7.3.1 离散型随机变量的均值-2023-2024学年高二数学新教材【教材解读】（人教A版2019选择性必修第三册）

7.3.1 离散型随机变量的均值 [核心素养·学习目标] 课程标准 课标解读 1.通过具体实例，理解离散型随机变量分布列的数字特征均值与方差; 2.能解决与离散型随机变量相关的数学问题与实际问题中的均值与方差的求解问题. 3.能解决一些与平均水平与稳定性的简单问题与决策性问题. 通过本节课的学习,要求掌握离散型随机变量的均值与方差、标准差的求解，能解决与之相关的简单问题，有关决策性问题的处理意见与建议.会判断平均水平与稳定性. 课前预习 预习01离散型随机变量的均值 1．定义：一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示， X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 则称为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望． 2.意义：均值是随机变量可能取值关于取值概率的 ，它综合了随机变量的取值和取值的 ，反映了随机变量取值的 ． 3．两点分布的均值 一般地，如果随机变量服从两点分布，那么E(X)＝p． 预习02离散型随机变量均值的性质 均值的性质 (1)若X为常数c，则E(X)＝C． (2)如果X为(离散型)随机变量，则Y＝aX＋b(其中a，b为常数)也是随机变量，且 ＝P(X＝xi)，i＝1，2，3，…，n. E(Y)＝ ＝ ． 知识讲解 知识点 1.离散型随机变量的均值或数学期望：一般地，若离散型随机变量X的分布列，如图所示 X … P … 则称为随机变量X的均值或数学期望，简称期望。均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平. 【特别注意】 1.求随机变量X的均值的方法和步骤 (1)理解随机变量X的意义，写出X所有可能的取值． (2)求出X取每个值的概率P(X＝k)． (3)写出X的分布列． (4)利用均值的定义求E(X)． 2.（1）期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均. （2）EX是一个实数，由X的分布列唯一确定，即作为随机变量X是可变的，可取不同值，而EX是不变的，它描述X取值的平均状态. （3）EX＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn直接给出了EX的求法，即随机变量取值与相应概率分别相乘后相加. 3. 两点分布的均值：一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝p． 【特别注意】两点分布的特点 (1)两点分布中只有两个对应结果，且两个结果是对立的． (2)由对立事件的概率求法可知P(X＝0)＋P(X＝1)＝1． 4. 离散型随机变量的均值的性质： 若Y＝aX＋b，其中a，b均是常数(X是随机变量)，则Y也是随机变量，且E(aX＋b)＝aE(X)＋b． 【常用结论】若Y＝aX＋b，其中a，b是常数，X是随机变量，则 (1)E(k)＝k，D(k)＝0，其中k为常数； (2)E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)； (3)E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)； (4)D(X)＝E(X2)－(E(X))2； (5)若X1，X2相互独立，则E(X1·X2)＝E(X1)·E(X2)； 【大招总结】 大招1 利用定义求离散型随机变量的均值 求随机变量X的均值的方法和步骤 (1)理解随机变量X的意义，写出X所有可能的取值． (2)求出X取每个值的概率P(X＝k)． (3)写出X的分布列． (4)利用均值的定义求E(X)． 大招2离散型随机变量均值的性质 求线性关系的随机变量η＝aξ＋b的均值方法 (1)定义法：先列出η的分布列，再求均值． (2)性质法：直接套用公式，E(η)＝E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b，求解即可． 大招3 均值的实际应用 解答概率模型的三个步骤 (1)建模：即把实际问题概率模型化． (2)解模：确定分布列，计算随机变量的均值． (3)回归：利用所得数据，对实际问题作出判断． 典型例题 题型01利用定义求离散型随机变量的均值 【例1】抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得－1分，则得分X的均值为(　　) A．0 B. C．1 D．－1 【解析】因为P(X＝1)＝，P(X＝－1)＝，所以由均值的定义得E(X)＝1×＋(－1)×＝0.故选A 【变式】袋中有10个大小相同的小球，其中记为0号的有4个，记为n号的有n个(n＝1,2,3)．现从袋中任取一球，X表示所取到球的标号，则E(X)等于(　　) A．2 B. C. D. 题型02两点分布的均值 【例2】设随机变量服从两点分布，若，则（    ） A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7 【答案】D 【详解】由题意得， 因为， 所以解得， 所以， 故选