专项5 因式分解～专项6 分式-【追梦之旅·期末真题篇】2023-2024学年八年级数学下册（北师大版 郑州专用）

郑州专版·八年级数学·下册　 第 1 页 郑州专版·八年级数学·下册　 第 2 页 郑州专版·八年级数学·下册　 第 3 页　 　 　 　 专项 5 追梦专项五　 因式分解 一、选择题 1. 多项式 12ab3+8a3b 的各项公因式是(　 　 ) A. ab B. 2ab C. 4ab D. 4ab2 2. 下列从左到右的变形中,属于因式分解的是(　 　 ) A. a(b+c)= ab+ac B. a2 -b2 = (a+b)(a-b) C. a3 +2a2 -3 =a2(a+2) -3 D. (a-b) 2 =a2 -b2 3. 若把多项式 x2 +mx- 12 分解因式后含有因式 x- 6,则 m 的值 为(　 　 ) A. 2 B. -2 C. 4 D. -4 4. (河北中考)某同学粗心大意,分解因式时,把等式 a4 -※ = (a2 + 9)(a+3)(a-●)中的两个数弄污了,那么你认为式子中的※和 ●所对应的一组数是(　 　 ) A. 9,3 B. 81,3 C. 81,9 D. 27,3 5. 【新颖题】如表,嘉淇的得分是(　 　 ) 姓名:嘉淇　 　 　 　 　 得分:　 　 　 　 将下列各式分解因式. (每题 20 分,共计 100 分) 1. 2xy-4xyz= 2xy(1-2z); 2. -3x-6x2 = -3x(1-2x); 3. a2 +2a+1 =a(a+2); 4. m2 -4n2 =(m-2n) 2; 5. -2x2 +2y2 = -2(x+y)(x-y); A. 40 分 B. 60 分 C. 80 分 D. 100 分 6. 小明是一名密码翻译爱好者,在他的密码手册中有这样一条信 息:a-b,x-y,x+y,a+b,x2 -y2,a2 -b2 分别对应下列六个字:勤, 健,奋,美,励,志,现将(x2 -y2 )a2 -(x2 -y2 ) b2 因式分解,结果呈 现的密码信息应是(　 　 ) A. 勤奋健美 B. 健美励志 C. 励志勤奋 D. 勤奋励美 二、填空题 7. 一个多项式,把它因式分解后有一个因式为(x+1),请你写出一 个符合条件的多项式:　 　 　 　 　 　 　 　 　 . 8. 已知二次三项式 x2 -mx+16 能用完全平方公式分解因式,则 m 的值为　 　 　 　 　 . 9. 多项式“3m3 -5m2 +▲”分解因式的结果为 m(3m2 -5m-2),则原 多项式中“▲”处所缺的项为　 　 　 　 　 . 10. (西安期末)已知长方形的长和宽分别为 a、b,且长方形的周长 为 10,面积为 6,则 a3b+2a2b2 +ab3 的值为　 　 　 　 　 . 三、解答题 11. 因式分解: (1)4xy2 -4x2y-y3;　 　 　 　 (2)a2(x-y) +16(y-x) . 12. 如果一个正整数能表示成两个连续偶数的平方差,那么称这个 正整数为“神秘数”,如:4 = 22 -02,12 = 42 -22,20 = 62 -42,因此 4,12,20 这三个数都是“神秘数”. (1)猜想 200　 　 　 　 “神秘数”(直接填“是”或者“不是”); (2)设两个连续偶数为 2n 和 2n-2(其中 n 取正整数),由这两 个连续偶数构造的“神秘数”是 4 的倍数吗? 为什么? (3)两个连续奇数(取正整数) 的平方差是“神秘数” 吗? 为 什么? 13. 阅读并解答:对于三次多项式 x3 -x2 -3x+3,我们把 x = 1 代入多 项式,发现 x3 -x2 -3x+3 = 0,由此可以推断多项式中有因式(x- 1),设另一个因式为(x2 +ax+b),多项式可以表示成 x3 -x2 -3x+ 3 = (x-1)(x2 +ax+b),整理得 x3 -x2 -3x+3 = x3 -(1-a)x2 -(a-b) x-b,可得到 1-a = 1,b = -3,所以 a = 0,b = -3,把求出的 a,b 代 入,就可以把多项式 x3 -x2 -3x+3 因式分解. 以上这种因式分解 的方法叫“试根法” . 对于多项式 x3 +4x2 -3x-18,用“试根法”分 解因式. 14. 先阅读下列材料:我们已经学过将一个多项式分解因式的方法 有提公因式法和运用公式法,其实分解因式的方法还有分组分 解法、拆项法、十字相乘法等等. (1)分组分解法:将一个多项式适当分组后,可提公因式或运用 公式继续分解的方法. 如:ax+by+bx+ay = (ax+bx) +(ay+by) = x (a+b) +y(a+b)= (a+b)(x+y);2xy+y2 -1+x2 = x2 +2xy+y2 -1 = (x +y) 2 -1 = (x+y+1)(x+y-1); (2)拆项法:将一个多项式的某一项拆成两项后,可提公因式或 运用公式继续分解的方法. 如:x2 +2x-3 = x2 +2x+1-4 = (x+1) 2 - 22 = (x+1+2)(x+1-2)= (x+3)(x-1) . 请你仿照以上方法,探索并解决下列问题: (1)分解因式:a2 -4a-b2 +4; (2)分解因式:x2 -6x-7; (3)若△ABC 的三边 a、b、c 满足 a2 -ab-ac+bc= 0,试判断△ABC 的形状. 专项 6 　 　 　 　 　郑州专版·八年级数学·下册　 第 1 页 郑州专版·八年级数学·下册　 第 2 页 郑州专版·八年级数学·下册　 第 3 页 追梦专项六　 分式 一、选择题 1. 在a -b 2 ,x +3 x ,5 +x π ,a +b a-b , 1 a 中,是分式的有(　 　 ) A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 2. 若分式x +2 x-3 有意义,则 x 的取值范围是(　 　 ) A. x≠-2 B. x≠3 C. x>3 D. x<3 3. 如果把分式 3x x2 +y2 中的 x 和 y 都扩大 3 倍,那么分式的值(　 　 ) A. 扩大 9 倍 B. 扩大 3 倍 C. 不变 D. 缩小到原来的 1 3 4. 把 1 x-2 , 1 (x-2)(x+3) , 2 (x+3) 2 通分的过程中,不正确的是(　 　 ) A. 最简公分母是(x-2)(x+3) 2 B. 1 x-2 = (x+3) 2 (x-2)(x+3) 2 C. 1 (x-2)(x+3) = x+3 (x-2)(x+3) 2 D. 2 (x+3) 2 = 2x-2 (x-2)(x+3) 2 5. 如图,若 a= 2b,则表示 a 2 -ab a2 -b2 的值的点落在(　 　 ) A. 第①段 B. 第②段 C. 第③段 D. 第④段 6. 美琪在做数学作业时,不小心将式子中除号后边的代数式污染, 即 4-x2 3x2 -2xy ÷ ,通过查看答案,答案为 x +2 3x-2y ,则被污染的 代数式为(　 　 ) A. 2 x+1 B. x -2 x C. 2 -x x D. x +1 2x-1 7. (武汉期末)如图,“丰收 1 号”小麦的试验田是边长为m米(m>1)的 正方形去掉一个边长为 1 米的正方形蓄水池后余下的部分,“丰收 2 号”小麦的试验田是边长为(m-1)米的正方形,两块试验田的小麦 都收获了 n 千克.设“丰收 1 号”小麦和“丰收 2 号”小麦的单位面积 产量分别为 P 千克 /米2 和 Q 千克 /米2. 下列说法:①P>Q;②P=Q; ③P<Q;④P 是 Q 的m -1 m+1 倍.其中正确的个数有(　 　 ) A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 二、填空题 8. 若分式 | x | -1 x+1 的值为 0,则 x 应满足的条件是　 　 　 　 . 9. 【跨学科试题】如果两只灯泡的额定功率分别是 P1 = U2 R ,P2 = U2 5R , 那么第一只灯泡的额定功率 P1 是第二只灯泡额定功率 P2 的　 　 　 　 倍. 10. 【农业生活】绿化队原来用漫灌方式浇绿地,a 天用水 m 吨,现 在改用喷灌方式,可使这些水多用 3 天,现在比原来每天节约 用水　 　 　 　 吨. 三、解答题 11. 计算: (1)(m-2+ 3 m+2 ) ÷m 2 -2m+1 m2 -4 . 　 　 　 (2) a -3 a2 +4a+4 ·a 2 -4 a-3 + 2 a+2 . 12. (北京期末) 【过程性学习】学习了分式运算后,老师布置了这 样一道计算题: 2 x2 -1 - 1 x-1 ,甲、乙两位同学的解答过程分别如 表,老师发现这两位同学的解答过程都有错误. 请你从甲、乙两 位同学中,选择一位同学的解答过程,帮助他分析错因,并加以 改正. 甲同学: 2 x2 -1 - 1 x-1 = 2 (x+1)(x-1) - 1 x-1 ① = 2 (x+1)(x-1) - 1 (x+1)(x-1) ② = 2-1 (x+1)(x-1) ③ = 1 (x+1)(x-1) 乙同学: 2 x2 -1 - 1 x-1 = 2 (x+1)(x-1) - 1 x-1 ① = 2 (x+1)(x-1) - x+1 (x+1)(x-1) ② = 2-(x+1)③ = 1-x (1)我选择　 　 　 　 同学的解答过程进行分析; (2)该同学的解答从第　 　 　 　 步开始出现错误(填序号),错 误的原因是　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ; (3)请写出正确的解答过程. 13. 如图所示是小婷同学的数学日记,请仔细阅读,并回答相应的 问题: ×年×月×日,星期日 整体代入法求分式的值 　 　 今天我在一本数学课外书上看到这样一道题:已知 1 x - 1 y = 2(xy≠0),求分式3x -5xy-3y x+6xy-y 的值. 该题没有给出 x,y 的 值,怎样求出分式的值? 数学课外书上介绍了这两种方法: 　 　 方法 1: 1 x - 1 y = 2,∴ y -x xy = 2,∴ y-x = 2xy,∴ x-y = -2xy, ∴ 原式= 3(x -y)-5xy (x-y)+6xy = 3×(-2xy)-5xy -2xy+6xy = -11xy 4xy = -11 4 . 　 　 方法 2:xy≠0,将分式的分子、分母同时除以 xy 得,原式 =(3x-5xy-3y)÷xy (x+6xy-y)÷xy =… (1)“方法 1”中运用了“分式”这一章的数学依据是　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 . (2)请你将“方法 2”中的剩余解题过程补充完整. (3)若 b=ab+a(a,b 都不为 0),请求出5b -7ab-5a a-ab-b 的值. 15°,∴ t= 15 5 = 3. ∴ 此时 t 的值是 3; (2) ∠ECB-∠DCA = 15°. 理由如下:由旋转得: ∠ACE= 5t,∴ ∠DCA = 30°- 5t,∠ECB = 45°- 5t, ∴ ∠ECB-∠DCA= (45°-5t) -(30°-5t)= 15°; (3)15s 或 24s 或 27s 或 33s　 【解析】分四种情 况:①当 AB∥DE 时,如图 4,∠ACE = 45°+ 30° = 75°,t= 75÷5 = 15(s);②当 AB∥CE 时,如图 5,则 ∠BCE= ∠B= 90°,∴ ∠ACE = 90°+45° = 135°,t = 135÷5 = 27(s);③当 AB∥CD 时,如图 6,即∠ABC = ∠BCD = 90°,又∵ ∠EDC = 90°,∴ DE∥BC,则 ∠DCB= ∠B= 90°,∠ACE= 30°+90°+45° = 165°,t = 165 ÷ 5 = 33 ( s);④ 当 AC∥DE 时,如图 7,∴ ∠ACD= ∠D= 90°,∴ ∠ACE = 90°+30° = 120°,t = 120÷5 = 24( s);综上,t 的值是 15s 或 24s 或 27s 或 33s. 图 4 图 5 图 6 图 7 追梦专项五　 因式分解 一、选择题 1. C　 2. B 3. D　 【解析】设 x2 +mx-12 = (x-6) (x+a)= x2 +(a- 6)x-6a,可得 m = a-6,6a = 12,解得 a = 2,m = -4. 故选 D. 4. B 5. A　 【解析】2. 原式 = -3x(1+2x),错误;3. 原式 = (a+1) 2,错误;4. 原式=(m+2n)(m-2n),错误. 1, 5 正确,得分为 40 分. 故选 A. 6. A　 【解析】原式=(x2 -y2)(a2 -b2)= (x+y)(x-y) (a+b)(a-b) . 所以呈现的密码信息为勤奋健美. 故选 A. 二、填空题 7. x2 -1(答案不唯一) 8. ±8 【解题技巧】根据完全平方公式,第一个数为 x,第二 个数为 4,中间应加上或减去这两个数积的两倍. 9. ( -2m) 　 【解析】∵ m(3m2 - 5m- 2) = 3m3 - 5m2 - 2m,而 3m3 - 5m2 + ▲ = m (3m2 - 5m - 2),∴ ▲ = (-2m) . 10. 150　 【解析】由题意,得 ab = 6,a+b = 5,∴ 原式 = ab(a2 +2ab+b2)= ab(a+b) 2 = 150. 三、解答题 11. 解:(1)原式= y(4xy-4x2 -y2)= -y(2x-y) 2; (2)原式=a2(x-y) -16(x-y) = (x-y) (a2 -16) = (x-y)(a+4)(a-4) . 12. 解:(1)不是 (2)是;理由如下:∵ (2n) 2 -(2n-2) 2 = (2n+2n- 2)(2n-2n+2)= 2×(4n-2)= 4(2n-1),∴ 这两个 连续偶数构造的“神秘数”是 4 的倍数. (3)设这两个连续奇数为:2n-1,2n+1(n 为正整 数),∴ (2n+1) 2 -(2n-1) 2 = (2n+1+2n-1)(2n+1 -2n+1) = 4n·2 = 8n,而由(2)知“神秘数” 是 4 的奇数倍,∴ 不是 8 的倍数,∴ 两个连续奇数(取 正整数)的平方差不是“神秘数” . 13. 解:∵ 当 x = 2 时,x3 +4x2 -3x-18 = 8+16-6-18 = 0,∴ 多项式有因式(x-2),设另一个因式为(x2 + ax+b),∴ x3 +4x2 -3x-18 = (x-2)(x2 +ax+b),∴ x3 +4x2 -3x-18 = x3 +(a-2) x2 -(2a-b) x-2b,∴ a-2 = 4,-2b= -18,∴ a = 6,b = 9,∴ x3 +4x2 -3x-18 = (x-2)(x2 +6x+9)= (x-2)(x+3) 2 . 14. 解:(1)原式=a2 -4a+4-b2 = (a-2) 2 -b2 = (a+b- 2)(a-b-2); (2)原式= x2 -7x+x-7 = x(x-7) +(x-7) = (x-7) (x+1); (3)∵ a2 -ab-ac+bc= 0,∴ a(a-b) -c(a-b)= 0,∴ (a-b)(a-c)= 0,∴ a-b = 0 或 a-c = 0 或 a-b = 0, a-c= 0,∴ a= b 或 a = c 或 a = b = c,∴ △ABC 是等 腰三角形或等边三角形. 追梦专项六　 分式 一、选择题 1. C　 【解析】是分式的为:x +3 x ,a +b a-b , 1 a ,所以共有 3 个. 故选 C. 2. B　 【解析】根据题意,得 x-3≠0,解得 x≠3. 故选 B. 【方法指导】从以下三个方面透彻理解分式的概念: (1)分式无意义⇔分母为零;(2)分式有意义⇔分母 不为零;(3)分式值为零⇔分子为零且分母不为零. 3. D 4. D　 【解析】D. 通分不正确,分子应为 2(x-2)= 2x -4. 故选 D. 5. C　 【解析】原式= a(a -b) (a+b)(a-b) = a a+b ,当 a= 2b 时, 原式= 2 3 ,应落在第③段. 故选 C. 6. C 　 【解 析 】 由 题 意, 得 4-x2 3x2 -2xy ÷ x+2 3x-2y = (2+x)(2-x) x(3x-2y) ·3x -2y x+2 = 2-x x ,∴ 被污染的代数式为 2-x x . 故选 C. 7. B　 【解析】根据题意得 P= n m2 -1 ,Q= n (m-1) 2 ,∴ P -Q= n m2 -1 - n (m-1) 2 = n· -2 (m+1)(m-1) 2 . ∵ m>1, ∴ (m+1) (m-1) 2 >0,∴ P-Q<0,即 P<Q,∴ ③正 确;∵ P Q = n m2 -1 ÷ n (m-1) 2 =m-1 m+1 ,∴ P=m -1 m+1 Q,∴ ④ 正确. 故选 B. 二、填空题 8. x= 1　 【解析】由题意,得 | x | -1 = 0 且 x+1≠0,解 追梦之旅·初中期末真题篇·郑州 ZBB·八年级数学下　 第 5 页 得 x= 1. 9. 5　 10. 3m a(a+3) 三、解答题 11. 解:( 1) 原式 = (m 2 -4 m+2 + 3 m+2 ) ÷ (m -1) 2 (m+2)(m-2) = (m+1)(m-1) m+2 ·(m +2)(m-2) (m-1) 2 =m 2 -m-2 m-1 . (2) 原式 = a -3 (a+2) 2 · (a +2)(a-2) a-3 + 2 a+2 = a-2 a+2 + 2 a+2 = a a+2 . 12. 解:例:(1)甲 (2)②　 1 x-1 通分时分子没有乘(x+1) (3 ) 原式 = 2 (x+1)(x-1) - 1 x-1 = 2 (x+1)(x-1) - x+1 (x+1)(x-1) = 2-(x+1) (x+1)(x-1) = 1-x (x+1)(x-1) = - x-1 (x+1)(x-1) = - 1 x+1 . 13. 解:(1)分式的分子与分母同乘(或除以)一个不 等于 0 的整式,分式的值不变 ( 2 ) 原 式 = (3x -5xy-3y) ÷xy (x+6xy-y) ÷xy = 3 y -5- 3 x 1 y +6- 1 x = 3( 1 y - 1 x ) -5 1 y - 1 x +6 . ∵ 1 x - 1 y = 2,∴ 1 y - 1 x = -2,∴ 原式 = 3×( -2) -5 -2+6 = -11 4 ; (3 ) ∵ b = ab + a, ∴ a - b = - ab, ∴ 原 式 = -5(a-b) -7ab a-b-ab = -5×( -ab) -7ab -ab-ab = -2ab -2ab = 1. 追梦专项七　 分式方程 一、选择题 1. B 2. D 【技巧点拨】找到最简公分母是解分式方程的最重要 一步;注意单独的一个数也要乘最简公分母;互为相 反数的两个数为分母,最简公分母为其中的一个,另 一个乘以最简公分母后,结果为-1. 3. B　 【解析】将 x = 1 代入方程,得: m 2-1 - 1 1-2 = 3,解 得 m= 2. 故选 B. 4. A　 【解析】 根据题意,得 3 x2 -(-2)x = - 1 2 ( 1 x - 1 x-2 ),解得 x= 4,经检验 x = 4 是分式方程的解. 故 选 A. 5. B　 【解析】∵ 分式方程有增根,∴ x = 4;分式方程 两边同时乘以(x-4),得 3-x+m = x-4,整理得 m = 2x-7,当 x= 4 时,m= 1. 故选 B. 【技巧点拨】要准确理解分式方程有增根的意义,即 分式方程有增根→最简公分母为零→对应的 x 的值 即为相应的整式方程的根. 6. A 二、填空题 7. 1 x-1 = 6(答案不唯一) 8. 3 2 　 【解析】由题意,得 1 4-x + 1 2-3x = 0,解得 x = 3 2 , 经检验 x= 3 2 是分式方程的解. 9. a≥1 且 a≠2　 【解析】解方程,得 x= 2a-2. ∵ 关于 x 的分式方程x -a x-2 = 1 2 的解为非负数,x- 2≠0,∴ 2a-2≥0 2a-2-2≠0{ ,解得 a≥1 且 a≠2. 10. m>3 且 m≠9　 【解析】解方程,得 x = m -3 2 . ∵ 关 于 x 的方程2x -m x-3 -1 = x 3-x 的解为正数且 x≠3,∴ m-3 2 >0 m-3 2 ≠3 ì î í ï ï ï ï ,∴ m>3 且 m≠9. 11. 15　 【解析】根据题意,得: 1 5 - 1 x = 1 3 - 1 5 . 解得 x = 15. 经检验:x = 15 为原方程的解,∴ x 的值是 15. 三、解答题 12. 解:(1)方程两边同乘(x-1),得 3+x= 3(x-1),解 得 x= 3,检验:当 x= 3 时,x-1≠0,∴ 原分式方程 的解为 x= 3; (2)方程两边同乘(x-5)(x+5),得 3(x+5) +4(x -5)= 2,解得 x = 1,检验:当 x = 1 时,( x-5) ( x+ 5)≠0,∴ 原分式方程的解为 x= 1. 13. 解:(1)(1+50%)x (2)根据题意,得4 200 x - 4 200 (1+50%)x = 14,解得 x = 100,经检验,x= 100 是原方程的解,且符合题意, ∴ (1+50%) x = 150,答:现在每天生产 150 万块 芯片. 14. 解:(1)设足球的单价为 x 元,则篮球的单价为(x +10)元. 依题意,得 600 x+10 = 500 x . 解得 x = 50,经检 验,x = 50 是原方程的解,且符合题意,∴ x+10 = 60. 答:篮球的单价为 60 元,足球的单价为 50 元. (2)设购买足球 m 个,则购买篮球(60-m)个. 依 题意,得 60-m≥2m60-m≤47{ ,解得 13≤m≤20,设学校购 买篮球和足球两种用品共花 w 元,则 w = 60×0. 8 (60-m) +50×0. 7m= -13m+2880. ∵ k= -13<0,∴ 追梦之旅·初中期末真题篇·郑州 ZBB·八年级数学下　 第 6 页