备考2024年中考数学重难创新题2 二次函数性质综合题

备考2024年中考数学重难创新题2 二次函数性质综合题 一、选择题 1．定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”.如图，在正方形 中，点 ，点 ，则互异二次函数 与正方形 有交点时 的最大值和最小值分别是（　　） A．4，-1 B． ，-1 C．4，0 D． ，-1 2．已知 ， 均为关于x的函数，当 时，函数值分别为 ， ，若对于实数a，当 时，都有 ，则称 ， 为亲函数，则以下函数 和 是亲函数的是（　　） A． ， B． ， C． ， D． ， 3．在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为和谐点．例如点（1，1），（﹣，﹣），（﹣，﹣），…，都是和谐点．若二次函数y＝ax2+4x+c（a≠0）的图象上有且只有一个和谐点（，），当0≤x≤m时，函数y＝ax2+4x+c﹣（a≠0）的最小值为﹣3，最大值为1，m的取值范围是（　　） A．m≤4 B．m≥2 C．2≤m≤4 D．2＜m＜4 4．定义： ，若函数 ，则该函数的最大值为（　　） A．0 B．2 C．3 D．4 5．新定义：在平面直角坐标系中，对于点和点，若满足时，；时，，则称点是点的限变点．例如：点的限变点是，点的限变点是．若点在二次函数的图象上，则当时，其限变点的纵坐标的取值范围是（　　） A． B． C． D． 6．定义：若点P(a，b)在函数y＝ 的图象上，将以a为二次项系数，b为一次项系数构造的二次函数y＝ax2＋bx称为函数y＝的一个“派生函数”．例如：点(2， )在函数y＝ 的图象上，则函数y＝2x2＋x称为函数y＝ 的一个“派生函数”．现给出以下两个命题：(1)存在函数y＝ 的一个“派生函数”，其图象的对称轴在y轴的右侧；(2)函数y＝ 的所有“派生函数”的图象都经过同一点．下列判断正确的是（　　） A．命题（1）与命题（2）都是真命题 B．命题（1）与命题（2）都是假命题 C．命题（1）是假命题，命题（2）是真命题 D．命题(1)是真命题，命题(2)是假命题 7．抛物线与轴的一个交点为，与轴交于点，点是抛物线的顶点，对称轴为直线，其部分图象如图所示，则以下个结论：；，是抛物线上的两个点，若，且，则；在轴上有一动点，当的值最小时，则点的坐标为；若关于的方程无实数根，则的取值范围是其中正确的结论有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题 8．定义：若x，y满足且（t为常数），则称点为“和谐点”． （1）若是“和谐点”，则　 　． （2）若双曲线存在“和谐点”，则k的取值范围为　 　． 9．定义[a，b，c]为二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的特征数，下面给出特征数为[2m，1－m，－1－m]的函数的一些结论：①当m≠0时，点(1，0)一定在函数的图象上；②当m＞0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于 ；③当m＜0时，函数在 时，y随x的增大而减小；④当m＞0，若抛物线的顶点与抛物线与x轴两交点组成的三角形为等腰直角三角形，则 ，正确的结论是　 　.（填写序号） 10．抛物线（是常数，）经过三点，且．下列四个结论： ①； ②； ③当时，若点在该抛物线上，则； ④若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则． 其中正确的是　 　（填写序号）． 三、解答题 11．定义：如图1，抛物线 与 轴交于A，B两点，点P在抛物线上（点P与A，B两点不重合），如果△ABP的三边满足 ，则称点P为抛物线 的勾股点。 （1）直接写出抛物线 的勾股点的坐标； （2）如图2，已知抛物线C： 与 轴交于A，B两点，点P（1， ）是抛物线C的勾股点，求抛物线C的函数表达式； （3）在（2）的条件下，点Q在抛物线C上，求满足条件 的点Q（异于点P）的坐标 四、实践探究题 12． 定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形． （1）理解应用：如图，在平面直角坐标系xOy中，已知四边形OABC是垂等四边形，点A的坐标为（4，0），点C的坐标为（0，3），则点B的坐标为 　 　． （2）综合探究：如图，已知抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧，C，D两点在该抛物线上．若以A，B，C，D为顶点的四边形是垂等四边形．设点C的横坐标为m，点D的横坐标为n，且m＞n，求m的值． 13．综合与实践 中国旅游研究院2024年1月5日发布的“2024年冰雪旅游十佳城市”中，哈尔滨位列榜首，火爆出圈，其中帽儿山的滑雪运动深受欢迎．滑雪爱好者小李为了得出滑行距离（单位：m）与滑行时间（单位：s）之间的关系，以便更好地享受此项运动所带来的乐趣，他在滑道A上设置了若干