备考2024年中考数学核心素养专题六 数与式的新定义问题附解析

备考2024年中考数学核心素养专题六 数与式的新定义问题附解析 一、选择题 1．定义一种新运算：※，则※的是（　　）． A．－1 B．1 C．3 D．2 2．定义：给定关于x的函数 y ，对 于该函数图象上任意两点（x1，y1），（x2，y2），当x1﹤x2时，都有y1﹤y2，称该函数为增函数.根据以上定义，下列函数中①y=2x；②；③；④，是增函数的（　　） A．①③④ B．①② C．③④ D．①③ 3．对于整数n，定义为不大于的最大整数，例如：，，.对26进行如下操作：，即对26进行2次操作后变为2.若对整数a进行2次操作后变为3，则a的最大值为（　　） A．256 B．255 C．81 D．80 4．定义一种运算：，则不等式的解集是（　　） A．或 B． C．或 D．或 5．定义新运算：，则对于函数，下列说法正确的是（　　） A．当时，随增大而增大 B．该函数图象经过点 C．该函数图象位于第一、三象限 D．当时， 6． 定义新运算： 例如 ， 则 的图像可能是（　　） A． B． C． D． 7．在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，如学习自然数时，我们发现一种特殊的自然数——“好数”.定义：对于三位自然数n，各位数字都不为0，且百位数字与十位数字之和恰好能被个位数字整除，则称这个自然数n为“好数”.例如：426是“好数”，因为4，2，6都不为0，且，6能被6整除；643不是“好数”，因为，10不能被3整除.则百位数字比十位数字大5的所有“好数”的个数是（　　） A．8 B．7 C．6 D．5 8．定义 ，当 时， ，当 ＜ 时， ；已知函数 ，则该函数的最大值是（　　） A．-15 B．-9 C．-6 D．6 9．定义：如果代数式(，，，是常数)与(，，，是常数)，满足，，，则称这两个代数式与互为“和谐式”，对于上述“和谐式”、，下列三个结论正确的个数为（　　） ①若，，则的值为-1； ②若为常数，关于的方程与的解相同，则； ③若，为常数，的最小值为，则有最小值，且最小值为1. A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 10．我们定义一种新函数：形如的函数叫做“鹊桥”函数数学兴趣小组画出一个“鹊桥”函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　） A． B． C．当直线与该图像恰有三个公共点时，则 D．关于的方程的所有实数根的和为 二、填空题 11．对于实数a，b，定义运算“◎”如下： a◎b＝（a+b）2-（a-b）2．若（m+1）◎（m-2）＝16， 则m＝　 　． 12．定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m，n的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”.例如，就是一个智慧优数，可以利用进行研究.若将智慧优数从小到大排列，则第3个智慧优数是　 　；第23个智慧优数是　 　. 13．对于任意非零实数a、b，定义一种新运算“*”如下：a*b=，则1*2+ 2*3+3*4+……+2020*2021=　 　． 14．定义一种新运算：对于任意的非零实数a，b，a b= ．若(x+1) x= ，则x的值为　 　 15．若定义一种新运算：，例如：@，@下列说法： （1）@　 　； （2）@与直线为常数有个交点，则的取值范围是　 　． 16．定义：若一个函数图象上存在横纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”．例如，点是函数的图象的“等值点”．若函数的图象记为，将其沿直线翻折后的图象记为．当、两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，的取值范围为　 　． 三、解答题 17．在实数范围内定义新运算“”，其规则为：，根据这个规则，解决下列问题： （1）求中的x值； （2）证明：中，无论m为何值，x总有两个不同的值. 18．定义一种新运算：，如，按照上述定义计算的值. 19．定义：若两个二次根式a，b满足，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式． （1）若a与是关于4的共轭二次根式，则a=　 　 （2）若与是关于12的共轭二次根式，求m的值． 20．请你根据王老师所给的内容（如表），完成下列各小题． 我们定义一个关于非零常数a，b的新运算，规定：a〇b＝ax+by．例如：3〇2＝3x+2y． （1）如果x＝5，2〇4＝-18，求y的值； （2）若1〇1＝8，4〇2＝20，求x，y的值． 21．对于数轴上不重合的两点A，B，给出如下定义：若数轴上存在一点M，通过比较线段AM和BM的长度，将较短线段的长度定义为点M到线段AB的“绝对距离”．若线段AM和BM的长度相等，将线段AM或BM的长度定义为点M到线段AB的“绝对距离”． （1）当数轴上原点为O，点