精品解析：浙江省杭州学军中学2024届高三下学期4月适应性测试数学试题

杭州学军中学2024届高中毕业生适应性测试 数学 本试题卷共4页，19题，全卷满分150分.考试用时120分钟. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.不选､多选､错选均不得分. 1. 在复平面内表示复数（1﹣i）（a+i）的点位于第二象限，则实数a的取值范围是（ ） A. （﹣∞，1） B. （﹣∞，﹣1） C. （1，+∞） D. （﹣1，+∞） 2. 设，为单位向量，在方向上的投影向量为，则（ ） A. 1 B. C. D. 3. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 5. 波斯诗人奥马尔•海亚姆于十一世纪发现了一元三次方程的几何求解方法.在直角坐标系中，两点在轴上，以为直径的圆与抛物线：交于点，.已知是方程的一个解，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 小蒋同学喜欢吃饺子，某日他前往食堂购买16个饺子，其中有个为香菇肉馅，其余为玉米肉馅，且.在小蒋吃到的前13个饺子均为玉米肉馅的条件下，这16个饺子全部为玉米肉馅的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 若函数有且仅有两个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 以半径为1的球的球心为原点建立空间直角坐标系，与球相切的平面分别与轴交于三点，，则的最小值为（ ） A. B. C. 18 D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设函数，则（ ） A. 是偶函数 B. 的最小正周期为 C. 的值域为 D. 在单调递增 10. 在对具有相关关系的两个变量进行回归分析时，若两个变量不呈线性相关关系，可以建立含两个待定参数的非线性模型，并引入中间变量将其转化为线性关系，再利用最小二乘法进行线性回归分析.下列选项为四个同学根据自己所得数据的散点图建立的非线性模型，且散点图的样本点均位于第一象限，则其中可以根据上述方法进行回归分析的模型有（ ） A. B. C. D. 11. 已知是方程两根，数列满足，，. 满足，其中. 则（ ） A. B. C. 存在实数，使得对任意的正整数，都有 D. 不存在实数，使得对任意正整数，都有 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 经过椭圆的右顶点与上顶点的直线斜率为，则的离心率为______. 13. 将个棱长为1的正方体如图放置，其中上层正方体下底面的顶点与下层正方体上底面棱的中点重合.设最下方正方体的下底面的中心为，过的直线与平面垂直，以为顶点，为对称轴的抛物线可以被完全放入立体图形中.若，则的最小值为__________；若有解，则的最大值为__________. 14. 若函数（其中）在区间上恰有4个零点，则a的取值范围为___________________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 平面两两平行，且与的距离均为.已知正方体的棱长为1，且. （1）求； （2）求与平面夹角的余弦值. 16. 斜二测画法是一种常用的工程制图方法，在已知图形中平行于轴的线段，在直观图画成平行于轴（由轴顺时针旋转得到）的线段，且长度为原来的，平行于轴的线段不变.如图，在直角坐标系中，正方形的边长为.定义如下图像变换：表示“将图形用斜二测画法变形后放回原直角坐标系”；表示“将图形的横坐标保持不变，纵坐标拉伸为原来的倍”. （1）记正方形经过两次变换后所得图形为，求坐标； （2）在第次复合变换中，将图形先进行一次变换，再进行一次变换，. 记正方形进行次复合变换后所得图形为.过作的垂线，垂足为，若恒成立，求的取值范围. 17. 已知函数. （1）当时，证明：； （2），，求最小值； （3）若在区间存在零点，求的取值范围. 18. 设双曲线，直线与交于两点. （1）求的取值范围； （2）已知上存在异于的两点，使得. （i）当时，求到点的距离（用含的代数式表示）； （ii）当时，记原点到直线的距离为，若直线经过点，求的取值范围. 19. 在概率较难计算但数据量相当大､误差允许的情况下，可以使用UnionBound（布尔不等式）进行估计概率.已知UnionBound不等式为：记随机事件，则.其误差允许下可将左右两边视为近似相等.据此解决以下问题： （1）有个不同的球，其中个有数字标号.每次等概率随机抽取个球中的一个球.抽完后放回.记抽取次球后个有数字标号的球每个都至少抽了一次的概率为，现在给