7.3 离散型随机变量的均值与方差（知识解题+达标测试）-2024-2025学年高二数学《知识解读•题型专练》（人教A版2019选择性必修第三册）

7.3离散型随机变量的均值与方差 【考点1：求离散型随机变量的均值】 【考点2：均值的性质】 【考点3：由离散型随机变量的均值求参数】 【考点4：离散型随机变量的方差与标准差】 【考点5：方差的性质】 知识点：离散型随机变量的均值与方差： （1）均值：为随机变量的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平． （2）均值的性质 ①（为常数）． ②若，其中为常数，则也是随机变量，且． ③． ④如果相互独立，则． （3）方差：为随机变量的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，称其算术平方根为随机变量的标准差． （4）方差的性质 ①若，其中为常数，则也是随机变量，且． ②方差公式的变形：． 【考点1：求离散型随机变量的均值】 【典例1】第19届亚运会于2023年9月23日在我国杭州举行，浙江某大学举办了一次主题为“喜迎杭州亚运，讲好浙江故事”的知识竞赛，并从所有参赛大学生中随机抽取了100人，统计发现他们的竞赛成绩分数均分布在内，根据调查的结果绘制了学生分数频率分布直方图，如图所示．高于850分的学生被称为“特优选手”． (1)求a的值，并估计该校学生分数的第70百分位数和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)现采用分层抽样的方式从分数在，内的两组学生中共抽取10人，再从这10人中随机抽取4人，记被抽取的4名学生中是“特优选手”的人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望． 【变式1-1】某种资格证考试分为笔试和面试两部分，考试流程如下：每位考生一年内最多有两次笔试的机会，最多有两次面试的机会．考生先参加笔试，一旦某次笔试通过，不再参加以后的笔试，转而参加面试；一旦某次面试通过，不再参加以后的面试，便可领取资格证书，否则就继续参加考试．若两次笔试均未通过或通过了笔试但两次面试均未通过，则考试失败．甲决定参加考试，直至领取资格证书或考试失败，他每次参加笔试通过的概率均为，每次参加面试通过的概率均为，且每次考试是否通过相互独立． (1)求甲在一年内考试失败的概率； (2)求甲在一年内参加考试次数的分布列及期望． 【变式1-2】为提升基层综合文化服务中心服务效能，广泛开展群众性文化活动，某村干部在本村的村民中进行问卷调查，将他们的成绩（满分：100分）分成7组：.整理得到如下频率分布直方图. (1)求的值并估计该村村民成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； (2)从成绩在内的村民中用分层抽样的方法选取6人，再从这6人中任选3人，记这3人中成绩在内的村民人数为，求的分布列与期望. 【变式1-3】新春佳节即将到来，某超市为了刺激消费、提高销售额，举办了回馈大酬宾抽奖活动，设置了一个抽奖箱，箱中放有7折、7.5折、8折的奖券各2张，每张奖券的形状都相同，每位消费者可以从中任意抽取2张奖券，最终超市将在结账时按照2张奖券中最优惠的折扣进行结算． (1)求一位消费者抽到的2张奖券的折扣相同的概率； (2)若某位消费者购买了300元（折扣前）的商品，记这位消费者最终结算时的消费金额为，求的分布列及数学期望． 【考点2：均值的性质】 【典例2】已知随机变量的分布列为：设，则的数学期望的值是（    ） -1 0 1 A． B． C． D． 【变式2-1】若随机变量服从两点分布，其中，则以下正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】已知X的分布列为： X －1 0 1 P a 设，则Y的数学期望的值是（    ） A． B． C．1 D． 【变式2-3】已知随机变量的分布列为，则（    ） A． B． C． D． 【考点3：由离散型随机变量的均值求参数】 【典例3】已知随机变量的分布列为 0 1 若，，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3-1】已知某一随机变量的概率分布列如下，且，则的值为（    ） 7 9 0.1 0.4 A．4 B．5 C．3 D．7 【变式3-2】已知X的分布列为 X ﹣1 0 1 P 且Y＝aX+3，E（Y），则a为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【考点4：离散型随机变量的方差与标准差】 【典例4】甲､乙两名同学在一次答题比赛中答对题数的概率分布分别如下表所示. 甲 答对题数 0 1 2 3 概率 0.1 0.2 0.4 0.3 乙 答对题数 0 1 2 3 概率 0.2 0.1 0.3 0.4 (1)求甲､乙两名同学答题答对题数的期望； (2)试分析甲､乙两名同学谁的成绩好一些. 【变式4-1】某抽奖活动规则如下：从装有3个红球，2个白球的袋中随机取2个球，每取出一个红球奖励50元．设一次抽奖随机取出的红球的个数为X． (1)求随机变量X的分布列，期望和方差； (2)若参与一次需要花费60元，设每次抽奖的收益为Y元，直接写出随机变量Y的期望和方差． 【考点5：方差的性质】 【典例5】随机变量X的分布列如表所示，若，则（    ） X 0 1 P a b A．3 B． C．5 D．9 【变式5-1】已知随机变量的分布列是： 1 2 3 P 0.4 0.2 0.4 则（    ） A．0.6 B．0.8 C．1 D．1.2 【变式5-2】已知离散型随机变量X的分布列为下表且，则（ ） X 0 1 P A．1 B． C． D． 【变式5-3】随机变量X的分布列如表所示，若，则 . X －1 0 1 P a b 一、单选题 1．已知离散型随机变量的分布列为 0 1 则（   ） A． B． C． D． 2．已知在所有矿石中含有某种稀有元素的概率约为0.1，小郅与小祥同学有一把探测器可识别该稀有元素且准确率高达0.9（即有0.1的概率对不含有该稀土元素的矿石作出反应）.在某次探索实践任务中，他们共同发现了一堆由探测器检验含有该元素的矿石，但是否真的含有该元素则需进一步检验，再回实验室途中，小祥提出用2000元向小郅卖出所有矿石，若矿石中真实含有该元素，则价值约10000元，否则将一文不值.若小郅同学出钱购买，则他获得利润的均值约为：（     ）元. A．-2200 B．-1100 C．2200 D．7000 3．随机变量Y的分布列为下表所示，若Y的期望值为1，则：（    ） 0 2 A． B． C． D． 4．近年来中国人工智能产业爆发式的增长，推动了AI电商行业的快速发展，已知2020—2023年中国AI解决方案提供商企业数量分别为1617，2106，2329，2896，从这4个数字中任取2个数字，当所取两个数字差的绝对值小于500时，随机变量；当所取两个数字差的绝对值不小于500时，随机变量，则（    ） A． B． C． D． 5．已知随机变量的分布列如下： 1 2 则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．为了备战2023斯诺克世锦赛，丁俊晖与赵心童两人进行了热身赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，热身进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止，设丁俊晖在每局中获胜的概率为，赵心童在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，比赛停止时已打局数为，则（    ） A． B． C． D． 7．一个箱子中装有形状完全相同的5个白球和个黑球. 从中有放回的随机抽取4次，记其中白球的个数为，若，则（    ） A．1 B．2 C．4 D． 二、多选题 8．已知随机变量X的分布列为 X －1 0 1 P 下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．的最小值为 9．已知随机变量满足，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 10．有两盒乒乓球，每盒3个球分别标记为2，3，4，其中一盒均未使用过，另一盒3个球都已使用过．现从两个盒子各任取1个球，设球的号码分别为，，若事件“点恰好落在直线上”对应的随机变量为，，的数学期望和方差分别为，，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 11．某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数的概率分布为 1 2 3 4 商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为100元；分2期或3期付款，其利润为150元；分4期付款，其利润为200元．若表示经销一件该商品的利润，则 元． 12．若随机变量的分布列为 x -1 2 4 5 P 0.2 0.35 0.25 0.2 则的数学期望为 . 13．一位足球运动员在有人防守的情况下，射门命中的概率，用随机变量表示他一次射门的命中次数，则 ． 四、解答题 14．一个不透明的盒子中装有红色、黄色、白色、黑色小球各1个，这些小球除颜色外完全相同.现从盒于中随机抽取若干个小球，抽中的小球的颜色对应的得分如下表. 抽中小球的颜色 红色 黄色 白色 黑色 得分 1 2 3 4 (1)若有放回地从盒子中抽取2次，每次抽取1个小球，求抽中的小球对应的得分之和大于6的概率； (2)若一次性从盒子中抽取2个小球，记抽中的小球对应的得分之和为，求的分布列与期望． 15．中国体育代表团在2024年巴黎奥运会上取得了优异的成绩．为了解学生对奥运会的了解情况，某校组织了全校学生参加的奥运会知识竞赛，从一、二、三年级各随机抽取100名学生的成绩（满分：100分，各年级总人数相等），统计如下： 年级 一年级 40 60 二年级 25 75 三年级 10 90 学校将测试成绩分为及格（成绩不低于60分）和不及格（成绩低于60分）两类，用频率估计概率，所有学生的测试成绩结果互不影响． (1)从一、二年级各随机抽一名学生，记表示这两名学生中测试成绩及格的人数，求的分布列和数学期望； (2)从这三个年级中随机抽取两个年级，并从抽取的两个年级中各随机抽取一名学生，求这两名学生测试成绩均及格的概率． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 7.3离散型随机变量的均值与方差 【考点1：求离散型随机变量的均值】 【考点2：均值的性质】 【考点3：由离散型随机变量的均值求参数】 【考点4：离散型随机变量的方差与标准差】 【考点5：方差的性质】 知识点：离散型随机变量的均值与方差： （1）均值：为随机变量的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平． （2）均值的性质 ①（为常数）． ②若，其中为常数，则也是随机变量，且． ③． ④如果相互独立，则． （3）方差：为随机变量的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，称其算术平方根为随机变量的标准差． （4）方差的性质 ①若，其中为常数，则也是随机变量，且． ②方差公式的变形：． 【考点1：求离散型随机变量的均值】 【典例1】第19届亚运会于2023年9月23日在我国杭州举行，浙江某大学举办了一次主题为“喜迎杭州亚运，讲好浙江故事”的知识竞赛，并从所有参赛大学生中随机抽取了100人，统计发现他们的竞赛成绩分数均分布在内，根据调查的结果绘制了学生分数频率分布直方图，如图所示．高于850分的学生被称为“特优选手”． (1)求a的值，并估计该校学生分数的第70百分位数和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)现采用分层抽样的方式从分数在，内的两组学生中共抽取10人，再从这10人中随机抽取4人，记被抽取的4名学生中是“特优选手”的人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望． 【答案】(1)，， (2)分布列见解析， 【分析】（1）利用频率分布直方图的特征、百分位数、平均数的计算公式计算即可； （2）根据分层抽样的法则先确定两组抽取到的人数，再由离散型随机变量的分布列及期望公式计算即可. 【详解】（1）由频率分布直方图知， 设第70百分位数为x，前两组所占频率为， 前三组所占频率为，则x位于第三组数据中， 所以， 平均数 ； （2）由（1）知分数在，内的两组学生分别有 人， 所以各自抽取的人数分别为人， 显然“特优选手”有4人， 故X可取，， ， 所以其分布列为： X 0 1 2 3 4 P . 【变式1-1】某种资格证考试分为笔试和面试两部分，考试流程如下：每位考生一年内最多有两次笔试的机会，最多有两次面试的机会．考生先参加笔试，一旦某次笔试通过，不再参加以后的笔试，转而参加面试；一旦某次面试通过，不再参加以后的面试，便可领取资格证书，否则就继续参加考试．若两次笔试均未通过或通过了笔试但两次面试均未通过，则考试失败．甲决定参加考试，直至领取资格证书或考试失败，他每次参加笔试通过的概率均为，每次参加面试通过的概率均为，且每次考试是否通过相互独立． (1)求甲在一年内考试失败的概率； (2)求甲在一年内参加考试次数的分布列及期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析，． 【分析】（1）由一年内考试失败对应的笔试面试结果，分类讨论考试失败的概率； （2）由可能的取值，计算相应的概率，写出分布列，由公式计算期望 【详解】（1）甲每次参加笔试未通过的概率均为，每次参加面试未通过的概率均为． 甲两次笔试均未通过的概率为， 甲通过了第一次笔试，但两次面试均未通过的概率为， 甲未通过第一次笔试，通过了第二次笔试，但两次面试均未通过的概率为 所以甲在一年内考试失败的概率为． （2）由题意得的可能取值为， 所以的分布列为 2 3 4 故． 【变式1-2】为提升基层综合文化服务中心服务效能，广泛开展群众性文化活动，某村干部在本村的村民中进行问卷调查，将他们的成绩（满分：100分）分成7组：.整理得到如下频率分布直方图. (1)求的值并估计该村村民成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； (2)从成绩在内的村民中用分层抽样的方法选取6人，再从这6人中任选3人，记这3人中成绩在内的村民人数为，求的分布列与期望. 【答案】(1)； (2)分布列见详解； 【分析】（1）由频率和为1，可求的值，再由平均数计算公式求解； （2）根据分层抽样可确定的取值，再分别求出概率，最后利用期望公式求解. 【详解】（1）由图可知，， 解得， 该村村民成绩的平均数约为 ； （2）从成绩在内的村民中用分层抽样的方法选取6人， 其中成绩在的村民有人， 成绩在的村民有4人， 从中任选3人，的取值可能为1,2,3， ，，， 则的分布列为 1 2 3 故 【变式1-3】新春佳节即将到来，某超市为了刺激消费、提高销售额，举办了回馈大酬宾抽奖活动，设置了一个抽奖箱，箱中放有7折、7.5折、8折的奖券各2张，每张奖券的形状都相同，每位消费者可以从中任意抽取2张奖券，最终超市将在结账时按照2张奖券中最优惠的折扣进行结算． (1)求一位消费者抽到的2张奖券的折扣相同的概率； (2)若某位消费者购买了300元（折扣前）的商品，记这位消费者最终结算时的消费金额为，求的分布列及数学期望． 【答案】(1) (2)的分布列见解析； 【分析】（1）利用古典概型概率公式计算即得； （2）根据题意写出消费金额所有可能的值，分别计算对应的概率的值，列出分布列，用公式计算数学期望即可. 【详解】（1）每位消费者从7折、7.5折、8折的奖券各2张中任意抽取2张奖券，有种方法， 而“抽到的2张奖券的折扣相同”的情况有3种，故其概率为：； （2）依题意，消费金额的可能的值有：210， 225和 240共三个. ， ， . 则的分布列为： 210 225 240 故数学期望. 【考点2：均值的性质】 【典例2】已知随机变量的分布列为：设，则的数学期望的值是（    ） -1 0 1 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据分布列的性质，求得，得到，再由，即可求得随机变量的期望. 【详解】由题意，根据分布列的性质，可得，解得， 所以随机变量的期望为， 又由，所以随机变量的期望为 故选：C. 【变式2-1】若随机变量服从两点分布，其中，则以下正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件，结合两点分布的定义，利用期望计算公式和性质可判断. 【详解】因为随机变量X服从两点分布，且，则， 故，故A错误； ，故B错误； ，故C错误； ，故D正确. 故选：D. 【变式2-2】已知X的分布列为： X －1 0 1 P a 设，则Y的数学期望的值是（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【解析】根据分布列的性质，求得，得到，再由，即可求得随机变量的期望. 【详解】由题意，根据分布列的性质，可得，解得， 所以随机变量的期望为， 又由，所以随机变量的期望为 故选：B. 【点睛】本题主要考查了离散型随机变量的分布列的性质，以及期望的计算及性质的应用，其中解答中熟记分布列的性质和期望的公式是解答的关键，着重考查运算与求解能力. 【变式2-3】已知随机变量的分布列为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用分布列求，再应用期望的性质求即可. 【详解】由题设， 所以. 故选：C 【考点3：由离散型随机变量的均值求参数】 【典例3】已知随机变量的分布列为 0 1 若，，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由分布列的性质得到，再由求解即可； 【详解】由分布列的性质，得， ． ． ， ． 故选：B 【变式3-1】已知某一随机变量的概率分布列如下，且，则的值为（    ） 7 9 0.1 0.4 A．4 B．5 C．3 D．7 【答案】A 【分析】由概率和为先计算，然后由期望的公式列出关于的等式，求解即可. 【详解】解：由概率和为可知：，所以，解得：. 故选：A 【变式3-2】已知X的分布列为 X ﹣1 0 1 P 且Y＝aX+3，E（Y），则a为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用期望的计算公式，计算出EX，再由期望的性质，Y＝aX+3，求出a即可． 【详解】先求出（﹣1）01． 再由Y＝aX+3得． ∴a（）+3，解得a＝2． 故选：B． 【点睛】本题主要考查离散型随机变量的期望及期望的性质，考查了基本运算的能力，属于基础题． 【考点4：离散型随机变量的方差与标准差】 【典例4】甲､乙两名同学在一次答题比赛中答对题数的概率分布分别如下表所示. 甲 答对题数 0 1 2 3 概率 0.1 0.2 0.4 0.3 乙 答对题数 0 1 2 3 概率 0.2 0.1 0.3 0.4 (1)求甲､乙两名同学答题答对题数的期望； (2)试分析甲､乙两名同学谁的成绩好一些. 【答案】(1)甲､乙两人成绩的均值分别为1.9，1.9 (2)甲同学的成绩较好 【分析】（1）利用数学期望公式可计算两名同学成绩的数学期望； （2）利用方差公式计算两名同的学的成绩的方差，可得结论. 【详解】（1）甲､乙两人成绩的均值分别为 （2）方差分别为 由上面的数据，可知. 这表示甲､乙两人答对题目的均值相等，但两人答对题的稳定程度不同， 甲同学较稳定，乙同学波动较大，所以甲同学的成绩较好. 【变式4-1】某抽奖活动规则如下：从装有3个红球，2个白球的袋中随机取2个球，每取出一个红球奖励50元．设一次抽奖随机取出的红球的个数为X． (1)求随机变量X的分布列，期望和方差； (2)若参与一次需要花费60元，设每次抽奖的收益为Y元，直接写出随机变量Y的期望和方差． 【答案】(1)分布列见解析；，； (2)，. 【分析】（1）求出的可能值及对应的概率，列出分布列，再求出期望和方差. （2）求出与的关系，再利用期望、方差的性质求解. 【详解】（1）依题意，的所有可能值为0，1，2， ， 所以的分布列为： 0 1 2 期望， 方差. （2）依题意，每次抽奖的收益， 所以期望, 方差. 【考点5：方差的性质】 【典例5】随机变量X的分布列如表所示，若，则（    ） X 0 1 P a b A．3 B． C．5 D．9 【答案】C 【分析】由，利用随机变量X的分布列列出方程组，求出，，由此能求出，再由，能求出结果． 【详解】，由随机变量X的分布列得： ，解得， ， . 故选：C． 【变式5-1】已知随机变量的分布列是： 1 2 3 P 0.4 0.2 0.4 则（    ） A．0.6 B．0.8 C．1 D．1.2 【答案】B 【分析】由均值与方差的计算概念，可得答案. 【详解】由题意可得， 则 ． 故选：B. 【变式5-2】已知离散型随机变量X的分布列为下表且，则（ ） X 0 1 P A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分布列求出，，再根据条件得，计算答案即可. 【详解】由X的分布列得， 则， 因为， 则. 故选：D. 【变式5-3】随机变量X的分布列如表所示，若，则 . X －1 0 1 P a b 【答案】5 【分析】利用离散型随机变量的分布列、数学期望的性质，列出方程组，求出，，由此能求出方差，再根据方差的性质计算可得． 【详解】依题意可得，解得， 所以， 所以. 故答案为：5. 一、单选题 1．已知离散型随机变量的分布列为 0 1 则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用离散型随机变量的分布列求出，再利用数学期望的性质即可求出. 【详解】， ． 故选：C. 2．已知在所有矿石中含有某种稀有元素的概率约为0.1，小郅与小祥同学有一把探测器可识别该稀有元素且准确率高达0.9（即有0.1的概率对不含有该稀土元素的矿石作出反应）.在某次探索实践任务中，他们共同发现了一堆由探测器检验含有该元素的矿石，但是否真的含有该元素则需进一步检验，再回实验室途中，小祥提出用2000元向小郅卖出所有矿石，若矿石中真实含有该元素，则价值约10000元，否则将一文不值.若小郅同学出钱购买，则他获得利润的均值约为：（     ）元. A．-2200 B．-1100 C．2200 D．7000 【答案】B 【分析】分别计算小郅同学盈利和亏损的概率，再根据均值公式求解. 【详解】由题意可知：小郅同学要想盈利，必须在所有矿石含有稀有元素的条件下，探测器还能检测出来， 所以小郅同学盈利的概率，且盈利额为元， 小郅同学亏损的概率，且亏损额为元， 所以利润的均值元. 故选：B 3．随机变量Y的分布列为下表所示，若Y的期望值为1，则：（    ） 0 2 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由分布列的性质及数学期望的计算求解即可. 【详解】由分布列的性质可知，，故A正确； 因为Y的期望值为1，所以，所以C错. 若，不满足分布列性质，B错， 由上，有，显然D错. 故选：A 4．近年来中国人工智能产业爆发式的增长，推动了AI电商行业的快速发展，已知2020—2023年中国AI解决方案提供商企业数量分别为1617，2106，2329，2896，从这4个数字中任取2个数字，当所取两个数字差的绝对值小于500时，随机变量；当所取两个数字差的绝对值不小于500时，随机变量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据已知求出分布列的概率，再求出数学期望即可. 【详解】从这4个数字中任取2个数字，结果有6种， 所取两个数字差的绝对值小于500的结果有2种，故， 不小于500的结果有4种，故. 所以. 故选：D. 5．已知随机变量的分布列如下： 1 2 则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用离散型随机变量的分布列的性质、期望和方差公式，结合充分条件必要条件的定义即可求解. 【详解】由题意可知， 若，则，得， 故充分性满足； 若，则，解得或. 当时，，此时， 当时，，此时， 则或，故必要性不满足. 故选：A. 6．为了备战2023斯诺克世锦赛，丁俊晖与赵心童两人进行了热身赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，热身进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止，设丁俊晖在每局中获胜的概率为，赵心童在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，比赛停止时已打局数为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意得到的可能取值，再求出对应的概率，从而求解期望即可. 【详解】由题意得，随机变量的可能取值是2，4，6， 设每两局比赛为一轮，则该轮比赛停止的概率为， 若该轮结束时比赛还要继续，则甲、乙在该轮中必是各得1分，此时该轮比赛结果对下一轮比赛是否停止没有影响， 所以，，， 所以期望为． 故选：B． 7．一个箱子中装有形状完全相同的5个白球和个黑球. 从中有放回的随机抽取4次，记其中白球的个数为，若，则（    ） A．1 B．2 C．4 D． 【答案】B 【分析】由二项分布的均值和方差公式求解即可. 【详解】由题意可得取得白球的概率为，则， 则，解得：，取得白球的概率为， 故. 故选：B. 二、多选题 8．已知随机变量X的分布列为 X －1 0 1 P 下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．的最小值为 【答案】BC 【分析】根据分布列的性质结合已知条件判断各个选项即可. 【详解】对于A，由题意得，若，则，A错误； 对于B，若，则，，B正确； 对于C，若，则，又，所以，C正确； 对于D，由，得， ， 因为，，D错误. 故选：BC. 9．已知随机变量满足，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据期望及方差的性质即可求解. 【详解】，则,故A正确，B错误； ，则，故C正确，D错误. 故选：AC 10．有两盒乒乓球，每盒3个球分别标记为2，3，4，其中一盒均未使用过，另一盒3个球都已使用过．现从两个盒子各任取1个球，设球的号码分别为，，若事件“点恰好落在直线上”对应的随机变量为，，的数学期望和方差分别为，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】求出的所有可能值，求出相应的概率，可判断AB，再计算期望与方差，判断CD． 【详解】因为a的所有可能取值为2，3，4，b的所有可能取值为2，3，4．点恰好落在直线上，所以的所有可能取值为4，5，6，7，8． 从两个盒子中分别任取1个球，共有9种情况，，，，，．对于A，，故A选项正确； 对于B，，故B选项正确； 对于C， ，故C选项错误； 对于D， ，故D选项正确， 故选：ABD． 三、填空题 11．某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数的概率分布为 1 2 3 4 商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为100元；分2期或3期付款，其利润为150元；分4期付款，其利润为200元．若表示经销一件该商品的利润，则 元． 【答案】130 【分析】由题意可知可以取100,150,200，然后根据的概率分布列可列出的概率分布列，从而可求出 【详解】由题意可知可以取100,150,200，利润的概率分布为 100 150 200 所以（元）， 故答案为：130 12．若随机变量的分布列为 x -1 2 4 5 P 0.2 0.35 0.25 0.2 则的数学期望为 . 【答案】2.5/ 【分析】根据随机变量的数学期望定义求解即可. 【详解】. 故答案为：. 13．一位足球运动员在有人防守的情况下，射门命中的概率，用随机变量表示他一次射门的命中次数，则 ． 【答案】/ 【分析】先求出期望，借助期望求方差. 【详解】由题知，一次射门命中次数为0次或1次， , 因此E(X)=0×0.7+1×0.3=0.3， , 故答案为： 四、解答题 14．一个不透明的盒子中装有红色、黄色、白色、黑色小球各1个，这些小球除颜色外完全相同.现从盒于中随机抽取若干个小球，抽中的小球的颜色对应的得分如下表. 抽中小球的颜色 红色 黄色 白色 黑色 得分 1 2 3 4 (1)若有放回地从盒子中抽取2次，每次抽取1个小球，求抽中的小球对应的得分之和大于6的概率； (2)若一次性从盒子中抽取2个小球，记抽中的小球对应的得分之和为，求的分布列与期望． 【答案】(1) (2)的分布列为 【分析】（1）根据分步计数原理计算出总数，再列举出小球得分大于的情况，最后根据古典概率公式即可得出答案； （2）先写出的值，计算对应取值的概率，最后列出分布列，计算数学期望. 【详解】（1）有放回抽取两次，总的可能有种，小球得分之和大于的情况只有第一次取白球，第二次取黑球；第一次取黑球，第二次取白球；两次都取黑球种情况，所以小球得分之和大于的概率. （2）的取值有五种可能， ，，， ，， 所以的分布列为 . 15．中国体育代表团在2024年巴黎奥运会上取得了优异的成绩．为了解学生对奥运会的了解情况，某校组织了全校学生参加的奥运会知识竞赛，从一、二、三年级各随机抽取100名学生的成绩（满分：100分，各年级总人数相等），统计如下： 年级 一年级 40 60 二年级 25 75 三年级 10 90 学校将测试成绩分为及格（成绩不低于60分）和不及格（成绩低于60分）两类，用频率估计概率，所有学生的测试成绩结果互不影响． (1)从一、二年级各随机抽一名学生，记表示这两名学生中测试成绩及格的人数，求的分布列和数学期望； (2)从这三个年级中随机抽取两个年级，并从抽取的两个年级中各随机抽取一名学生，求这两名学生测试成绩均及格的概率． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）写出所有可能得取值，然后分别求出其对应概率，列出表格，即可得到分布列，再由期望的公式代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，由互斥事件概率公式代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）一年级学生及格的频率为，不及格的频率为， 二年级学生及格的频率为，不及格的频率为， 三年级学生及格的频率为，不及格的频率为， 的所有可能取值为， 则，， ， 所以的分布列为： 0 1 2 所以的期望为 （2）由题意可知，抽到一、二年级，一、三年级，二、三年级的概率都是， 所以抽到的两名学生测试成绩均及格的概率为 . 1 学科网（北京）股份有限公司 $$