第11章 第4讲 事件与概率-【金版教程】2025年高考数学一轮复习创新方案word（新教材，提升版）

金版教程 高考科学复习创新方案 数学(提升版) 第4讲　事件与概率 [课程标准]1.理解样本点和有限样本空间的含义，理解随机事件与样本点的关系．了解随机事件的并、交与互斥的含义，能进行随机事件的并、交运算.2.理解概率的性质，掌握随机事件概率的运算法则.3.会用频率估计概率． 1．随机试验及其特点 (1)定义：对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母E表示． (2)特点 ①试验可以在相同条件下重复进行； ②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个； ③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果． 2．样本空间 (1)随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，常用ω表示； (2)全体样本点的集合称为试验E的样本空间，常用Ω表示样本空间，称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间． 3．随机事件、必然事件与不可能事件 (1)事件：将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件． (2)基本事件：只包含一个样本点的事件称为基本事件． (3)必然事件：Ω包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件． (4)不可能事件：空集∅不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称∅为不可能事件． 4．两个事件的关系和运算 关系或运算 含义 符号表示 包含 若事件A发生，则事件B一定发生 A⊆B 相等 事件B包含事件A，事件A也包含事件B A＝B 并事件(和事件) 事件A与事件B至少有一个发生 A∪B(或A＋B) 交事件(积事件) 事件A与事件B同时发生 A∩B(或AB) 互斥(互不相容) 事件A与事件B不能同时发生 A∩B＝∅ 互为对立 事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生 A∪B＝Ω，且A∩B＝∅ 5.概率的基本性质 性质1：对任意的事件A，都有P(A)≥0． 性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(∅)＝0． 性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)． 性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)． 性质5：如果A⊆B，那么P(A)≤P(B)． 性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)． 6．频率的稳定性 在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性．一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)，我们称频率的这个性质为频率的稳定性．因此，我们可以用频率fn(A)估计概率P(A)． 1．从集合的角度理解互斥事件和对立事件 (1)几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空集． (2)事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集． 2．概率加法公式的推广 当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时，要用到概率加法公式的推广，即 P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)． 1．(多选)(2023·海口模拟)下列说法正确的是(　　) A．对任意的事件A，都有P(A)>0 B．随机事件A发生的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值 C．必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0 D．若事件A⊆事件B，则P(A)≤P(B) 答案　BCD 解析　任意事件A发生的概率P(A)满足0≤P(A)≤1，故A错误；频率是数据统计的结果，是一种具体的趋势和规律．在大量重复试验时，频率具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增加，这种摆动幅度越来越小，这个常数就是这个事件发生的概率，由此可知B正确；∵必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，随机事件的概率大于0，小于1，∴C正确；当随机事件的样本空间一定时，若事件A⊆事件B，则必然有P(A)≤P(B)，∴D正确．故选BCD. 2．(人教A必修第二册习题10.3 T2改编)小明将一枚质地均匀的正方体骰子连续抛掷了30次，每次朝上的点数都是2，则下列说法正确的是(　　) A．朝上的点数是2的概率为1 B．朝上的点数是2的频率为1 C．抛掷第31次，朝上的点数一定不会是2 D．抛掷第31次，朝上的点数一定是2 答案　B 解析　小明将一枚质地均匀的正方体骰子连续抛掷了30次，每次朝上的点数都是2，则朝上的点数是2的频率为＝1，故B正确；频率不同于概率，概率是某事件发生的可能性的大小，是一个定值，而频率随着实验的次数的不同而不同，随着试验次数的增大，频率逐渐趋向于概率的值，故A错误；抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，朝上的点数是2的概率为，所以抛掷第31次，朝上的点数可能是2，也可能不是2，故C，D错误．故选B. 3．(人教B必修第二册5.3.2练习A T2改编)已知P(A)＝0.5，P(B)＝0.3，P(AB)＝0.2，则P(A∪B)＝(　　) A．0.5 B．0.6 C．0.8 D．1 答案　B 解析　∵P(A)＝0.5，P(B)＝0.3，P(AB)＝0.2，∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝0.5＋0.3－0.2＝0.6.故选B. 4．从装有两个白球和两个黄球(球除颜色外其他均相同)的口袋中任取2个球，以下给出了四组事件： ①至少有1个白球与至少有1个黄球； ②至少有1个黄球与都是黄球； ③恰有1个白球与恰有1个黄球； ④至少有1个黄球与都是白球． 其中互斥而不对立的事件共有(　　) A．0组 B．1组 C．2组 D．3组 答案　A 解析　对于①，至少有1个白球包括1个白球1个黄球，2个都是白球；至少有1个黄球包括1个白球1个黄球，2个都是黄球，所以这两个事件有可能同时发生，所以不是互斥事件；对于②，至少有1个黄球包括1个白球1个黄球，2个都是黄球，所以至少有1个黄球与都是黄球有可能同时发生，所以不是互斥事件；对于③，恰有1个白球与恰有1个黄球是同一个事件，所以不是互斥事件；对于④，至少有1个黄球包括1个白球1个黄球，2个都是黄球，与都是白球不可能同时发生，且一次试验中有一个必发生，所以是对立事件．所以这4组事件中互斥而不对立的事件共有0组．故选A. 5．(人教B必修第二册5.3.1练习B T1改编)做试验“从0，1，2这3个数字中，不放回地取两次，每次取一个数字，构成有序对(x，y)，x为第1次取到的数字，y为第2次取到的数字”，则这个试验的样本空间为________． 答案　Ω＝{(0，1)，(0，2)，(1，0)，(1，2)，(2，0)，(2，1)} 解析　这个试验的样本空间为Ω＝{(0，1)，(0，2)，(1，0)，(1，2)，(2，0)，(2，1)}． 考向一　事件的关系及运算 例1　(1)在手工课上，老师将5个环(颜色分别为蓝、黑、红、黄、绿)分发给甲、乙、丙、丁、戊五位同学加工制作，每人分得一个，则事件“甲分得红环”与“乙分得红环”(　　) A．是对立事件 B．是不可能事件 C．是互斥事件但不是对立事件 D．不是互斥事件 答案　C 解析　甲、乙不可能同时分得红环，因而这两个事件是互斥事件；又甲、乙可能都分不到红环，即事件“甲或乙分得红环”不是必然事件，故这两个事件不是对立事件．故选C. (2)(多选)从1至9这9个自然数中任取两个，有如下随机事件： A＝“恰有一个偶数”，B＝“恰有一个奇数”，C＝“至少有一个是奇数”，D＝“两个数都是偶数”，E＝“至多有一个奇数”． 下列结论正确的是(　　) A．A＝B B．B⊆C C．D∩E＝∅ D．C∩D＝∅，C∪D＝Ω 答案　ABD 解析　事件A，B都指的是一奇一偶，故A正确；至少有一个奇数，指两个数是一奇一偶，或是两个奇数，所以B⊆C，故B正确；至多有一个奇数指一奇一偶，或是两偶，此时事件D，E可能同时发生，故C错误；因为C，D是对立事件，所以C∩D＝∅，C∪D＝Ω，故D正确．故选ABD. 1．准确把握互斥事件与对立事件 (1)互斥事件是不可能同时发生的事件，但可同时不发生． (2)对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生，即有且仅有一个发生． 2．判别互斥、对立事件的方法 判别互斥、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件． 　1.(多选)已知袋中有大小、形状完全相同的5张红色、2张蓝色卡片，从中任取3张卡片，则下列判断正确的是(　　) A．事件“都是红色卡片”是随机事件 B．事件“都是蓝色卡片”是不可能事件 C．事件“至少有一张红色卡片”是必然事件 D．事件“有1张红色卡片和2张蓝色卡片”是必然事件 答案　ABC 解析　对于A，事件“都是红色卡片”是随机事件，故A正确；对于B，事件“都是蓝色卡片”是不可能事件，故B正确；对于C，因为只有2张蓝色卡片，从中任取3张卡片，所以事件“至少有一张红色卡片”是必然事件，故C正确；对于D，事件“有1张红色卡片和2张蓝色卡片”是随机事件，故D错误．故选ABC. 2．(多选)(2024·青岛开学考试)有5件产品，其中3件正品，2件次品，从中任取2件，则互斥的两个事件是(　　) A．“至少有1件次品”与“至多有1件正品” B．“至少有1件次品”与“都是正品” C．“至少有1件次品”与“至少有1件正品” D．“恰有1件次品”与“恰有2件正品” 答案　BD 解析　对于A，“至少有1件次品”与“至多有1件正品”能同时发生，不是互斥事件，故A错误；对于B，“至少有1件次品”与“都是正品”是对立事件，属于互斥事件，故B正确；对于C，“至少有1件次品”与“至少有1件正品”能同时发生，不是互斥事件，故C错误；对于D，“恰有1件次品”与“恰有2件正品”不能同时发生，但能同时不发生，是互斥而不对立事件，故D正确．故选BD. 考向二　随机事件的概率与频率 例2　某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y(单位：万千瓦时)与该河上游在六月份的降雨量X(单位：毫米)有关．据统计，当X＝70时，Y＝460；X每增加10，Y增加5.已知近20年X的值为140，110，160，70，200，160，140，160，220，200，110，160，160，200，140，110，160，220，140，160. (1)完成如下的频率分布表： 近20年六月份降雨量频率分布表 降雨量 70 110 140 160 200 220 频率 (2)假定今年六月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率． 解　(1)在所给数据中，降雨量为110毫米的有3个，为160毫米的有7个，为200毫米的有3个．故近20年六月份降雨量频率分布表为 降雨量 70 110 140 160 200 220 频率 (2)根据题意，Y＝460＋×5＝＋425， 故P(发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时)＝P(Y＜490或Y＞530)＝P(X＜130或X＞210) ＝P(X＝70)＋P(X＝110)＋P(X＝220) ＝＋＋＝. 故今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率为. 计算简单随机事件的频率或概率的步骤 提醒：频率是随机的，而概率是一个确定的值，有时也用频率作为随机事件概率的估计值． 　有一批货物需要用汽车从生产商所在城市甲运至销售商所在城市乙，已知从城市甲到城市乙只有两条公路，据调查统计，通过这两条公路从城市甲到城市乙的200辆汽车所用时间的频数分布情况如表所示． 所用时间(天) 10 11 12 13 通过公路1的频数 20 40 20 20 通过公路2的频数 10 40 40 10 假设汽车A只能在约定日期(某月某日)的前11天出发，汽车B只能在约定日期的前12天出发(将频率视为概率)，为了在各自允许的时间内将货物运至城市乙，汽车A和汽车B选择的最佳路径分别为(　　) A．公路1和公路2 B．公路2和公路1 C．公路2和公路2 D．公路1和公路1 答案　A 解析　通过公路1到城市乙用时10，11，12，13天的频率分别为0.2，0.4，0.2，0.2；通过公路2到城市乙用时10，11，12，13天的频率分别为0.1，0.4，0.4，0.1.设A1，A2分别表示汽车A选择公路1，2在允许的时间内将货物运往城市乙；B1，B2分别表示汽车B选择公路1，2在允许的时间内将货物运往城市乙，则P(A1)＝0.2＋0.4＝0.6，P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5，P(B1)＝0.2＋0.4＋0.2＝0.8，P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，所以汽车A最好选择公路1，汽车B最好选择公路2. 多角度探究突破 考向三　概率基本性质的应用 角度互斥事件的概率 例3　某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下： 赔付金额(元) 0 1000 2000 3000 4000 车辆数(辆) 500 130 100 150 120 (1)若每辆车的投保金额均为2800元，估计赔付金额大于投保金额的概率； (2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4000元的概率． 解　(1)设事件A表示“赔付金额为3000元”，事件B表示“赔付金额为4000元”，以频率估计概率，得 P(A)＝＝0.15，P(B)＝＝0.12. 由于投保金额为2800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是赔付金额为3000元和4000元， 故所求概率为P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27. (2)设事件C表示“投保车辆中，新司机获赔4000元”． 由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.1×1000＝100(辆)，而赔付金额为4000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120＝24(辆)，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4000元的频率为＝0.24，由频率估计概率，得P(C)＝0.24. 角度对立事件的概率 例4　某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示． 一次购物量 1至4件 5至8件 9至12件 13至16件 17件及以上 顾客数(人) x 30 25 y 10 结算时间(分钟/人) 1 1.5 2 2.5 3 已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%. (1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值； (2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率(将频率视为概率)． 解　(1)由已知，得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20. 该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为＝1.9(分钟)． (2)记事件A为“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，事件A1，A2分别表示“该顾客一次购物的结算时间为2.5分钟、3分钟”，将频率视为概率得P(A1)＝＝，P(A2)＝＝. P(A)＝1－P(A1)－P(A2)＝1－－＝. 故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为. 角度概率的一般加法公式 例5　某公司三个分厂的职工情况为：第一分厂有男职工4000人，女职工1600人；第二分厂有男职工3000人，女职工1400人；第三分厂有男职工800人，女职工500人．如果从该公司职工中随机抽选1人，求该职工为女职工或为第三分厂职工的概率． 解　记事件A为“抽取的为女职工”，记事件B为“抽取的为第三分厂的职工”，则A∩B表示“抽取的为第三分厂的女职工”，A∪B表示“抽取的为女职工或第三分厂的职工”，则有 P(A)＝＝， P(B)＝＝， P(A∩B)＝＝， 所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝＋－＝. 求复杂的互斥事件的概率的一般方法 (1)直接法：将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的概率求和公式计算． (2)间接法：先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P()，即运用逆向思维，特别是“至少”“至多”型题目，用间接法就显得较简便． 　1.甲、乙两人各射击一次，命中率分别为0.8和0.5，两人都命中的概率为0.4，则甲、乙两人至少有一人命中的概率为________． 答案　0.9 解析　至少有一人命中，可看成“甲命中”和“乙命中”这两个事件的并事件．设事件A为“甲命中”，事件B为“乙命中”，则“甲、乙两人至少有一人命中”为事件A∪B，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝0.8＋0.5－0.4＝0.9. 2．某班选派5人参加学校举行的数学竞赛，获奖人数及其概率如下： 获奖人数 0 1 2 3 4 5 概率 0.1 0.16 x y 0.2 z (1)若获奖人数不超过2的概率为0.56，求x的值； (2)若最多4人获奖的概率为0.96，最少3人获奖的概率为0.44，求y，z的值． 解　记事件“在竞赛中，有k人获奖”为Ak(k∈N，k≤5)，则事件Ak彼此互斥． (1)∵获奖人数不超过2的概率为0.56， ∴P(A0)＋P(A1)＋P(A2)＝0.1＋0.16＋x＝0.56， 解得x＝0.3. (2)由最多4人获奖的概率为0.96，得 P(A5)＝1－0.96＝0.04，即z＝0.04. 由最少3人获奖的概率为0.44，得 P(A3)＋P(A4)＋P(A5)＝0.44， 即y＋0.2＋0.04＝0.44，解得y＝0.2. 课时作业 一、单项选择题 1．将一枚骰子先后抛掷两次，若先后出现的点数分别为b，c，则使得方程x2＋bx＋c＝0有实数根的样本点个数为(　　) A．17 B．18 C．19 D．20 答案　C 解析　一枚骰子先后抛掷两次，样本点一共有36个．方程有实数根，需满足b2－4c≥0，样本点中满足此条件的有(2，1)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，共19个．故选C. 2．(2023·宜宾三模)抛掷一枚质地均匀的骰子一次，事件A表示“骰子向上的点数为奇数”，事件B表示“骰子向上的点数为偶数”，事件C表示“骰子向上的点数大于3”，事件D表示“骰子向上的点数小于3”则(　　) A．事件A与事件C互斥 B．事件A与事件B互为对立事件 C．事件B与事件C互斥 D．事件C与事件D互为对立事件 答案　B 解析　由题意可知，事件A可表示为A＝{1，3，5}，事件B可表示为B＝{2，4，6}，事件C可表示为C＝{4，5，6}，事件D可表示为D＝{1，2}，因为A∩C＝{5}，所以事件A与事件C不互斥，A错误；因为A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，所以事件A与事件B互为对立事件，B正确；因为B∩C＝{4，6}，所以事件B与事件C不互斥，C错误；因为C∩D为不可能事件，C∪D不为必然事件，所以事件C与事件D不互为对立事件，D错误．故选B. 3．掷一枚骰子的试验，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则一次试验中事件A∪发生的概率为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　由已知，得P(A)＝，P(B)＝，事件B表示“小于5的点数出现”，则事件表示“出现5点或6点”，故事件A与事件互斥，∴P(A∪)＝P(A)＋[1－P(B)]＝＋＝.故选C. 4．某地区居民血型的分布为O型49%，A型19%，B型25%，AB型7%.已知同种血型的人可以互相输血，O型血的人可以给任何一种血型的人输血，AB型血的人可以接受任何一种血型的血，其他不同血型的人不能互相输血．现有一血型为A型的病人需要输血，若在该地区任选一人，则能为该病人输血的概率为(　　) A．19% B．26% C．68% D．75% 答案　C 解析　该地区居民血型的分布为O型49%，A型19%，B型25%，AB型7%，能为A型血的病人输血的有O型和A型，所以能为该病人输血的概率为49%＋19%＝68%.故选C. 5．(2023·大连模拟)在一次随机试验中，三个事件A1，A2，A3发生的概率分别是0.2，0.3，0.5，则下列说法正确的是(　　) A．A1∪A2与A3是互斥事件，也是对立事件 B．A1∪A2∪A3是必然事件 C．P(A2∪A3)＝0.8 D．P(A1∪A2)≤0.5 答案　D 解析　三个事件A1，A2，A3不一定是互斥事件，故P(A1∪A2)≤0.5，P(A2∪A3)≤0.8，P(A1∪A2∪A3)≤1，且A1∪A2与A3不一定是互斥事件，也不一定是对立事件．故选D. 6．(2020·全国Ⅱ卷)在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者(　　) A．10名 B．18名 C．24名 D．32名 答案　B 解析　由题意知超市第二天能完成1200份订单的配货，如果没有志愿者帮忙，则超市第二天共会积压超过500＋(1600－1200)＝900份订单的概率为0.05，因此要使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，至少需要志愿者＝18(名)．故选B. 7．(2023·咸阳一模)某家族有X，Y两种遗传性状，该家族某成员出现X性状的概率为，出现Y性状的概率为，X，Y两种性状都不出现的概率为，则该成员X，Y两种性状都出现的概率为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　设该家族某成员出现X性状为事件A，出现Y性状为事件B，则X，Y两种性状都不出现为事件∩，两种性状都出现为事件A∩B，所以P(A)＝，P(B)＝，P(∩)＝，所以P(A∪B)＝1－P(∩)＝，又因为P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)，所以P(A∩B)＝P(A)＋P(B)－P(A∪B)＝.故选B. 8．若随机事件A，B互斥，A，B发生的概率均不等于0，且P(A)＝2－a，P(B)＝3a－4，则实数a的取值范围为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　由题意，知 即解得<a≤，所以实数a的取值范围为.故选A. 二、多项选择题 9．某射击运动员在一次训练中的命中环数情况如下表： 射击次数 命中7环及以上 命中7环以下 100 55 42 记该射击运动员在一次射击中，命中7环及以上为事件A，命中7环以下为事件B，脱靶为事件C，用频率估计概率的方法得到的下述结论中，正确的是(　　) A．P(A)＝0.55 B．P(B)＝0.42 C．P(C)＝0.03 D．P(B∪C)＝0.39 答案　ABC 解析　P(A)＝＝0.55，故A正确；P(B)＝＝0.42，故B正确；P(C)＝1－P(A)－P(B)＝1－0.55－0.42＝0.03，故C正确；P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝0.42＋0.03＝0.45，故D错误．故选ABC. 10．(2024·河南名校联盟月考)现有8张卡片，有3张分别印有“一等奖”“二等奖”“三等奖”，其余5张印有“谢谢惠顾”．甲从中任选1张，设事件A表示“甲没有中奖”，事件B表示“甲获得一等奖”，事件C表示“甲获得二等奖”，事件D表示“甲获得三等奖”，事件E表示“甲中奖”，则下列说法正确的是(　　) A．事件A和事件E是对立事件 B．事件B和事件C是互斥事件 C．P(B∪C∪D)＝P(E) D．P(B∩E)＝P(E) 答案　ABC 解析　对于A，因为事件A和事件E必有一个且仅有一个发生，所以事件A和事件E是对立事件，故A正确；对于B，因为事件B和事件C不可能同时发生，所以事件B和事件C是互斥事件，故B正确；对于C，因为B∪C∪D＝E，所以P(B∪C∪D)＝P(E)，故C正确；对于D，P(B∩E)＝P(B)＝，P(E)＝，所以P(B∩E)≠P(E)，故D错误．故选ABC. 11．小张上班从家到公司开车有两条线路，所需时间(单位：分钟)随交通堵塞状况有所变化，其概率分布如下表所示： 所需时间/分钟 30 40 50 60 线路一 0.5 0.2 0.2 0.1 线路二 0.3 0.5 0.1 0.1 则下列说法正确的是(　　) A．任选一条线路，“所需时间小于50分钟”与“所需时间为60分钟”是对立事件 B．从所需的平均时间看，线路一比线路二更节省时间 C．如果要求在45分钟以内从家赶到公司，小张应该选线路一 D．若小张上、下班走不同线路，则所需时间之和大于100分钟的概率为0.04 答案　BD 解析　“所需时间小于50分钟”与“所需时间为60分钟”是互斥而不对立事件，A错误；线路一所需的平均时间为30×0.5＋40×0.2＋50×0.2＋60×0.1＝39分钟，线路二所需的平均时间为30×0.3＋40×0.5＋50×0.1＋60×0.1＝40分钟，所以线路一比线路二更节省时间，B正确；线路一所需时间小于45分钟的概率为0.7，线路二所需时间小于45分钟的概率为0.8，小张应该选线路二，C错误；所需时间之和大于100分钟，则线路一、线路二的时间可以为(50，60)，(60，50)和(60，60)三种情况，概率为0.2×0.1＋0.1×0.1＋0.1×0.1＝0.04，D正确．故选BD. 三、填空题 12．某城市2023年的空气质量状况如表所示： 污染指数T 30 60 100 110 130 140 概率P 其中污染指数T≤50时，空气质量为优；50<T≤100时，空气质量为良，100<T≤150时，空气质量为轻微污染，则该城市2023年空气质量达到良或优的概率为________． 答案　 解析　由题意可知，2023年空气质量达到良或优的概率为＋＋＝. 13．某种心脏病手术，成功率为0.6，现准备进行3例此种手术，利用计算机取整数值随机数模拟，用0，1，2，3代表手术不成功，用4，5，6，7，8，9代表手术成功，产生如下20组随机数：966，907，191，924，270，832，912，468，578，582，134，370，113，573，998，397，027，488，703，725，则恰好成功1例的概率为________． 答案　0.4 解析　设“恰好成功1例”为事件A，其所包含的样本点为191，270，832，912，134，370，027，703，共8个．则恰好成功1例的概率为P(A)＝＝0.4. 14．一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红球的概率为，取得两个绿球的概率为，则取得两个同颜色的球的概率为________；至少取得一个红球的概率为________． 答案　　 解析　由于“取得两个红球”与“取得两个绿球”是互斥事件，取得两个同颜色的球，只需两互斥事件有一个发生即可，因而取得两个同颜色的球的概率为P＝＋＝.记事件A为“至少取得一个红球”，事件B为“取得两个绿球”，则事件A与B是对立事件，则至少取得一个红球的概率为P(A)＝1－P(B)＝1－＝. 四、解答题 15．在数学考试中，小王的成绩在90分以上(含90分)的概率是0.18，在80～89分的概率是0.51，在70～79分的概率是0.15，在60～69分的概率是0.09，在60分以下(不含60分)的概率是0.07.求： (1)小王在数学考试中取得80分以上(含80分)成绩的概率； (2)小王数学考试及格的概率(60分以上为合格，包含60分)． 解　设小王的成绩在90分以上(含90分)、在80～89分、在60分以下(不含60分)分别为事件A，B，C，且A，B，C两两互斥． (1)设小王的成绩在80分以上(含80分)为事件D，则D＝A∪B， 所以P(D)＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.18＋0.51＝0.69. (2)设小王数学考试及格为事件E，由于事件E与事件C为对立事件，所以P(E)＝1－P(C)＝1－0.07＝0.93. 16．成都市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱．为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了成都市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾，数据统计如表所示(单位：吨)： “厨余垃圾”箱 “可回收物”箱 “其他垃圾”箱 厨余垃圾 500 50 50 可回收物 30 240 30 其他垃圾 20 20 60 (1)试估计厨余垃圾投放正确的概率； (2)试估计生活垃圾投放错误的概率． 解　(1)厨余垃圾投放正确的概率约为 ＝＝. (2)设生活垃圾投放错误为事件A，则事件表示生活垃圾投放正确． 事件的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与“其他垃圾”箱里其他垃圾量总和除以生活垃圾总量， 即P()＝＝0.8， 所以P(A)＝1－0.8＝0.2. 17．某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得到下面的频数分布表： 最高 气温 [10，15) [15，20) [20，25) [25，30) [30，35) [35，40] 天数 2 16 36 25 7 4 以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率． (1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率； (2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率． 解　(1)当且仅当最高气温低于25时，这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，由表中数据可知，最高气温低于25的频率为＝0.6. 所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6. (2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时， 若最高气温低于20，则Y＝200×6＋(450－200)×2－450×4＝－100； 若最高气温位于区间[20，25)，则Y＝300×6＋(450－300)×2－450×4＝300； 若最高气温不低于25，则Y＝450×(6－4)＝900， 所以利润Y的所有可能值为－100，300，900. 当且仅当最高气温不低于20时Y大于零，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为＝0.8. 因此Y大于零的概率的估计值为0.8. 19 学科网（北京）股份有限公司 $$