第11章 第3讲 二项式定理-【金版教程】2025年高考数学一轮复习创新方案word（新教材，提升版）

金版教程 高考科学复习创新方案 数学(提升版) 第3讲　二项式定理 [课程标准]1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理.2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题． 1．二项式定理 (1)二项式定理：(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)； (2)通项：Tk＋1＝Can－kbk，它表示第k＋1项； (3)二项式系数：二项展开式中各项的系数C，C，…，C. 2．二项式系数的性质 1．注意(a＋b)n与(b＋a)n虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不同的，一定要注意顺序问题． 2．解题时，要注意区别二项式系数和项的系数的不同、项数和项的不同． 3．(1＋x)n＝C＋Cx＋…＋Cxk＋…＋Cxn. 1．(人教A选择性必修第三册6.3.1练习T4改编)(x－y)n的二项展开式中，第m项的系数是(　　) A．C B．C C．C D．(－1)m－1C 答案　D 解析　(x－y)n的展开式中，第m项为Tm＝Cxn－m＋1·(－y)m－1＝(－1)m－1·Cxn－m＋1ym－1.所以第m项的系数为(－1)m－1C.故选D. 2．(人教A选择性必修第三册习题6.3 T5(3)改编)的展开式的中间项为(　　) A．－40 B．－40x2 C．40 D．40x2 答案　B 解析　的展开式的中间项为C(2x)3·＝－40x2.故选B. 3．(多选)已知(a＋b)n的展开式中第5项的二项式系数最大，则n的值可以为(　　) A．7 B．8 C．9 D．10 答案　ABC 解析　∵(a＋b)n的展开式中第5项的二项式系数C最大，∴n＝7或n＝8或n＝9. 4．若(2x－1)4＝a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则a0＋a2＋a4＝(　　) A．40 B．41 C．－40 D．－41 答案　B 解析　令x＝1，则a4＋a3＋a2＋a1＋a0＝1，令x＝－1，则a4－a3＋a2－a1＋a0＝(－3)4＝81，故a4＋a2＋a0＝＝41.故选B. 5．(人教B选择性必修第二册P36复习题A组T12改编)设(5x－)n的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，M－N＝240，则展开式中x3的系数为________． 答案　150 解析　由题意可得N＝2n，令x＝1，则M＝(5－1)n＝4n＝(2n)2.∴(2n)2－2n＝240，2n＝16，n＝4.展开式中第k＋1项Tk＋1＝C·(5x)4－k(－)k＝(－1)kC54－k·x4－.令4－＝3，得k＝2，∴展开式中x3的系数为(－1)2×C×52＝150. 考向一　求展开式中的特定项或特定项系数 例1　(1)(2023·滨州期末)在的展开式中，第4项为(　　) A．160 B．－160 C．160x3 D．－160x3 答案　D 解析　在的展开式中，第4项为T4＝C(x2)3＝(－2)3Cx3＝－160x3.故选D. (2)(2022·新高考Ⅰ卷)(x＋y)8的展开式中x2y6的系数为________(用数字作答)． 答案　－28 解析　展开式中含有x2y6的项为1·Cx2y6－·Cx3y5＝－28x2y6. (3)(2023·福建名校联盟模拟)的展开式中的常数项为________(用数字作答)． 答案　49 解析　＝·的展开式中得到常数项的方法分类如下： ①4个因式中都不取x，也都不取，全取－1，相乘得到常数项，常数项为C(－1)4＝1； ②4个因式中有1个取x，再有1个取，其余因式取－1，相乘得到常数项，常数项为CxC(－1)2＝24； ③4个因式中有2个取x，再有2个取，相乘得到常数项，常数项为Cx2C＝24. 合并同类项，所以展开式中的常数项为1＋24＋24＝49. 1．求二项展开式中特定项或项的系数问题的思路 (1)利用通项公式将Tk＋1项写出并化简． (2)令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出k. (3)代回通项公式得所求． 2．对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏． 　1.(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)9的展开式中x2的系数是(　　) A．60 B．80 C．84 D．120 答案　D 解析　(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)9的展开式中x2的系数是C＋C＋C＋…＋C，因为C＋C＝C且C＝C，所以C＋C＝C＋C＝C，所以C＋C＋C＝C＋C＝C，以此类推，C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＝C＝＝120.故选D. 2．二项式(1－2x)4的展开式中x3项的系数是－70，则实数a的值为(　　) A．－2 B．2 C．－4 D．4 答案　D 解析　因为(1－2x)4＝2×(1－2x)4－×(1－2x)4，(1－2x)4的展开式的通项为Tk＋1＝C(－2x)k＝(－2)kCxk，k＝0，1，2，3，4，所以2×(1－2x)4的展开式中x3项的系数是2×(－2)3C＝－64，×(1－2x)4的展开式中x3项的系数是×(－2)2C＝，所以－64－＝－70，解得a＝4. 3．在二项式(＋x)9的展开式中，常数项是________，系数为有理数的项的个数是________． 答案　16　5 解析　二项展开式的通项为Tk＋1＝C()9－kxk，k∈N，0≤k≤9，当为常数项时，k＝0，T1＝C()9x0＝()9＝16.当项的系数为有理数时，9－k为偶数，可得k＝1，3，5，7，9，即系数为有理数的项的个数是5. 多角度探究突破 考向二　二项式系数与各项的系数问题 角度二项展开式中系数的和 例2　(1)(2023·重庆模拟)已知的展开式中第3项与第9项的二项式系数相等，则所有项的系数之和为(　　) A．212 B．312 C．310 D．210 答案　C 解析　因为的展开式中第3项与第9项的二项式系数相等，所以C＝C，解得n＝10，取x＝1，可得所有项的系数之和为310.故选C. (2)(多选)(2023·福建莆田模拟)已知(3x－2)2023＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2023x2023，则(　　) A．a0＝22023 B．a0＋a1＋a2＋…＋a2023＝1 C．a1＋a3＋a5＋…＋a2023＝ D．a0＋＋＋＋…＋＝－1 答案　BCD 解析　令x＝0，可得a0＝(－2)2023＝－22023，故A错误；令x＝1，可得a0＋a1＋a2＋…＋a2023＝12023＝1，故B正确；令x＝－1，可得a0－a1＋a2－a3＋…＋a2022－a2023＝(－5)2023＝－52023，结合B项分析，两式作差，可得2(a1＋a3＋a5＋…＋a2023)＝52023＋1，即a1＋a3＋a5＋…＋a2023＝，故C正确；令x＝，可得a0＋＋＋＋…＋＝(－1)2023＝－1，故D正确．故选BCD. 赋值法的应用 (1)对形如(ax＋b)n(a，b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1. (2)对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，只需令x＝y＝1. (3)一般地，对于多项式(a＋bx)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，令g(x)＝(a＋bx)n，则(a＋bx)n的展开式中各项的系数和为g(1)，(a＋bx)n的展开式中奇数项的系数和为[g(1)＋g(－1)]，(a＋bx)n的展开式中偶数项的系数和为[g(1)－g(－1)]． 　1.(多选)(2024·山东济南模拟)已知(x－1)(x＋2)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，则(　　) A．a0＝－64 B．a1＝63 C．a0＋a1＋…＋a7＝0 D．a1＋a3＋a5＋a7＝1 答案　ACD 解析　对于A，令x＝0，得到a0＝－1×26＝－64，故A正确；对于B，(x＋2)6的通项为Tk＋1＝C·x6－k·2k，令k＝5，得到T6＝C·x·25＝192x，令k＝6，得到T7＝C×26＝64，所以a1＝64－192＝－128，故B错误；对于C，令x＝1，得到a0＋a1＋…＋a7＝0，故C正确；对于D，令x＝－1，则a0－a1＋…－a7＝－2，又因为a0＋a1＋…＋a7＝0，两式相减，得－2(a1＋a3＋a5＋a7)＝－2，则a1＋a3＋a5＋a7＝1，故D正确．故选ACD. 2．在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为32∶1，则x2的系数为________． 答案　90 解析　令x＝1，则＝4n，所以的展开式中，各项系数和为4n，又二项式系数和为2n，所以＝2n＝32，解得n＝5.二项展开式的通项为Tk＋1＝Cx5－k＝3kCx5－k，令5－k＝2，得k＝2，所以x2的系数为32C＝90. 角度二项式系数的最值问题 例3　(1)设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a＝7b，则m＝(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 答案　B 解析　由题意，得a＝C，b＝C，则13C＝7C，∴＝， ∴＝13，解得m＝6.经检验m＝6为原方程的解．故选B. (2)(2023·杭州模拟)二项式(n∈N*)的展开式中只有第7项的二项式系数最大，若展开式的有理项中第m项的系数最大，则m＝(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 答案　A 解析　由已知可得，n＝12.根据二项式定理，知展开式的通项为Tk＋1＝C(2x)12－k＝C212－kx12－k，显然当k是偶数时，该项为有理项，当k＝0时，T1＝C212x12＝4096x12；当k＝2时，T3＝C210x9＝67584x9；当k＝4时，T5＝C28x6＝126720x6；当k＝6时，T7＝C26x3＝59136x3；当k＝8时，T9＝C24＝7920；当k＝10时，T11＝C22x－3＝264x－3；当k＝12时，T13＝C20x－6＝x－6.经比较可得，当k＝4，即m＝5时系数最大，即展开式的有理项中第5项的系数最大．故选A. 求二项式系数最大的项 (1)如果n是偶数，那么中间一项的二项式系数最大． (2)如果n是奇数，那么中间两项的二项式系数相等并最大． 　1.(多选)在(1＋2x)8的展开式中，下列说法正确的是(　　) A．二项式系数最大的项为1120x4 B．常数项为2 C．第6项与第7项的系数相等 D．含x3的项的系数为480 答案　AC 解析　因为n＝8，所以二项式系数最大的项为T5，T5＝C(2x)4＝1120x4，A正确；(1＋2x)8展开式的通项为Tk＋1＝C(2x)k＝2kCxk，令k＝0，得常数项为1，B错误；第6项为T6＝25Cx5＝1792x5，第7项为T7＝26Cx6＝1792x6，第6项与第7项的系数相等，C正确；含x3的项为T4＝C(2x)3＝448x3，其系数为448，D错误．故选AC. 2．(2023·绍兴期末)若的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则其展开式中的常数项为________． 答案　7 解析　由题意，得n＝8，所以展开式的通项为Tk＋1＝C·()8－k·＝C··x，令＝0，得k＝2，故常数项为C·＝7. 角度项的系数的最值问题 例4　(1)若(1＋2x)6的展开式中第2项大于它的相邻两项，则x的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　∵∴即<x<.故选A. (2)已知(1＋x)n的展开式中，唯有x3的系数最大，则(1＋x)n的系数和为________． 答案　64 解析　由题意可知 ∴ ∴5<n<7.又n∈N*，∴n＝6.令x＝1，得(1＋x)6的系数和为26＝64. 求展开式中系数最大的项 如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式中系数最大的项，一般采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A1，A2，…，An＋1，且第k项系数最大，应用从而解出k来． 　已知(＋x2)2n的展开式的二项式系数和比(3x－1)n的展开式的二项式系数和大992，则在的展开式中，二项式系数最大的项为________，系数的绝对值最大的项为________． 答案　－8064　－15360x4 解析　由题意知，22n－2n＝992，即(2n－32)(2n＋31)＝0，故2n＝32，解得n＝5.由二项式系数的性质知，的展开式中第6项的二项式系数最大，故二项式系数最大的项为T6＝C(2x)5·＝－8064.设第k＋1项的系数的绝对值最大，则Tk＋1＝C·(2x)10－k·＝(－1)kC·210－k·x10－2k， 令 得即解得≤k≤，因为k∈Z，所以k＝3.故系数的绝对值最大的项是第4项，T4＝－C·27·x4＝－15360x4.故二项式系数最大的项为－8064，系数的绝对值最大的项为－15360x4. 考向三　二项式定理的应用 例5　(1)设a∈Z，且0≤a<13，若512022＋a能被13整除，则a＝(　　) A．0 B．1 C．11 D．12 答案　D 解析　由于51＝52－1，(52－1)2022＝C522022－C522021＋…－C521＋1，又13能整除52，所以只需13能整除1＋a，又0≤a<13，a∈Z，所以a＝12. (2)1.028的近似值是________(精确到小数点后三位)． 答案　1.172 解析　1.028＝(1＋0.02)8≈C＋C×0.02＋C×0.022＋C×0.023≈1.172. 二项式定理应用的题型及解法 (1)在解决整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除式(数)展开后的每一项都含有除式的因式． (2)利用二项式定理近似运算时，首先将幂的底数写成两项和或差的形式，然后确定展开式中的保留项，使其满足近似计算的精确度． 　1－90C＋902C－903C＋…＋(－1)k90kC＋…＋9010C除以88的余数是(　　) A．－1 B．1 C．－87 D．87 答案　B 解析　1－90C＋902C－903C＋…＋(－1)k90kC＋…＋9010C＝(1－90)10＝8910＝(88＋1)10＝8810＋C×889＋…＋C×88＋1.∵前10项均能被88整除，∴余数是1.故选B. 课时作业 一、单项选择题 1．(2024·吉林模拟)(3＋2x)n的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则n的值为(　　) A．8 B．7 C．6 D．5 答案　C 解析　因为只有一项二项式系数最大，所以n为偶数，故＋1＝4，得n＝6.故选C. 2．(2024·临沂开学考试)已知n∈N*，(1＋2x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，若4a1＋a2＝80，则该展开式各项的二项式系数和为(　　) A．81 B．64 C．27 D．32 答案　D 解析　∵a1＝C·2＝2n，a2＝C·22＝4C，∴4×2n＋4C＝80，解得n＝5，∴该展开式各项的二项式系数和为25＝32.故选D. 3．(2023·北京高考)的展开式中x的系数为(　　) A．－80 B．－40 C．40 D．80 答案　D 解析　的展开式的通项为Tr＋1＝C(2x)5－r＝(－1)r25－rCx5－2r，令5－2r＝1，得r＝2，所以的展开式中x的系数为(－1)2×25－2×C＝80.故选D. 4．(2024·河北秦皇岛开学考试)若(3x－5)7＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a7(x－1)7，则 A.257 B.129 C.－65 D.－33, 答案　B 解析　令x＝2，则（3×2－5）7＝a0＋a1＋a2＋…＋a7＝1，令x＝1，则（3×1－5）7＝a0，即a0＝－27，所以＝1－(－27)＝129.故选B. 5．(2024·佛山开学考试)在(x＋1)(x－2)(x＋3)(x－4)(x＋5)的展开式中，含x3的项的系数是(　　) A．－23 B．－3 C．3 D．15 答案　A 解析　由组合知识可知，含x3的项，需要从5个因式中，3个因式选择x，2个因式选择常数，则含x3的项的系数是(－4)×5＋3×5＋3×(－4)＋(－2)×5＋(－2)×3＋(－2)×(－4)＋1×5＋1×(－4)＋1×3＋1×(－2)＝－23.故选A. 6．(2023·唐山模拟)已知(ax＋1)(2x－1)6的展开式中x5的系数为48，则实数a＝(　　) A．1 B．－1 C．2 D．－2 答案　A 解析　二项式(2x－1)6的展开式的通项为Tk＋1＝C(2x)6－k·(－1)k＝C·26－k·(－1)k·x6－k，则(ax＋1)(2x－1)6的展开式中，x5的系数为aC×24×(－1)2＋1×C×25×(－1)＝15×16a－32×6＝48，解得a＝1.故选A. 7．(2023·佛山模拟)若7n＋C7n－1＋…＋C7＋C是9的倍数，则自然数n为(　　) A．4的倍数 B．3的倍数 C．奇数 D．偶数 答案　C 解析　因为7n＋C7n－1＋…＋C7＋C＝(7n＋1＋C7n＋…＋C72＋C7＋C)－＝(7＋1)n＋1－＝(8n＋1－1)＝[9n＋1－C9n＋…＋(－1)nC9＋(－1)n＋1－1]，又7n＋C7n－1＋…＋C7＋C是9的倍数，∴n＋1为偶数，即n为奇数．故选C. 8．(2023·襄阳模拟)已知(1＋3x)n的展开式中前3项的二项式系数和为79，则展开式中系数最大的项为(　　) A．第7项 B．第8项 C．第9项 D．第10项 答案　D 解析　(1＋3x)n的展开式中前3项的二项式系数和为C＋C＋C＝1＋n＋＝79，整理可得n2＋n－156＝0，∵n≥2且n∈N*，解得n＝12，(1＋3x)12的展开式的通项为Tk＋1＝C·(3x)k＝C3kxk(k＝0，1，2，…，12)，设展开式中第r＋1项的系数最大，则 即 解得≤r≤，因为r∈N，故r＝9，因此，展开式中系数最大的项为第10项．故选D. 二、多项选择题 9．(2023·衡水模拟)在二项式的展开式中(　　) A．常数项是第4项 B．所有项的系数和为1 C．第5项的二项式系数最大 D．第4项的系数最小 答案　BCD 解析　二项式的展开式的通项为Tk＋1＝C(2)8－k＝(－1)k28－k·Cx4－k.对于A，令4－k＝0，得k＝4，故常数项是第5项，故A错误；对于B，令x＝1，则所有项的系数和是(2－1)8＝1，故B正确；对于C，二项式展开式共9项，则由二项式系数的性质知第5项的二项式系数最大，故C正确；对于D，设第k＋1项的系数的绝对值最大，则解得2≤k≤3，又k∈Z，所以k＝2或k＝3，当k＝2时，T3＝1792x2；当k＝3时，T4＝－1792x，所以第4项的系数最小，故D正确．故选BCD. 10．(2024·镇江模拟)下列说法正确的是(　　) A．若(2x－1)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则|a1|＋|a2|＋…＋|a10|＝310－1 B．1.0510精确到0.1的近似数为1.6 C．5555被8除的余数为1 D．C29＋C28＋…＋C＝39 答案　ABD 解析　对于A，(2x－1)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，令x＝0，则a0＝1，a1，a3，a5，a7，a9为负数，a2，a4，a6，a8，a10为正数，令x＝－1，则310＝a0－a1＋a2＋…－a9＋a10，故|a1|＋|a2|＋…＋|a10|＝－a1＋a2＋…－a9＋a10＝310－1，A正确；对于B，1.0510＝(1＋0.05)10＝C×0.050＋C×0.051＋C×0.052＋…＋C×0.0510＝1＋0.5＋0.1125＋…＝1.5＋0.1125＋…，故1.0510精确到0.1的近似数为1.6，B正确；对于C，5555＝(56－1)55＝C×5655－C×5654＋C×5653－…＋C×561－C×560，由此可得5555被8除的余数为8－1＝7，C错误；对于D，C29＋C28＋…＋C＝(2＋1)9＝39，D正确．故选ABD. 11．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，以下关于杨辉三角的猜想中正确的是(　　) A．由“与首末两端‘等距离’的两个二项式系数相等”猜想：C＝C B．由“在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它‘肩上’两个数的和”猜想：C＝C＋C C．由“第n行所有数之和为2n”猜想：C＋C＋C＋…＋C＝2n D．由“111＝11，112＝121，113＝1331”猜想：115＝15101051 答案　ABC 解析　由杨辉三角的性质以及二项式定理可知A，B，C正确；115＝(10＋1)5＝C×105＋C×104＋C×103＋C×102＋C×101＋C＝161051，故D错误．故选ABC. 三、填空题 12．已知多项式(x＋2)(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则a2＝______，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝________． 答案　8　－2 解析　含x2的项为x·C·x·(－1)3＋2·C·x2·(－1)2＝－4x2＋12x2＝8x2，故a2＝8.令x＝0，即2＝a0，令x＝1，即0＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5，∴a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－2. 13.的展开式中x2的系数是________(用数字作答)． 答案　15 解析　解法一：因为＝，所以Tk＋1＝Cx6－k＝C(－1)k·x6－2k，令6－2k＝2，解得k＝2，所以展开式中x2的系数是C(－1)2＝15. 解法二：因为＝·，所以展开式中要得到含x2的项，只需分两类：第一类：从3个括号里选1个括号出x2，其余括号都出常数项－2，即Cx2(－2)2＝12x2；第二类：从3个括号里选2个括号出x2，余下的那个括号出，即C(x2)2·＝Cx2＝3x2.故展开式中含x2的项是12x2＋3x2＝15x2，其系数为15. 14．(2023·揭阳模拟)设a＝C＋C7＋C72＋…＋C719，则a除以9所得的余数为________． 答案　8 解析　因为a＝C＋C7＋C72＋…＋C719，所以a＝(1＋7)19＝(9－1)19＝C919＋C918(－1)＋…＋C91(－1)18＋C(－1)19＝9[C918＋C917(－1)＋…＋C(－1)18]－1＝9[C918＋C917(－1)＋…＋C(－1)18－1]＋8，所以a除以9所得的余数为8. 四、解答题 15．在①只有第8项的二项式系数最大；②奇数项二项式系数之和为47；③各项系数之和为414这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答． 设二项式，若其展开式中，________，是否存在整数k，使得Tk是展开式中的常数项？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 解　若选条件①，即只有第8项的二项式系数最大，则n＝14； 若选条件③，即各项系数之和为414，则4n＝414，即n＝14. 二项式展开式的通项为Tk＝C()15－k＝3k－1Cx. 由21－7k＝0，得k＝3. 即存在整数k＝3，使得Tk是展开式中的常数项． 若选条件②，即奇数项二项式系数之和为47，则2n－1＝47＝214，所以n＝15. 二项式展开式的通项为Tk＝C()16－k＝3k－1Cx. 由22－7k＝0，得k＝∉Z，即不存在整数k，使得Tk是展开式中的常数项． 16．已知m，n是正整数，f(x)＝(1＋x)m＋(1＋x)n的展开式中x的系数为7. (1)对于使f(x)中的x2的系数最小的m，n，求出此时x3的系数； (2)利用上述结果，求f(0.003)的近似值(精确到0.01)． 解　(1)根据题意得C＋C＝7，即m＋n＝7，① f(x)中的x2的系数为C＋C＝＋＝. 将①变形为n＝7－m，代入上式得x2的系数为m2－7m＋21＝＋， 故当m＝3或m＝4时，x2的系数的最小值为9. 当m＝3，n＝4时，x3的系数为C＋C＝5； 当m＝4，n＝3时，x3的系数为C＋C＝5. (2)f(0.003)＝(1＋0.003)4＋(1＋0.003)3≈C＋C×0.003＋C＋C×0.003≈2.02. 18 学科网（北京）股份有限公司 $$