专题06 多变量最值问题- 2025年高考数学一轮复习重难点微专题突破（新高考专用）

专题06　多变量最值问题 题型1 换元法 例1　(1)已知正数x，y满足＋＝1，则x＋y的最小值为___． (2)已知x，y为正实数，则＋的最大值为___． (3)若x＞0，y＞0，且x＋2y＝1，则＋的最小值为_ __． 换元法实质还是配凑或者常数代换法的拓展，在已知条件或者所求表达式的分母上出现一次二项式时，可尝试使用． 题型2 因式分解双换元 例2　(1)已知0＜a＜1,0＜b＜1，且4(a＋b)＝4ab＋3，则a＋2b的最大值为(　 　) A．2 B．2 C．3－ D．3－2 (2)已知x2－3xy＋2y2＝1(x，y∈R)，则x2＋y2的最小值为(　 　) A．－6 B．＋6 C．2＋6 D．2－6 (1)特征：条件式子复杂，一般有一次和二次(因式分解展开就是一次和二次)，可能就符合因式分解原理． (2)最常见的因式分解：a＋b＋ab＋1＝(a＋1)(b＋1)． 题型3 构造二次不等式 例3　(1)已知正数a，b满足a＋b＋＋＝10，则a＋b的最大值是__ _． (2)已知x，y＞0，若x＋4y＋6＝＋，则＋的最小值是(　　) A．8 B．7 C．6 D．5 若变量x，y满足mx＋ny＋＋＝t，处理办法： (1)问谁设谁：求谁，设谁就是k； (2)代入整理：整理成某个变量的一元二次方程(或不等式)； (3)确认最值：方程有解(或不等式用均值放缩)，从而确定最值． 题型4 待定系数配凑法 例4　(1)已知a＞0，b＞0，则的最大值为__ __． (2)已知a，b，c是正实数，则的最大值为____． ab＋bc＝a·b＋b·c≤＋(λ，μ＞0)，a2＋b2＋c2＝a2＋λb2＋(1－λ)b2＋c2≥2ab＋2bc(0＜λ＜1)． 一般通过类似上式构造，配凑出题目所需要的结构，进而化简整理得到题目所求最值，分式最值注意上下系数成比例． 1.已知x，，则的最小值为  (    ) A. B. 6 C. D. 2.已知，，且，则的最小值为  (    ) A. B. C. D. 3.设正数m，n，，，则的最大值是  (    ) A. B. C. D. 1 4.已知正实数a，b满足：，则的最大值是  (    ) A. 2 B. C. D. 5.若，，且，则的最小值为  (    ) A. 2 B. C. 4 D. 6.已知，且，则的最小值为  (    ) A. 14 B. 15 C. 13 D. 12 7.(2024·云南省·其他类型)已知，，，则的最小值为  (    ) A. B. C. D. 8.(2022·江苏省淮安市·单元测试)已知实数x，y满足，且，则的最小值为  (    ) A. B. C. D. 9.已知实数a，b，c满足，则的最大值是  (    ) A. B. 2 C. D. 3 10.已知正实数x，y，z满足，则的最小值是  (    ) A. 9 B. 3 C. 4 D. 5 11.（多选）(2024·河北省·联考题)已知正数a，b 满足，则下列选项正确的是(    ) A. B. C. D. 12.（多选）(2024·湖南省长沙市·月考试卷)设，，且，则(    ) A. ab的最大值为 B. 的最小值为1 C. 的最小值为 D. 的最小值为 13.（多选）(2023·江苏省·联考题)已知x，y为正实数，，则  (    ) A. xy的最大值为1 B. 的最小值3 C. 的最小值为 D. 的最小值为 14.(2023·天津市市辖区·期中考试)已知，，且，则的最小值为__________. 15.已知正数a，b满足，则的最小值为__________，此时__________. 16.若，，且，则的最小值等于__________，的最大值等于__________. 17.(2023·江西省·单元测试)若正实数x，y满足，则的最小值为__________. 18.(2022·河南省开封市·期中考试)若实数x，y满足，且，则的最小值为__________. 19.(2022·浙江省·历年真题)若正实数，x，y满足，则xy的最小值是__________. 20.(2022·上海市市辖区·期中考试)已知实数a，b，c满足，，则a的最大值是__________. 21.若存在正实数y，使得，则实数x的最大值为__________. 22.已知x，y均为正数，且，则的最小值为__________. 23.(2022·全国·同步练习)若x，y是正数，则的最小值是__________. 24.(2023·天津市市辖区·月考试卷)设，，，则的最小值为__________. 25.(2022·天津市市辖区·期中考试)已知，则的最小值为_____