5.1.1变化率问题课件-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

5.1.1 变化率问题 5.1 导数的概念及其意义 复习引入 1、运动员的速度 h(t)=-4.9t2+2.8t+11 (1)平均速度 时间段[t0,t0+ t]内的平均速度 (2)瞬时速度 当t=t0时的瞬时速度 平均速度的极限为瞬时速度 复习引入 2、什么叫直线与圆相切? 如果一条直线与一个圆只有一个公共点,那么这条直线与这个圆相切. 追问:如果一条直线与一条抛物线只有一个公共点, 那么这条直线与这条抛物线相切吗? . F 思考:对于一般的曲线C,如何定义它的切线呢? 下面以抛物线f(x)=x2为例进行研究. 问题2 抛物线的切线的斜率 探究新知 探究:你认为应该如何定义抛物线f(x)=x2在点P0(1,1)处的切线? 与研究瞬时速度类似,为了研究抛物线f(x)=x2在点P0(1,1)处的切线,我们通常在点P0(1,1)的附近任取一点P(x,x2),考察抛物线f(x)=x2的割线P0P的变化情况. x y O f(x)=x2 1 1 2 2 3 4 P0 P(x,x2) 问题2 抛物线的切线的斜率 探究新知 观察:如图,当点P(x, x2)沿着抛物线f(x)=x2趋近于点P0(1,1)时,割线P0P有什么变化趋势? 我们发现,当点P_,割线P0P_位置. 这个确定位置的直线P0T 称为抛物线 f(x)=x2在点P0(1,1)处的切线. T 无限趋近于一个确定的 无限趋近于点P0时 o 1 2 1 2 3 x y P0 4 P(x,x2) 问题2 抛物线的切线的斜率 探究新知 探究:我们知道斜率是确定直线的一个要素。如何求抛物线 f(x)=x2在点 P0(1,1) 处的切线P0T 的斜率k0呢? 从上述切线的定义可见,抛物线f(x)=x2在点P0(1,1)处的切线P0T的斜率与割线P0P的斜率有内在联系. 记点P的横坐标 x=1+ x,则点P的坐标即为 (1+ x,(1+ x)2). 于是割线P0P 的斜率 我们可以用割线P0P的斜率k近似地表示切线P0T的斜率k0,并且可以通过不断缩短横坐标间隔|∆x|来提高近似表示的精确度,得到如下表格: x可以是正值,也可以是负值,但不为0. = x+2 ∆x <0 ∆x >0 ∆x k= x+2 ∆x k= x+2 观察:利用计算工具计算更多割线P0P的斜率k的值,当∆x无限趋近于0时,割线P0P的斜率k有什么变化趋势? 发现:当∆x无限趋近于0,即无论x从小于1的一边,还是从大于1的一边无限趋近于1时,割线P0P的斜率k近都无限趋近于2. -0.01 -0.001 -0.0001 -0.00001 -0.000001 1.99 1.999 1.9999 1.99999 1.999999 0.01 0.001 0.0001 0.00001 0.000001 2.01 2.001 2.0001 2.00001 2.000001 从几何图形上看,当横坐标间隔| x |无限变小时, 点P无限趋近于点P0,于是割线P0P无限趋近于点P0处的切线P0T . 这时,割线P0P的斜率k无限趋近于点P0处的切线的斜率k0. 因此,切线P0T 的斜率k0=2. x y O 1 2 1 2 3 4 P P0 T 事实上,由 可以发现,当∆x在无限趋近于0时, x+2无限趋近于2,我们把2叫做“当 x无限趋近于0时, 的极限”,记为 探究新知 问题2 抛物线的切线的斜率 思考:(教材P61T2)你认为应该怎样定义抛物线f(x)=x2在点(x0, x02)处的切线? 试求抛物线f(x)=x2在点(-1,1)处切线的斜率. 解:设P(x0,x02),Q(x0+ x,(x0+ x)2). 当 x 0时,PQ所在直线为抛物线f(x)=x2在点(x0,x02)处的切线. 抛物线f(x)=x2在点(-1,1)处切线的斜率为 课后探究 观察在问题1中的函数h(t)=-4.9t2+2.8t+11图象, 平均速度 的几何意义是什么? 瞬时速度v(1)呢? 平均速度 的几何意义: 曲线过两点(1,h(1)),(1+ t,h(1+ t)) 的割线的斜率; 瞬时速度 v(1) 的几何意义: 曲线在点(1,h(1)) 处的切线的斜率. t h 1 O • (1, h(1)) • (1+∆t, h(1+∆t)) 典型例题 1、已知函数 求抛物线在x=1和x=4处的切线斜率. 解:抛物线在x=1附近割线的斜率为 = x+3 所以抛物线在x=1处的切线斜率为 抛物线在x=4附近割线的斜率为 =2 x+12 所以抛物线在x=4处的切线斜率为 典型例题 2、求抛物线f(x)=x2-2x+3在点(1,2)处的切线方程. 解:由 = x 可得切线的斜率为 所以切线的方程为y-2=0 (x-1),即y=2. 方法归纳 求抛物线y=f(x)在某点