2024年九年级数学中考2轮专题复习专题1 线段最值问题

专题一：线段最值问题(1) 班级： 姓名： 使用日期： 评价： 【模型一】利用“点到直线的所有线段中，垂线段最短”求最值. 类型一 一动一定求最值 模型解读：如图，直线l外一定点A和直线l上一动点B，求点A，B之间距离的最小值.通常过点A作直线l的垂线AB，利用垂线段最短解决问题，即连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短. 典例1 如图，P是Rt△ABC斜边AB上的一点，PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，BC＝15，AC＝20，则线段EF长的最小值为 . 类型二 两定一动求最值 模型解读：如图，A，P为直线l上的两点，A为定点，P为动点，B为直线l外的一定点，求kPA＋BP（0＜k＜1）的最小值. 方法：如图，构造∠PAN，使得sin∠PAN＝k，过点P作PE⊥AN于点E，从而利用kPA＝sin∠PAN·PA＝PE，使得kPA＋BP＝PE＋BP，过点B作BF⊥AN于点F，交直线l于点P'，利用“垂线段最短”转化为求BF的长. 典例2 如图，在菱形ABCD中，AB＝AC＝10，对角线AC，BD相交于点O，点M在线段AC上，且AM＝4，P为线段BD上的一个动点，求MP＋1/2PB的最小值. 类型三 两动一定求最值 模型解读：如图①，P是∠AOB的内部一定点，在OA上找一点M，在OB上找一点N，使得PN＋MN的值最小. 要使PN＋MN的值最小，设法将PN，MN转化在同一条直线上，如图②，作点P关于OB的对称点P'，作P'M⊥OA于点M，交OB于点N，利用“垂线段最短”求解即可. 典例3 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，BC＝8，AD是∠BAC的平分线.若P，Q分别是AD，AC上的动点，求PC＋PQ的最小值. 典例4 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＋BC＝8，tanA＝3/4，O，D分别是边AB，AC上的动点，求OC＋OD的最小值. 学以致用 1. 如图，P是∠AOC的平分线上一点，PD⊥OA于点D，且PD＝5，M是射线OC上一动点，则PM长的最小值为（　　） A. 3 B. 5 C. 7 D. 10 2. 如图，菱形ABCD的周长为24，∠ABD＝30°，P是对角线BD上一动点，Q是BC的中点，则PC＋PQ的最小值是（　　) A. 6 B. 3√3 C. 3√5 D. 6√3 3.如图，在边长为4的正方形ABCD中，M为对角线BD上一动点，ME⊥BC于点E，MF⊥CD于点F，连接EF，则EF长的最小值为 3. 如图，在锐角三角形ABC中，BC＝6√2，∠ABC＝45°，BD平分∠ABC，M，N分别是BD，BC上的动点，连.接MN，CM，则CM＋MN的最小值是  专题一：线段最值问题(2) 班级： 姓名： 使用日期： 评价： 【模型二】利用“两点之间线段最短求最值”求最值. 1.“一线两点”型(一动＋两定) 类型一　异侧线段和最小值问题 问题： 两定点A，B位于直线l异侧，在直线l上找一点P，使PA＋PB值最小． 模型解读：根据两点之间线段最短，PA＋PB的最小值即为线段AB的长．连接AB交直线l 于点P，点P即为所求． 类型二　同侧线段和最小值问题(将军饮马模型) 问题：两定点A，B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使得PA＋PB值最小． 模型解读：将两定点同侧转化为异侧问题，同类型一即可解决．作点B关于l的对称点B′，连接AB′，与直线l的交点即为点P. 类型三　同侧差最大值问题 问题：两定点A，B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使得|PA－PB|的值最大． 模型解读：根据三角形任意两边之差小于第三边，|PA－PB|≤AB，当A，B，P三点共线时，等号成立，即|PA－PB|的最大值为线段AB的长．连接AB并延长，与直线l的交点即为点P. 类型四　异侧差最大值问题 问题：两定点A，B位于直线l异侧，在直线l上找一点P，使得|PA－PB|的值最大． 模型解读：将异侧点转化为同侧，同类型三即可解决． 例题★★★【问题提出】 （1）如图①，某牧马人要从A地前往B地，途中要到旁边一条笔直的河边l喂马喝一次水，经测量A点到河边的距离AC为300米，B点到河边的距离B