专题07 函数的单调性与最值（值域）（十大考点+二个易错点+精准训练）-2025年高三数学一轮考点剖析及精准训练

专题07函数的单调性与最值（值域） 一、函数的单调性 1．函数单调性的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数的定义域为，如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，[ 当时，都有，那么就说函数在区间上是增函数 当时，都有，那么就说函数在区间上是减函数 图象描述 自左向右看，图象是上升的 自左向右看，图象是下降的 设，， 若有或，则在闭区间上是增函数； 若有或，则在闭区间上是减函数 2．单调区间的定义 若函数在区间上是增函数或减函数，则称函数在这一区间上具有（严格的）单调性，区间叫做函数的单调区间． 注意：（1）单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在不同的区间上，可以有不同的单调性，同一种单调区间用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接． （2）函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论，所以求函数的单调区间，必须先求函数的定义域． （3）“函数的单调区间是”与“函数在区间上单调”是两个不同的概念，注意区分，显然. 3．函数单调性的常用结论 （1）若均为区间A上的增(减)函数，则也是区间A上的增(减)函数； （2）复合函数的单调性：函数在函数的定义域上，如果与的单调性相同，那么单调递增；如果与的单调性相反，那么单调递减．简记：“同增异减”． （3）奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反； （4）一些重要函数的单调性： ①的单调性：在和上单调递增，在和上单调递减； ②（，）的单调性：在和上单调递增，在和上单调递减． 二、函数的最值 前提 设函数的定义域为，如果存在实数满足 条件 对于任意的，都有； 存在，使得 对于任意的，都有； 存在，使得 结论 为最大值 为最小值 注意：（1）函数的值域一定存在，而函数的最值不一定存在； （2）若函数的最值存在，则一定是值域中的元素；若函数的值域是开区间，则函数无最值，若函数的值域是闭区间，则闭区间的端点值就是函数的最值. 考点01 确定函数的单调性及求单调区间 【例1】下列函数中定义域为，，当时，都有的是（   ） A． B． C． D． 【例2】已知，则函数的单调递增区间为 . 【变式1-1】下列函数中，满足“对于任意，都有”的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】函数的单调区间为 【变式1-3】函数的单调递减区间是 . 考点02 复合函数的单调性 【例3】函数在上是单调递减函数，则的单调递增区间是 【例4】函数的严格递减区间为 ． 【变式2-1】函数的单调增区间是 ． 【变式2-2】函数的单调递增区间是 . 【变式2-3】函数的单调递增区间是 ． 考点03 比较大小 【例5】已知函数，若，则（    ） A． B． C． D． 【例6】已知函数的定义域为，则“”是“函数在区间上单调递增”的（    ） A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 【变式3-1】已知函数对于任意的，都有，则的大小关系为 【变式3-2】已知，点都在二次函数的图象上，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（多选）已知函数在上是减函数，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 考点04 利用单调性解函数不等式 【例7】已知函数，且，则（    ） A． B． C． D． 【例8】函数是定义在上的增函数，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】已知是定义在R上的增函数，且，则的取值范围是 ． 【变式4-2】定义在上的函数满足：对，且，都有成立，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】已知函数在上有定义，且．若对任意给定的实数，均有恒成立，则不等式的解集是 ． 考点05 利用单调性求参数的取值范围 【例9】若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例10】已知函数是增函数，则实数的取值范围为 . 【变式5-1】如果函数在区间上是单调递增的，则实数的取值范围（　　） A． B． C． D． 【变式5-2】已知函数在上单调递增，则实数的值可以是 ．（写出满足条件的一个值即可） 【变式5-3】若函数在上单调递增，则实数的取值范围是 ． 考点06 单调性法求最值（值域） 【例11】已知，定义域为，求其值域． 【例12】函数的定义域为，则值域为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】函数的最小值为（   ）