微专题05 奔驰定理与三角形面积问题-2023-2024学年高一数学微专题期末精准突破（人教A版2019必修第二册）

2023-2024学年高一数学微专题精准突破（人教A版2019必修第二册） 微专题05奔驰定理与三角形面积问题 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 2023-2024学年高一数学微专题精准突破（人教A版2019必修第二册） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1利用奔驰定理解决面积比问题 题型2利用奔驰定理及面积比解决参数问题 题型3利用奔驰定理解决面积问题 题型4利用多个奔驰点解决面积比问题 1.奔驰定理：是内的一点，且，则 由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”． 2.定理的证明 证明1：如图,延长交于点,设的面积为,则. 因为,所以,即,亦即,解得(1)又因为,所以,即.代人(1)式,可得,即, 整理可得. 证明2： 3.奔驰定理的推论 推论1：，则 ① ②，，. 推论2已知是内一点,,则. 推论3已知的角对边分别为,则有: (1)若点是内心; (2)若点是外心 (3)若点是垂心. 注：对于三角形面积比例问题，常规的作法一般是通过向量线性运算转化出三角形之间的关系。但如果向量关系符合奔驰定理的形式，在选择填空题当中可以迅速的地得出正确答案。 题型1利用奔驰定理解决面积比问题 1.已知是内一点,,则 2.已知是内一点,,则 3.已知是所在平面内一点，且，则与的面积之比为　　 A． B． C． D． 4.已知是内一点,,则 5.已知点P是所在平面内一点，若，则与的面积之比是（    ） A． B． C． D． 6.点P是所在平面上一点，若，则与的面积之比是（    ） A． B．3 C． D． 7.已知是平面内一点,,则. 8.设点在的外部，且，则 A． B． C． D． 9.奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，，，则.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.设为三角形内一点，且满足：，则（    ） A． B． C． D． 10.为三角形内部一点，､､均为大于1的正实数，且满足，若､､分别表示､､的面积，则为（    ） A． B． C． D． 11.【多选】“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是：已知是内一点，的面积分别为，且.以下命题正确的有（    ） A．若，则为的重心 B．若为的内心，则 C．若，为的外心，则 D．若为的垂心，，则 题型2利用奔驰定理及面积比解决参数问题 12.已知是内部的一点,满足,则实数的值为 13.已知是内的一点,若,设,则实数和的值分别为 14.已知O是内一点，，若与的面积之比为，则实数m的值为（    ） A． B． C． D． 15.为等边三角形内一点，且满足，若与的面积之比为，则实数的值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 16.已知是内部的一点，，，所对的边分别为，，，若，则与的面积之比为（    ） A． B． C． D． 17.已知为中线AD的中点,过点的直线与AB,AC分别交于点E,F,若与的面积之比为,则实数的值为 . 18.已知是所在平面内的一点，，，所对的边分别为，，，若，过作直线分别交、(不与端点重合)于、，若，，若与的面积之比为，则（    ） A． B． C． D． 19.设为等边的重心，过作直线分别交（不与端点重合）于，若，，若与的面积之比为，则（  ） A． B． C． D． 20.已知点是的中位线上任意一点，且，实数满足，设、、、的面积分别为、、 、，记,,, 则取最大值时，的值为（    ） A． B． C． D． 题型3利用奔驰定理解决面积问题 21.已知内部的一点满足,且,则的面积为 . 22.若内接于以为圆心、1为半径的圆,且,则的面积为 题型4利用多个奔驰点解决面积比问题 23.已知点A，B，C，P在同一平面内，，，，则等于（    ） A．14∶3 B．19∶4 C．24∶5 D．29∶6 24.如图，设P，Q为∆ABC内的两点，且，，则∆ABP的面积与∆ABQ的面积之比为（ ） A． B． C． D． $$2023-2024学年高一数学微专题精准突破（人教A版2019必修第二册） 微专题05奔驰定理与三角形面积问题 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股