期末强化练01 平面向量小题13种常见考法归类（72题）-2023-2024学年高一数学微专题期末精准突破（人教A版2019必修第二册）

2023-2024学年高一数学微专题精准突破（人教A版2019必修第二册） 期末强化练01 平面向量小题13种常见考法归类（72题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1平面向量的实际背景及基本概念 题型2 平面向量的线性运算 题型3 平面向量共线定理 题型4 平面向量基本定理 题型5平面向量线性运算的坐标表示 题型6 平面向量共线的坐标表示 题型7 平面向量的数量积 题型8 平面向量的垂直问题 题型9 平面向量的模问题 题型10 平面向量的夹角问题 题型11 投影向量 题型12 平面向量的应用 题型13 向量新定义 题型1平面向量的实际背景及基本概念 1．（23-24高一下·浙江湖州·期末）已知，是两个单位向量，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 2．【多选】（21-22高一下·安徽合肥·期末）如下四个命题中，说法正确的是（    ） A．向量的长度与向量的长度相等； B．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同； C．两个公共终点的向量，一定是共线向量； D．向量与向量是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上． 3．【多选】（22-23高一下·重庆·期中）下列叙述中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．已知非零向量与且//，则与的方向相同或相反 D．对任一非零向量是一个单位向量 4．【多选】（2023·全国·模拟预测）有关平面向量的说法，下列错误的是（    ） A．若，，则 B．若与共线且模长相等，则 C．若且与方向相同，则 D．恒成立 5．（23-24高一下·河北邢台·期中）下列结论正确的是（   ） A．平行向量不一定是共线向量 B．单位向量都相等 C．两个单位向量之和不可能是单位向量 D． 题型2 平面向量的线性运算 6．（22-23高一下·浙江温州·阶段练习）在四边形中，对角线与交于点，若，则四边形一定是（   ） A．矩形 B．梯形 C．平行四边形 D．菱形 7．【多选】（21-22高一·江苏·课后作业）下列结论恒为零向量的是（    ） A． B． C． D． 8．（22-23高一下·辽宁沈阳·期末）设是所在平面内的一点，，则（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高一下·四川成都·期末）在中，已知，记，则（    ） A．3 B．2 C．1 D．4 题型3 平面向量共线定理 10．（23-24高一下·四川资阳·期中）已知为不共线向量，，则（    ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 11．（23-24高一下·江苏南京·期末）向量与不共线，， ()，若与共线，则应满足（   ） A． B． C． D． 12．（23-24高一下·四川·期末）点满足向量，则点与的位置关系是（    ） A．点为线段的中点 B．点在线段延长线上 C．点在线段的延长线上 D．点不在直线上 13．（2024·青海西宁·二模）若向量不共线，且，则的值为 ． 14．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知是边长为1的正三角形，是上一点且，则（    ） A． B． C． D．1 15．（23-24高一下·四川成都·期末）在中，，点满足，且，则（    ） A． B． C． D． 16．（22-23高一下·浙江·阶段练习）如图所示，中，点是线段的中点，是线段上的动点，若，则的最小值（    ） A．1 B．3 C．5 D．8 题型4 平面向量基本定理 17．（23-24高一下·重庆·期末）在平行四边形ABCD中，M为BC的中点，设，，则（    ） A． B． C． D． 18．【多选】（21-22高一下·全国·期末）如图，在梯形中，，点是的中点，点是上靠近点的三等分点，则（    ） A． B． C． D． 19．【多选】（19-20高三上·山东泰安·期末）如图，在四边形ABCD中，为BC边上一点，且为AE的中点，则（     ） A． B． C． D． 20．（23-24高一下·浙江宁波·期末）在梯形ABCD中，∥，且（），若则（    ） A． B． C． D． 21．（23-24高一下·上海·期末）如图，在平行四边形ABCD中，E是对角线AC上靠近点C的三等分点，点F在BE上，若，则 . 22．【多选】（23-24高一下·吉林长春·期中）已知等边的边长为2，，，交于  ，则（    ） A． B． C． D． 题型5平面向量线性运算的坐标表示 23．（23-24高一下·浙江宁波·期末）已知向量 则 （    ） A． B． C． D． 24．（23-24高一下·云南昆明·期末）已知向量，则下列选项中与共线的单位向量是（    ） A． B． C． D． 25．（2024·湖南常德·一模）如图，四边形是边长为1的正方形，延长CD至E，使得．动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点，，则的取值范围为 ． 26．（22-23高一下·上海杨浦·期末）已知直角坐标平面上两点、，若满足，则点的坐标为 . 27．（23-24高一下·上海静安·期末）已知平面上两点的坐标分别是是直线上的一点，且，则点的坐标是 ． 28．（22-23高一下·重庆江津·期末）已知向量，并且，则实数的取值范围为 ． 题型6 平面向量共线的坐标表示 29．（23-24高二下·浙江湖州·期末）设向量，如果与共线且方向相同，则的值为（    ） A． B． C．0 D． 30．（23-24高一下·陕西安康·阶段练习）设向量，，若，则（    ） A． B．0 C．6 D． 31．【多选】（23-24高二下·山西长治·期末）已知向量，，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若与共线，则 C．若，则 D．“”是“”的充要条件 32．（23-24高一下·四川成都·阶段练习）已知三点共线，则的值为（    ） A． B．5 C． D．3 33．（23-24高一下·上海宝山·期末）向量，能组成平面向量的一个基，则实数的取值范围是 ． 题型7 平面向量的数量积 34．（23-24高一下·江苏盐城·期末）若向量，为单位向量，且，则（    ） A． B． C． D．1 35．（23-24高一下·四川·期末）如图，在圆中，是圆上不同的两点，若，则（    ） A．12 B．15 C．16 D．18 36．（23-24高一下·江苏盐城·期末）已知梯形中，，，，，，若，，，则的取值范围为 . 37．（23-24高一下·上海·期末）已知正方形ABCD，边长为1，点E是BC边上一点，若，则 . 38．（23-24高一下·吉林·期末）正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系.在如图所示的正五角星中，是该正五角星的中心，则（    ）    A． B． C．12 D．18 39．（23-24高一下·辽宁朝阳·期中）已知| ，，，则的最大值为（    ） A．2 B． C．3 D．4 40．（23-24高一下·江苏扬州·期末）如图，在中，是上的两个三等分点，，则的值为（    ） A．50 B．80 C．86 D．110 41．（23-24高一下·河南南阳·期末）已知在边长为2的菱形中，，点满足，则 . 42．【多选】（23-24高一下·河南南阳·期末）在边长为3的正方形中，分别是边上的动点（含端点），且，则的取值可以是（    ） A．12 B．11 C．10 D．9 题型8 平面向量的垂直问题 43．（2024·全国·高考真题）已知向量，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 44．（23-24高一下·浙江丽水·期末）已知向量，，若与垂直，则实数（    ） A． B． C． D． 45．（2025·甘肃张掖·模拟预测）已知向量满足，且，若，则（    ） A． B． C． D． 46．（23-24高一下·重庆璧山·阶段练习）已知向量，，且，则（    ） A． B． C． D． 题型9 平面向量的模问题 47．（2024·广东肇庆·模拟预测）已知是单位向量，且它们的夹角是.若，且，则（    ） A．2 B． C．2或 D．3或 48．（23-24高一下·湖北武汉·期末）已知向量与的夹角为，，，则（    ） A．1 B． C． D． 49．（23-24高一下·湖北武汉·期末）在中，，，，若D为BC边的中点，则 ． 50．（23-24高一下·江苏镇江·期末）已知向量，满足：，，，则（    ） A． B．5 C． D． 51．（23-24高一下·江苏常州·期末）已知向量和满足，，向量在向量上的投影向量为，则（    ） A．3 B． C．4 D．12 题型10 平面向量的夹角问题 52．（23-24高一下·江苏南京·阶段练习）已知向量，，若，的夹角为钝角，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 53．（23-24高二下·浙江绍兴·期末）已知向量满足，则向量与夹角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 54．（23-24高二下·江苏南京·期末）已知单位向量，满足|－|＝，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 55．（23-24高一下·河南郑州·期末）已知非零向量满足，则向量夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 56．（23-24高一下·江苏南京·期末）已知，，，则 ． 57．（22-23高一下·云南曲靖·期中）已知与的夹角为．若为钝角，则的取值范围是 ． 题型11 投影向量 58．（23-24高三上·四川成都·期末）已知，，则在方向上的投影数量等于 ． 59．（23-24高三上·山东青岛·期末）已知平面向量，则向量在向量上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 60．（23-24高一下·四川绵阳·期末）若，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 61．（23-24高二下·湖北武汉·期末）已知向量满足，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 62．（23-24高一下·四川成都·期末）已知是夹角为的两个单位向量，则向量在向量上的投影向量为 . 63．（22-23高三上·河南·期末）已知平面向量满足，，，则在方向上的投影为（    ） A．5 B． C．10 D． 64．（22-23高一下·宁夏石嘴山·期末）已知向量，满足，在方向上的投影向量为，则的最小值为 . 题型12 平面向量的应用 65．（22-23高一下·四川成都·期末）已知点，，在所在平面内，且，，，则点，，依次是的（    ） A．重心、外心、垂心 B．重心、外心、内心 C．外心、重心、垂心 D．外心、重心、内心 66．（23-24高一下·江苏镇江·期末）已知向量，，满足：，且，则三角形的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 67．（23-24高一下·四川·期末）设为两个非零向量的夹角，且，已知对任意实数的最小值为2，则 . 68．（23-24高一下·湖南常德·期中）如图，直线，点是，之间的一个定点，点到，的距离分别为和．点是直线上一个动点，过点作，点在线段上运动（包括端点）且，若的面积为．则的最小值为（   ）    A． B． C． D． 69．【多选】（23-24高三上·江西新余·期末）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且．以下命题正确的有（    ） A．若，则M为的重心 B．若M为的内心，则 C．若M为的垂心，，则 D．若，，M为的外心，则 题型13 向量新定义 70．（2023·河南·模拟预测）向量的夹角为，定义运算“”:，若，，则的值为 . 71．【多选】（21-22高一下·江苏苏州·期中）如图，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是x轴，y轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标.若在坐标系中，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．与的夹角为 72．【多选】（23-24高一下·福建福州·期中）定义:已知两个非零向量的夹角为，把两个向量的叉乘记作:，则以下说法正确的是（   ） A．若，则 B． C．若四边形ABCD为平行四边形，则它的面积等于 D．若，则的最小值为 $$2023-2024学年高一数学微专题精准突破（人教A版2019必修第二册） 期末强化练01 平面向量小题13种常见考法归类（72题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1平面向量的实际背景及基本概念 题型2 平面向量的线性运算 题型3 平面向量共线定理 题型4 平面向量基本定理 题型5平面向量线性运算的坐标表示 题型6 平面向量共线的坐标表示 题型7 平面向量的数量积 题型8 平面向量的垂直问题 题型9 平面向量的模问题 题型10 平面向量的夹角问题 题型11 投影向量 题型12 平面向量的应用 题型13 向量新定义 题型1平面向量的实际背景及基本概念 1．（23-24高一下·浙江湖州·期末）已知，是两个单位向量，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用单位向量的定义求解即可. 【详解】单位向量的模长相等，则，故D正确； 且两者并不一定是相同或相反向量，故A错误；两者不一定共线，故B错误；两者不一定垂直，故C错误. 故选：D. 2．【多选】（21-22高一下·安徽合肥·期末）如下四个命题中，说法正确的是（    ） A．向量的长度与向量的长度相等； B．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同； C．两个公共终点的向量，一定是共线向量； D．向量与向量是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上． 【答案】AB 【分析】根据平面向量的相关概念判断即可. 【详解】向量与向量是互为相反向量，所以A选项正确，选项B显然正确，选项C显然错误， 选项D，也有可能直线AB与直线CD平行； 故选：AB 3．【多选】（22-23高一下·重庆·期中）下列叙述中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．已知非零向量与且//，则与的方向相同或相反 D．对任一非零向量是一个单位向量 【答案】CD 【分析】A注意即可判断；B根据向量的性质判断；C由共线向量的定义判断；D由单位向量的定义判断. 【详解】A：若时，不一定有，错误； B：向量不能比较大小，错误； C：非零向量与且//，则与的方向相同或相反，正确； D：非零向量，则是一个单位向量，正确. 故选：CD 4．【多选】（2023·全国·模拟预测）有关平面向量的说法，下列错误的是（    ） A．若，，则 B．若与共线且模长相等，则 C．若且与方向相同，则 D．恒成立 【答案】ABC 【分析】取，可判断A选项；利用平面向量的概念可判断B选项；利用向量不能比大小可判断C选项；利用平面向量数量积的运算性质可判断D选项. 【详解】对于A选项，取，满足，，但、不一定共线，A错； 对于B选项，若与共线且模长相等，则或，B错； 对于C选项，任何两个向量不能比大小，C错； 对于D选项，恒成立，D对. 故选：ABC. 5．（23-24高一下·河北邢台·期中）下列结论正确的是（   ） A．平行向量不一定是共线向量 B．单位向量都相等 C．两个单位向量之和不可能是单位向量 D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合向量的基本概念，以及向量的运算法则，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，平行向量又叫共线向量，所以A错误； 对于B中，单位向量长度相等，但方向不一定相同，所以B错误； 对于C中，当两个单位向量夹角为120°时，两个单位向量之和也是单位向量，所以C错误； 对于D中，，所以 D正确． 故选：D． 题型2 平面向量的线性运算 6．（22-23高一下·浙江温州·阶段练习）在四边形中，对角线与交于点，若，则四边形一定是（   ） A．矩形 B．梯形 C．平行四边形 D．菱形 【答案】B 【分析】利用向量判断四边形形状首先考虑判断对边的位置与大小关系，根据变形可得，可得四边形为梯形. 【详解】由，得， 所以， 可得且. 所以四边形一定是梯形． 故选：B 7．【多选】（21-22高一·江苏·课后作业）下列结论恒为零向量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用平面向量的线性运算逐个选项直接求解判断即可. 【详解】对于A，，A错； 对于B，，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，D正确. 故选：BCD 8．（22-23高一下·辽宁沈阳·期末）设是所在平面内的一点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的减法运算求解. 【详解】由，则， 整理得． 故选：A. 9．（23-24高一下·四川成都·期末）在中，已知，记，则（    ） A．3 B．2 C．1 D．4 【答案】C 【分析】根据向量减法运算，再求模. 【详解】. 故选：C 题型3 平面向量共线定理 10．（23-24高一下·四川资阳·期中）已知为不共线向量，，则（    ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【答案】A 【分析】运用向量的加法运算，求得，从而得出结论. 【详解】因为，所以三点共线， 故选：A． 11．（23-24高一下·江苏南京·期末）向量与不共线，， ()，若与共线，则应满足（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量平行的结论可以直接得到答案. 【详解】因为与不共线，且与共线，则， 即，即. 故选：C 12．（23-24高一下·四川·期末）点满足向量，则点与的位置关系是（    ） A．点为线段的中点 B．点在线段延长线上 C．点在线段的延长线上 D．点不在直线上 【答案】C 【分析】分析可得，进而可得结果. 【详解】因为，即，可得， 所以点在线段的延长线上. 故选：C. 13．（2024·青海西宁·二模）若向量不共线，且，则的值为 ． 【答案】1 【分析】根据题意，可设为一组基向量，利用向量共线定理和向量基本定理运算求解. 【详解】因为不共线，所以可设为一组基向量， 因为，所以，使得， 所以，所以，消去，得． 故答案为：1. 14．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知是边长为1的正三角形，是上一点且，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】根据题意得，由三点共线求得，利用向量数量积运算求解. 【详解】，，且， 而三点共线，，即， ， 所以. 故选：A. 15．（23-24高一下·四川成都·期末）在中，，点满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，在中取中点为，且点在直线上，由数量积运算可得，从而得解. 【详解】因为，易知为等腰直角三角形且， 取中点为，则，又点满足，则点在直线上， 所以， 由，则，结合图知，所以. 故选：A 16．（22-23高一下·浙江·阶段练习）如图所示，中，点是线段的中点，是线段上的动点，若，则的最小值（    ） A．1 B．3 C．5 D．8 【答案】D 【分析】根据题意，由三点共线定理可得，再由基本不等式代入计算，即可求解. 【详解】因为点是线段的中点，则， 则， 因为三点共线，所以， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：D 题型4 平面向量基本定理 17．（23-24高一下·重庆·期末）在平行四边形ABCD中，M为BC的中点，设，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，作出几何图形，再利用向量线性运算求解即得. 【详解】在中，M为BC的中点，，， 所以. 故选：C 18．【多选】（21-22高一下·全国·期末）如图，在梯形中，，点是的中点，点是上靠近点的三等分点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据已知条件结合平面向量基本定理逐个分析判断即可. 【详解】对于A，因为在梯形中，，点是的中点， 所以，所以A错误； 对于B，因为点是上靠近点的三等分点， 所以，所以B正确； 对于C，由选项AB可知，， 所以，所以C正确； 对于D，因为点是上靠近点的三等分点， 所以，所以D正确. 故选：BCD. 19．【多选】（19-20高三上·山东泰安·期末）如图，在四边形ABCD中，为BC边上一点，且为AE的中点，则（     ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用向量加法的三角形法则、数乘运算及平面向量基本定理进行解题 【详解】由， 由向量加法的三角形法则得 ， 又F为AE的中点，则，故A正确； ，故B正确； ，故D正确； ，故C错误. 故选：ABD 20．（23-24高一下·浙江宁波·期末）在梯形ABCD中，∥，且（），若则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量基本定理结合已知条件将用表示，再对照可得答案. 【详解】因为，所以， 所以， 因为不共线， 所以，所以， 故选：D 21．（23-24高一下·上海·期末）如图，在平行四边形ABCD中，E是对角线AC上靠近点C的三等分点，点F在BE上，若，则 . 【答案】 【分析】根据向量平行四边形法则及线性运算得，再利用平面向量基本定理建立方程即可求得参数. 【详解】由题意可知，因为点F在BE上， 所以， 所以，所以，所以. 故答案为： 22．【多选】（23-24高一下·吉林长春·期中）已知等边的边长为2，，，交于  ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据向量的线性运算即可求解A；根据以及三点共线，即可结合向量的线性运算求解B，根据，，即可根据比例关系求解面积之间的关系，即可判断CD. 【详解】对于A，因为，所以,所以，故A正确； 对于B，设,所以， 又三点在一条直线上，故，故，解得 即，故B错误； 对于C，设,由于，则，, 又,所以,故C正确， 对于D，因为,所以， ， 所以，故D错误． 故选：AC． 题型5平面向量线性运算的坐标表示 23．（23-24高一下·浙江宁波·期末）已知向量 则 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量减法法则进行计算. 【详解】. 故选：B 24．（23-24高一下·云南昆明·期末）已知向量，则下列选项中与共线的单位向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出与向量共线的单位向量，再判断即得. 【详解】依题意，，与共线的单位向量为或. 故选：B 25．（2024·湖南常德·一模）如图，四边形是边长为1的正方形，延长CD至E，使得．动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点，，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】建立适当的平面直角坐标系，讨论四种情况，即可求出的取值范围. 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系： 则，所以， 当时，有，即，此时的取值范围为， 当时，有，即，此时的取值范围为， 当时，有，即，此时的取值范围为， 当时，有，即，此时的取值范围为， 综上所述，的取值范围为. 故答案为：. 26．（22-23高一下·上海杨浦·期末）已知直角坐标平面上两点、，若满足，则点的坐标为 . 【答案】 【分析】设点的坐标为，将转化为坐标，利用坐标对应相等即可求解. 【详解】设点的坐标为， 因为点，， 所以，， 因为，所以，解得， 所以点的坐标为 故答案为： 27．（23-24高一下·上海静安·期末）已知平面上两点的坐标分别是是直线上的一点，且，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】根据向量线性运算的坐标表示可求的坐标. 【详解】设，则， 故，即，解得， 故点的坐标为. 故答案为：. 28．（22-23高一下·重庆江津·期末）已知向量，并且，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据可得，结合，利用二次函数的性质求解. 【详解】∵向量，并且， ∴，且， ∴， ∴， ∵， ∴当时，；当时，， ∴实数的取值范围为. 故答案为：. 题型6 平面向量共线的坐标表示 29．（23-24高二下·浙江湖州·期末）设向量，如果与共线且方向相同，则的值为（    ） A． B． C．0 D． 【答案】B 【分析】先由两向量共线列方程求出的值，再由两向量方向相同确定的值》 【详解】因为，且与共线， 所以，得， 因为与方向相同，所以. 故选：B 30．（23-24高一下·陕西安康·阶段练习）设向量，，若，则（    ） A． B．0 C．6 D． 【答案】D 【分析】根据向量共线得到方程，解出即可. 【详解】由题意得，解得， 故选：D. 31．【多选】（23-24高二下·山西长治·期末）已知向量，，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若与共线，则 C．若，则 D．“”是“”的充要条件 【答案】BD 【分析】对于A，根据向量模长的坐标表示即可验证；对于B，根据向量共线的坐标表示即可验证；对于C，根据向量数量积的坐标表示即可验证；对于D，根据向量加法和向量共线的坐标表示即可验证. 【详解】对于A，若，则，故，A错误； 对于B，若与共线，则，B正确； 对于C，若，则，故，C错误； 对于D，由于，，故的充要条件是. 而，故的充要条件是，D正确. 故选：BD. 32．（23-24高一下·四川成都·阶段练习）已知三点共线，则的值为（    ） A． B．5 C． D．3 【答案】D 【分析】根据得到方程，求出答案. 【详解】， 三点共线，故， 即，解得. 故选：D 33．（23-24高一下·上海宝山·期末）向量，能组成平面向量的一个基，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由基底定义计算即可得. 【详解】由题意可得，不共线，故有，即， 故实数的取值范围是. 故答案为：. 题型7 平面向量的数量积 34．（23-24高一下·江苏盐城·期末）若向量，为单位向量，且，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】通过向量模的平方等于向量的平方即可求解. 【详解】因为向量，为单位向量，所以， 因为， 所以 ， 所以. 故选：A. 35．（23-24高一下·四川·期末）如图，在圆中，是圆上不同的两点，若，则（    ） A．12 B．15 C．16 D．18 【答案】D 【分析】根据圆的几何性质及数量积的定义求解即可. 【详解】由圆的几何性质，， 由数量积的定义可得. 故选：D. 36．（23-24高一下·江苏盐城·期末）已知梯形中，，，，，，若，，，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，用带的坐标分别表示向量，求得数量积关于的式子，然后用函数的思想求范围. 【详解】 如图，建立平面直角坐标系，根据题意，则 , , 所以 , 所以 令， 当时，， 当或时，， 所以， 故答案为： 37．（23-24高一下·上海·期末）已知正方形ABCD，边长为1，点E是BC边上一点，若，则 . 【答案】 【分析】借助平面向量的三角形法则，用作为基底，分别表示向量，然后用平面向量的线性运算和数量积即可得解. 【详解】因为在单位正方形，点是边上一点，又，所以，， 所以. 故答案为： 38．（23-24高一下·吉林·期末）正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系.在如图所示的正五角星中，是该正五角星的中心，则（    ）    A． B． C．12 D．18 【答案】A 【分析】设交于点，则是中点且，根据数量积的定义计算可得． 【详解】如图，交于点，则是中点且， 由题意可得. 故选：A．    39．（23-24高一下·辽宁朝阳·期中）已知| ，，，则的最大值为（    ） A．2 B． C．3 D．4 【答案】A 【分析】利用数量积的运算律，结合已知可得，再利用数量积运算律及定义求解即得. 【详解】由，得，即，则， 因此 ， 而， 所以当时，取得最大值2． 故选：A 40．（23-24高一下·江苏扬州·期末）如图，在中，是上的两个三等分点，，则的值为（    ） A．50 B．80 C．86 D．110 【答案】B 【分析】根据题意利用平向量基本定理将用表示出来，然后利用数量积的运算律求解即可. 【详解】因为在中，是上的两个三等分点，， 所以， ， 所以 . 故选：B 41．（23-24高一下·河南南阳·期末）已知在边长为2的菱形中，，点满足，则 . 【答案】 【分析】根据相似比可得，即可利用数量积的几何意义求解. 【详解】如图，设与交于点，过点作的平行线交于点.因为， 所以，所以， 因为四边形是边长为2的菱形，， 所以，且，所以在上的投影向量为， 所以. 故答案为：    42．【多选】（23-24高一下·河南南阳·期末）在边长为3的正方形中，分别是边上的动点（含端点），且，则的取值可以是（    ） A．12 B．11 C．10 D．9 【答案】ABC 【分析】通过建系，设出点，通过计算得，结合利用基本不等式和三角形三边关系定理即可求得的范围即可判断. 【详解】 如图，以为坐标原点，射线的方向分别为轴､轴的正方向，建立平面直角坐标系. 则.设，其中，因，则 则，. 因为， 故得，解得，当且仅当时，等号成立. 又，当且仅当点或点与点重合时等号成立， 故得，即，又， 所以都满足其范围，不满足其范围，故ABC正确，D错误. 故选：ABC. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是建立直角坐标系，将问题转化为代数运算，从而结合基本不等式即可得解. 题型8 平面向量的垂直问题 43．（2024·全国·高考真题）已知向量，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据向量垂直的坐标运算可求的值. 【详解】因为，所以， 所以即，故， 故选：D. 44．（23-24高一下·浙江丽水·期末）已知向量，，若与垂直，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，则求解． 【详解】解：因为与垂直，所以， 则， 得， 故选：A 45．（2025·甘肃张掖·模拟预测）已知向量满足，且，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，，则，结合数量积运算律化简可解. 【详解】根据题意，，所以， 又，所以， 即，因为， 所以. 故选：A. 46．（23-24高一下·重庆璧山·阶段练习）已知向量，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用平面向量坐标运算法则求出，再由向量，求出实数值. 【详解】因为向量，，可得， 因为，所以，解得：， 故选：C 题型9 平面向量的模问题 47．（2024·广东肇庆·模拟预测）已知是单位向量，且它们的夹角是.若，且，则（    ） A．2 B． C．2或 D．3或 【答案】D 【分析】根据条件将两边平方，然后利用数量积的运算律计算即可. 【详解】，即， 解得或. 故选：D. 48．（23-24高一下·湖北武汉·期末）已知向量与的夹角为，，，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】借助向量模长与数量积的关系与数量积的计算公式计算即可得. 【详解】 . 故选：A. 49．（23-24高一下·湖北武汉·期末）在中，，，，若D为BC边的中点，则 ． 【答案】/ 【分析】借助向量的线性运算与模长与数量积的关系计算即可得. 【详解】由D为BC边的中点，则， 则 . 故答案为： 50．（23-24高一下·江苏镇江·期末）已知向量，满足：，，，则（    ） A． B．5 C． D． 【答案】B 【分析】首先求出，再根据及数量积的运算律计算可得. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：B 51．（23-24高一下·江苏常州·期末）已知向量和满足，，向量在向量上的投影向量为，则（    ） A．3 B． C．4 D．12 【答案】B 【分析】先由向量在向量上的投影向量求出，然后求解即可. 【详解】因为向量在向量上的投影向量为， 所以， 所以，所以， 所以，得， 所以， 故选：B 题型10 平面向量的夹角问题 52．（23-24高一下·江苏南京·阶段练习）已知向量，，若，的夹角为钝角，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，的夹角为钝角，可得，且与不共线，从而可求出的取值范围. 【详解】因为，，，的夹角为钝角， 所以，解得，且， 即的取值范围是， 故选：B 53．（23-24高二下·浙江绍兴·期末）已知向量满足，则向量与夹角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出，再根据夹角公式可求余弦值. 【详解】因为，所以， 从而，所以即， 故， 故选：A. 54．（23-24高二下·江苏南京·期末）已知单位向量，满足|－|＝，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将两边平方求得,再利用向量夹角公式即可求解. 【详解】根据题意得,得, 所以,所以. 故选：C 55．（23-24高一下·河南郑州·期末）已知非零向量满足，则向量夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数量积的运算律得到、，再由夹角公式计算可得. 【详解】，即①，即， ，可得， 即，代入①可得，即， 又，为非零向量，． 故选：B． 56．（23-24高一下·江苏南京·期末）已知，，，则 ． 【答案】 【分析】首先表示出，，利用夹角公式求出，即可求出，从而得解. 【详解】因为，，， 所以，， 所以， 又，所以，即， 所以. 故答案为： 57．（22-23高一下·云南曲靖·期中）已知与的夹角为．若为钝角，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】由为钝角，得到且与夹角不为，代入公式计算，再看与夹角是否可能为即可得解. 【详解】由，且为钝角，所以，解得， 当时，则，解得，此时与夹角为，不成立， 且． 故答案为：且． 题型11 投影向量 58．（23-24高三上·四川成都·期末）已知，，则在方向上的投影数量等于 ． 【答案】/ 【分析】由向量数量积的几何意义，应用数量积、模长的坐标运算求在方向上的投影数量. 【详解】在方向上的投影数量. 故答案为： 59．（23-24高三上·山东青岛·期末）已知平面向量，则向量在向量上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量在向量上的投影向量公式：计算即得. 【详解】根据平面向量的投影向量的规定可得: 向量在向量上的投影向量为：，即， 因，则，，则向量在向量上的投影向量为：. 故选：D. 60．（23-24高一下·四川绵阳·期末）若，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用投影向量的定义直接求解即可 【详解】因为， 所以在上的投影向量为 ， 故选：D 61．（23-24高二下·湖北武汉·期末）已知向量满足，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先对两边平方化简可求得，然后利用投影向量的定义求解即可. 【详解】由，得， 因为，所以，得， 所以在上的投影向量为. 故选：A 62．（23-24高一下·四川成都·期末）已知是夹角为的两个单位向量，则向量在向量上的投影向量为 . 【答案】. 【分析】设，则，且，取的中点，得到且，结合向量的投影的定义，即可求解. 【详解】如图所示，设，则， 因为是夹角为60°的两个单位向量，可得， 取的中点，可得，可得， 所以向量在向量上的投影向量为. 故答案为：. 63．（22-23高三上·河南·期末）已知平面向量满足，，，则在方向上的投影为（    ） A．5 B． C．10 D． 【答案】A 【分析】首先根据，结合向量数量积公式，求，再代入投影公式，即可求解. 【详解】因为，所以， 所以，， 则在方向上的投影为. 故选：A 64．（22-23高一下·宁夏石嘴山·期末）已知向量，满足，在方向上的投影向量为，则的最小值为 . 【答案】2 【分析】由题设有，结合数量积的定义得，，应用数量积的运算律有，即可求模长的最小值. 【详解】由题意，在方向上的投影数量为1， 故，则，设向量夹角为， ，则，（）， 由，故的最小值为. 故答案为：2 题型12 平面向量的应用 65．（22-23高一下·四川成都·期末）已知点，，在所在平面内，且，，，则点，，依次是的（    ） A．重心、外心、垂心 B．重心、外心、内心 C．外心、重心、垂心 D．外心、重心、内心 【答案】A 【分析】根据向量的运算逐个分析判断即可 【详解】由，得， 所以，设的中点为，连接，则， 所以，所以点在边上的中线上，同理可得也在的中线上， 所以点是的重心， 由，得，所以到的三个顶点的距离相等，所以为的外心， 由，得，所以， 所以，所以，同理得，所以为的垂心， 故选：A 66．（23-24高一下·江苏镇江·期末）已知向量，，满足：，且，则三角形的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】D 【分析】由三角形重心、外心性质得到是三角形的重心、外心，从而得到三角形为等边三角形. 【详解】因为，所以是三角形的重心，又因为，所以是三角形的外心， 所以三角形是等边三角形. 故选：D. 67．（23-24高一下·四川·期末）设为两个非零向量的夹角，且，已知对任意实数的最小值为2，则 . 【答案】4 【分析】利用向量的加法可得和向量的模为点到直线上任意点的两点间距离，从而可得最小值为；也可用平方法，利用数量积来计算和向量的模，再结合二次函数求最小值即可. 【详解】方法一：如图，当变化时，起点为，终点在上运动， 故的最小值为，由图可得：； 方法二：由题意可知，，令， 因为，所以恒大于零， 所以当时，取得最小值2， 所以，化简得，所以. 故答案为：. 68．（23-24高一下·湖南常德·期中）如图，直线，点是，之间的一个定点，点到，的距离分别为和．点是直线上一个动点，过点作，点在线段上运动（包括端点）且，若的面积为．则的最小值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，设，根据三角形面积求得，设，利用平面向量的线性运算可得，结合和数量积的运算律和二次函数的性质计算即可求解. 【详解】如图，设，则，    所以， 得，又， 所以，得，解得， 所以，故，， 设，则， 所以， 则 ， 当时，取得最小值，且为. 故选：B 【点睛】方法点睛：本题考查平面向量与几何的最值问题，该类问题常见的处理方法为： （1）基底法：通过基底的建立与表示进行求解； （2）坐标法：通过平面直角坐标系，结合坐标公式进行求解； （3）转化法：通过平方关系的转化求解平面向量问题. 69．【多选】（23-24高三上·江西新余·期末）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且．以下命题正确的有（    ） A．若，则M为的重心 B．若M为的内心，则 C．若M为的垂心，，则 D．若，，M为的外心，则 【答案】ABC 【分析】A选项，，作出辅助线，得到三点共线，同理可得M为的重心；B选项，设内切圆半径为，则，，，代入后得到；C选项，得到，作出辅助线，由面积关系得到线段比，设，，，则，，，结合三角函数得到，，进而求出正切值的比；D选项，设外接圆半径，由三角形面积公式求出三个三角形的面积，得到比值. 【详解】A选项，因为，所以， 取的中点，则，所以， 故三点共线，且， 同理，取中点，中点，可得三点共线，三点共线， 所以M为的重心，A正确； B选项，若M为的内心，可设内切圆半径为， 则，，， 所以， 即，B正确； C选项，若M为的垂心，， 则， 如图，⊥，⊥，⊥，相交于点， 又， ，即， ，即， ，即， 设，，，则，，， 因为，， 所以，即， 同理可得，即，故， ，则， 故， ，则， 故， ， 故， 同理可得， 故，C正确； D选项，若，，M为的外心， 则， 设的外接圆半径为，故， ， 故，，， 所以，D错误. 故选：ABC 【点睛】结论点睛：点为所在平面内的点，且，则点为的重心， 点为所在平面内的点，且，则点为的垂心， 点为所在平面内的点，且，则点为的外心， 点为所在平面内的点，且，则点为的内心， 题型13 向量新定义 70．（2023·河南·模拟预测）向量的夹角为，定义运算“”:，若，，则的值为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用向量的坐标运算求出向量的模及夹角余弦，再利用定义求解即得. 【详解】由，，得， ，， 则，所以. 故答案为： 71．【多选】（21-22高一下·江苏苏州·期中）如图，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是x轴，y轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标.若在坐标系中，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．与的夹角为 【答案】BCD 【分析】根据对应的坐标是的坐标，进而可得，根据平面向量数量积的公式，模长公式及夹角公式可得结果. 【详解】选项A： ，故A错误，C正确； 选项B： ，故B正确； 选项D：因为 ， ， 所以， 因为，所以，故D正确； 故选：BCD. 72．【多选】（23-24高一下·福建福州·期中）定义:已知两个非零向量的夹角为，把两个向量的叉乘记作:，则以下说法正确的是（   ） A．若，则 B． C．若四边形ABCD为平行四边形，则它的面积等于 D．若，则的最小值为 【答案】ACD 【分析】根据给定两个向量的叉乘定义，逐项计算判断得解. 【详解】对于A，由，得，而，因此， 又，则或，所以，A正确； 对于B，，当时，， 当时，，B错误； 对于C，的面积，C正确； 对于D，由，得，由，得， 两式平方相加得，则， 当且仅当时取等号，D正确. 故选：ACD $$