第04讲 基本不等式及其应用（精讲）-2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用）

2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用） 第04讲 基本不等式及其应用（精讲） ①直接法求最值 ②常规凑配法求最值 ③消参法求最值 ④“1”的代换求最值 ⑤双换元法求最值 ⑥二次（一次）商式的最值 ⑦利用基本不等式解决实际问题 ⑧利用基本不等式证明 一、必备知识整合 一、基本不等式 如果，那么，当且仅当时，等号成立．其中，叫作的算术平均数，叫作的几何平均数．即正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 基本不等式1：若，则，当且仅当时取等号； 基本不等式2：若，则（或），当且仅当时取等号. 注：（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件.（2）连续使用不等式要注意等号取得一致. （1）几个重要的不等式 ① ②基本不等式：如果，则(当且仅当“”时取“”). 特例：（同号）. 二、均值定理 已知. （1）如果(定值)，则(当且仅当“”时取“=”).即“和为定值，积有最大值”. （2）如果(定值)，则(当且仅当“”时取“=”).即积为定值，和有最小值”. 三、常见求最值模型 模型一：，当且仅当时等号成立； 模型二：，当且仅当时等号成立； 模型三：，当且仅当时等号成立； 模型四：，当且仅当时等号成立. ①(沟通两和与两平方和的不等关系式) ②(沟通两积与两平方和的不等关系式) ③(沟通两积与两和的不等关系式) ④不等式串： 二、考点分类精讲 【题型一 直接法求最值】 直接利用基本不等式求解，注意取等条件 【典例1】（单选题）（2023-2024·甘肃省定西模拟）的最小值为（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（23-24高三上·河南信阳·阶段练习）已知，，且，则的最大值为（    ） A．0 B．1 C．-1 D．2 2．（23-24高三上·四川雅安·期中）已知，，则“”是“”的（    ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 3．（23-24高一上·广东潮州·期末）设，则函数的最小值为（ ） A．6 B．7 C．10 D．11 4．（22-23高一下·陕西宝鸡·期末）已知，则的最大值为（    ） A． B． C． D．3 5．（2024·全国·模拟预测）若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（23-24高三上·上海闵行·期中）已知，则函数的最小值是 ． 7．（2023·上海徐汇·一模）若实数满足，则的最小值为 ． 8．（2023高三·全国·专题练习）若正实数满足，且恒成立，则的最大值为 ． 9．（23-24高一上·四川·期中）已知正数，满足，则的最大值为 ． 【题型二 常规凑配法求最值】 1．通过添项、拆项、变系数等方法凑成和为定值或积为定值的形式． 2．注意验证取得条件． 【典例1】（单选题）（2024·陕西省西安模拟）函数的最小值为（    ） A．2 B．5 C．6 D．7 【典例2】（单选题）（2024·福建省厦门模拟）已知，，且，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D．2 一、单选题 1．（23-24高一上·云南昆明·期末）已知，为正实数，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三上·辽宁·开学考试）已知，，且，则的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 3．（23-24高三上·西藏林芝·期末）已知，则的最小值是（    ） A．3 B．4 C．6 D．7 二、填空题 4．（2023高一·江苏·专题练习）若，则的最大值是 . 5．（23-24高一上·吉林长春·期末）函数（）的最小值为 ． 6．（2023高三·全国·专题练习）已知实数x满足，则函数的最大值为 ． 【题型三 消参法求最值】 消参法就是对应不等式中的两元问题，用一个参数表示另一个参数，再利用基本不等式进行求解.解题过程中要注意“一正，二定，三相等”这三个条件缺一不可！ 【典例1】（单选题）（2024·重庆·模拟）已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（2024·浙江嘉兴·二模）若正数满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D．2 2．（23-24高三下·浙江·阶段练习）已知实数x，y满足，且，则的最小值为（     ） A． B．8 C． D． 3．（23-24高三上·江苏镇江·阶段练习）设实数a，b满足，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D．3 二、填空题 4．（23-24高三上·江苏扬州·阶段练习）已知