第04讲 基本不等式及其应用（十八大题型）（讲义）-【上好课】2025年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

第04讲 基本不等式及其应用 目录 01 考情透视·目标导航 2 02 知识导图·思维引航 3 03 考点突破·题型探究 4 知识点1：基本不等式 4 解题方法总结 4 题型一：基本不等式及其应用 5 题型二：直接法求最值 7 题型三：常规凑配法求最值 7 题型四：化为单变量法 8 题型五：双换元求最值 8 题型六：“1”的代换求最值 9 题型七：齐次化求最值 10 题型八：利用基本不等式证明不等式 10 题型九：利用基本不等式解决实际问题 12 题型十：与 a+b、平方和、 ab有关问题的最值 13 题型十一：三角换元法 14 题型十二：多次运用基本不等式 15 题型十三：待定系数法 15 题型十四：多元均值不等式 16 题型十五：万能K法 16 题型十六：与基本不等式有关的恒(能)成立问题 17 题型十七：基本不等式与其他知识交汇的最值问题 17 题型十八：整体配凑法 18 04真题练习·命题洞见 19 05课本典例·高考素材 19 06易错分析·答题模板 21 易错点：忽视基本不等式应用条件 21 答题模板：利用基本不等式求最值（和定或积定） 21 考点要求 考题统计 考情分析 （1）了解基本不等式的推导过程． （2）会用基本不等式解决简单的最值问题． （3）理解基本不等式在实际问题中的应用． 2022年II卷第12题，5分 2021年乙卷第8题，5分 2020年天津卷第14题，5分 高考对基本不等式的考查比较稳定，考查内容、频率、题型难度均变化不大，应适当关注利用基本不等式大小判断、求最值和求取值范围的问题． 复习目标： 1、掌握基本不等式的内容. 2、会用基本不等式解决常考的最大值或最小值问题． 3、会用基本不等式解决实际问题. 知识点1：基本不等式 如果，那么，当且仅当时，等号成立．其中，叫作的算术平均数，叫作的几何平均数．即正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 基本不等式1：若，则，当且仅当时取等号； 基本不等式2：若，则（或），当且仅当时取等号． 注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件．（2）连续使用不等式要注意取得一致． 解题方法总结 1、几个重要的不等式 （1） （2）基本不等式：如果，则（当且仅当“”时取“”）． 特例：（同号）． （3）其他变形： ①（沟通两和与两平方和的不等关系式） ②（沟通两积与两平方和的不等关系式） ③（沟通两积与两和的不等关系式） ④重要不等式： 即调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值（注意等号成立的条件）． 2、均值定理 已知． （1）如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）．即“和为定值，积有最大值”． （2）如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）．即积为定值，和有最小值”． 3、常见求最值模型 模型一：，当且仅当时等号成立. 模型二：，当且仅当时等号成立． 模型三：，当且仅当时等号成立. 模型四：，当且仅当时等号成立. 题型一：基本不等式及其应用 【典例1-1】下列不等式证明过程正确的是（    ） A．若，则 B．若x＞0，y＞0，则 C．若x＜0，则 D．若x＜0，则 【典例1-2】（2024·辽宁·二模）数学命题的证明方式有很多种．利用图形证明就是一种方式．现有如图所示图形，在等腰直角三角形中，点O为斜边AB的中点，点D为斜边AB上异于顶点的一个动点，设，，用该图形能证明的不等式为（    ）． A． B． C． D． 【方法技巧】 熟记基本不等式成立的条件，合理选择基本不等式的形式解题，要注意对不等式等号是否成立进行验证． 【变式1-1】下列结论正确的是（    ） A．当时， B．当时，的最小值是 C．当时， D．当时，的最小值为1 【变式1-2】（2024·黑龙江哈尔滨·三模）已知x，y都是正数，且，则下列选项不恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】给出下面四个推导过程： ①∵a，b为正实数，∴； ②∵x，y为正实数，∴； ③∵，，∴； ④∵，，∴． 其中正确的推导为（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 题型二：直接法求最值 【典例2-1】若实数满足，则的最小值为 ． 【典例2-2】（2024·湖北孝感·模拟预测）的最小值为 . 【方法技巧】 直接利用基本不等式求解，注意取等条件． 【变式2-1】（2024·上海崇明·二模）已知正实数a、b满足，则的最小值等于 ． 【变式2-2】（2024·天津南开·一模）已知实数，则的最小值为 . 题型三：常规凑配法求最值 【典例3-1】函数的最大值是（    ）