对全概率公式的理解 每一原因都可能导致B发生，故B发生的概率是各原因Ai引起，BAi(i=1，2，…，n)发生概率的总和，即全概率公式. 由此可以形象地把全概率公式看成为“由原因求结果”，每个原因对结果的发生有一定的“作用”，即结果发生的可能性与各种原因的“作用”大小有关. 例题解析 4、某学校有A，B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐.如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.6；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.8.计算王同学第2天去A餐厅用餐的概率. 分析：第2天去哪家餐厅用餐的概率受第1天在哪家餐厅用餐的影响，可根据第1天可能去的餐厅，将样本空间表示为“第1天去A餐厅”和“第1天去B餐厅”两个互斥事件的并，利用全概率公式求解。 解：设A1=“第1天去A餐厅用餐”，B1=“第1天去B餐厅用餐”，A2=“第2天去A餐厅用餐”， 则Ω=A1∪B1，且A1与B1互斥，根据题意得 P(A1)=P(B1)=0.5，P(A2|A1)=0.6，P(A2|B1)=0.8，由全概率公式，得 P(A2)= P(A1) P(A2|A1)+ P(B1) P(A2|B1)=0.5×0.6+0.5×0.8=0.7 因此，王同学第2天去A餐厅用餐得概率为0.7. 设事件 写概率 代公式 全概率公式针对的是已知一定的条件，求出某个结果的概率问题， 解题步骤一般如下： 1、设事件：把事件B(结果事件)看作某一过程的结果，把A1，A2，…，An 看作导致结果的若干个原因； 2、写概率：由已知，写出每一原因发生的概率(即P(Ai ))，且每一原因对结果的影响程度(即P(B|Ai ))；