第03讲 等式与不等式的性质（五大题型）（讲义）-【上好课】2025年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

第03讲 等式与不等式的性质 目录 01 考情透视·目标导航 2 02 知识导图·思维引航 3 03 考点突破·题型探究 4 知识点1：比较大小基本方法 4 知识点2：不等式的性质 4 解题方法总结 5 题型一：不等式性质的应用 6 题型二：比较数（式）的大小与比较法证明不等式 7 题型三：已知不等式的关系，求目标式的取值范围 7 题型四：不等式的综合问题 8 题型五：糖水不等式 9 04真题练习·命题洞见 10 05课本典例·高考素材 11 06易错分析·答题模板 12 易错点：多次使用同向相加性质，扩大了取值范围 12 答题模板：利用不等式的性质求代数式的范围 12 考点要求 考题统计 考情分析 （1）掌握等式性质． （2）会比较两个数的大小． （3）理解不等式的性质，并能简单应用． 2022年II卷第12题，5分 高考对不等式的性质的考查相对较少，考查内容、频率、题型难度均变化不大，单独考查的题目虽然不多，但不等式的性质几乎可以渗透到高考的每一个考点，是进行不等式变形、证明以及解不等式的依据，所以它不仅是数学中的不 可或缺的工具，也是高考考查的一个重点内容． 复习目标： 1、理解用作差法、作商法比较两个实数的大小. 2、理解等式与不等式的性质，掌握不等式性质的简单应用. 知识点1：比较大小基本方法 关系 方法 做差法 与0比较 做商法 与1比较 或 或 【诊断自测】（2024·北京丰台·二模）若，且，则（    ） A． B． C． D． 知识点2：不等式的性质 （1）基本性质 性质 性质内容 对称性 传递性 可加性 可乘性 同向 可加性 同向同正 可乘性 可乘方性 【诊断自测】（2024·陕西·模拟预测）已知，则以下错误的是（    ） A． B． C． D． 解题方法总结 1、应用不等式的基本性质，不能忽视其性质成立的条件，解题时要做到言必有据，特别提醒的是在解决有关不等式的判断题时，有时可用特殊值验证法，以提高解题的效率． 2、比较数（式）的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数的单调性． 比较法又分为作差比较法和作商比较法． 作差法比较大小的步骤是： （1）作差；（2）变形；（3）判断差式与0的大小；（4）下结论． 作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是： （1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1的大小；（4）下结论． 其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于0或1比较大小． 作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，且是幂或者因式乘积的形式，也可考虑使用作商法． 题型一：不等式性质的应用 【典例1-1】（2024·北京海淀·二模）设，且，则（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】（多选题）（2024·高三·湖南常德·期末）已知，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【方法技巧】 1、判断不等式是否恒成立，需要给出推理或者反例说明． 2、充分利用基本初等函数单调性进行判断． 3、小题可以利用特殊值排除法． 【变式1-1】（2024·北京房山·一模）已知，则下列命题为假命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式1-2】（2024·北京西城·一模）设，其中，则（    ） A． B． C． D． 题型二：比较数（式）的大小与比较法证明不等式 【典例2-1】已知且，，，则与的大小关系为 ． 【典例2-2】（2024·高三·河南·开学考试）已知：，则大小关系是 ． 【方法技巧】 比较数（式）的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数的单调性．比较法又分为作差比较法和作商比较法． 【变式2-1】已知为正实数．求证：. 【变式2-2】（1）比较与的大小； （2）已知，比较与大小 【变式2-3】希罗平均数（Heronianmean）是两个非负实数的一种平均，若，是两个非负实数，则它们的希罗平均数.记，，则从小到大的关系为 .（用“≤”连接） 题型三：已知不等式的关系，求目标式的取值范围 【典例3-1】已知，，则ab的最大值为（   ） A． B． C．3 D．4 【典例3-2】已知的三边长分别为，，，且满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【方法技巧】 在约束条件下求多变量函数式的范围时，不能离开变量之间的约束关系而独立分析每个变量的范围，否则会导致范围变大，而只可以建立已知与未知的关系． 【变式3-1】