初中几何：特殊角特殊值或三角函数值在解题时的妙用-中考数学试题方法研究

初中几何：特殊角特殊值或三角函数值在解题时的妙用 在解几何题时，我们常常会遇到有以下特殊值的情形： 1 特殊角：30º、60º，45º、135º； ②特殊数值：（隐含45º角），（隐含60º角），（隐含30º角）； ③三角函数值：正弦、余弦、正切值 遇到这些特殊值或三角函数值时，我们可以直接构造直角三角形。 不过有时还可能出现以下几种情形： ④有时两个角的和恰好是个特殊角，比如发现三角形的两个内角和是特殊角：30º、45º或60º，那么根据外角定理，就利用这个外角构造直角三角形； ⑤有时题目中特殊角或特殊值没有明确给出，比较隐含，需要我们去挖掘，比如在直角坐标系中直线与坐标轴所成的角： 对于直线：y=kx+b ▪ 如果k=1，那么直线与坐标轴x轴正半轴夹角为45º，方向向右上倾斜； ▪ 如果k=-1，那么直线与坐标轴的正半轴夹角夹角为135º，方向向右下倾斜； ▪ 如果k=，那么直线与x轴正半轴夹角为30º，方向向右上倾斜； ▪ 如果k=，那么直线与x轴正半轴夹角为150º，方向向右下倾斜； ▪ 如果k=，那么直线与坐标轴的正半轴夹角夹角为60º，方向向右上倾斜； ▪ 如果k=，那么直线与坐标轴的正半轴夹角夹角为120º，方向向右下倾斜； 碰到含有这些含特殊值或特殊角的题目时，应该怎么办？不用怕，其实，这种题目有很强的解题方法和技巧！ 当看到这些特殊角/值或三角函数值时，一般情况下，我们不用多想：直接利用特殊角或特殊值所在的角或线段，构造直角三角形或等边三角形，然后利用直角三角形（勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等）或等边三角形（三线合一、利用等边三角形的边构造全等三角形等）的性质解题。 (1) ①30°/60º特殊角的应用 【常用性质】①勾股定理②在直角三角形中30º所对的边等于斜边的一半 例1、如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB＝5，BC＝6． （1）求OD长的取值范围； （2）若∠CBD＝30°，求OD的长． 【答案】（1）（2）+2． 【解析】（1）提示：∵CD＝5，BC＝6，1＜BD＜11，OD为BD的一半 ∴ （2）过C作CE⊥BD于E，（因为∠CBD＝30°为特殊角，那么我们直接过点C作CE⊥BD，构造两个直角三角形） Rt△CBE中，∵∠CBD＝30°，BC＝6， ∴CE＝3，BE＝＝3， 在Rt△CED中，CD2＝DE2+CE2， 代入CD、CE的值，解得：DE＝4， ∴BD＝BE+DE＝3+4， ∴OD＝BD＝+2， 则OD的长是+2． 2 45°特殊角的应用 【解题方法】构造等腰直角三角形，然后利用等腰直角三角形的边构造全等三角形。 例2、如图，已知点B（0，2），A（﹣6，﹣1）在反比例函数的图象上，作射线AB，再将射线AB绕点A逆时针旋转45°后，交反比例函数图象于点C，则点C的坐标为　 　．② 【答案】（，18） 【解析】如图所示，过B作BD⊥AC于D，（因为∠CAB＝45°为特殊角，所以我们直接过点B作BD⊥AC，构造等腰直角三角形） 过D作DE⊥y轴于E，过A作AF⊥DE于F，则△ABD为等腰直角三角形，易得△AFD ≌△DEB， 设DF＝BE＝a， ∵B（0，2），A（﹣6，﹣1）， ∴OE＝a+2＝GF，DE＝6﹣a，AF＝a+3， ∵AF＝DE， ∴a+3＝6﹣a， 解得a＝， ∴D（，）， 设直线AD的解析式为y＝k＇x+b，则 代入AD两点坐标， 解得， ∴y＝3x+17， ∵A（﹣6，﹣1）在反比例函数的图象上， ∴k＝6，即y＝， 解方程组，可得或， ∴点C的坐标为（，18）， 故答案为：（，18）． （2）特殊值的应用 例3、【特殊值▪本题中特殊值为隐含条件】如图1，设D为锐角△ABC内一点，∠ADB＝∠ACB+90°． （1）求证：∠CAD+∠CBD＝90°； （2）如图2，过点B作BE⊥BD，BE＝BD，连接EC，若AC•BD＝AD•BC， ①求证：△ACD∽△BCE； ②求的值． 【答案】（2）② 【解析】 （1）【证明】如图1，延长CD交AB于E， ∵∠ADE＝∠CAD+∠ACD， ∠BDE＝∠CBD+∠BCD， ∴∠ADB＝∠ADE+∠BDE＝∠CAD+∠CBD+∠ACB， ∵∠ADB＝∠ACB+90°． ∴∠CAD+∠CBD＝90°； （2）①如图2，∵∠CAD+∠CBD＝90°，∠CBD+∠CBE＝90°， ∴∠CAD＝∠CBE， ∵AC•BD＝AD•BC，BD＝BE， ∴ ∴△ACD∽△BCE； ②如图2，连接DE， ∵BE⊥BD，BE＝BD， ∴△BDE是等腰直角三角形， ∴（首先算出本题中隐含的特殊值，连接DE，构造等腰直角三角形） ∵△ACD∽△BCE， ∴∠ACD＝∠BCE， ∴∠ACB