第5章 素能培优(五) 三角函数中有关ω 的范围问题-【金版教程】2025年高考数学一轮复习创新方案word（新教材，提升版）

金版教程 高考科学复习创新方案 数学(提升版) 考情分析：在三角函数的图象与性质中，ω的求解是近几年新高考全国卷的一个热点内容，通常会与三角函数的图象和性质综合考查，出现在选填题中． 考点 难度 2023 Ⅰ卷T15 知零点个数求ω的取值范围 中 Ⅱ卷T16 知图象求ω，进而求函数值 难 2022 Ⅰ卷T6 知周期对称性求ω，进而求函数值 中 考向一　三角函数的单调性与ω的关系 例1　(2023·广东七校联考)已知函数f(x)＝sin(ωx＋2φ)－2sinφcos(ωx＋φ)(ω>0，φ∈R)在上单调递增，则ω的取值范围是(　　) A. B. C. D.∪ 答案　D 解析　根据正弦和角与差角公式化简函数式可得f(x)＝sin(ωx＋2φ)－2sinφcos(ωx＋φ)＝sin[(ωx＋φ)＋φ]－2sinφcos(ωx＋φ)＝sin(ωx＋φ)cosφ＋cos(ωx＋φ)sinφ－2sinφcos(ωx＋φ)＝sin(ωx＋φ)cosφ－cos(ωx＋φ)sinφ＝sin(ωx＋φ－φ)＝sinωx(ω>0，φ∈R)．由－＋2kπ≤ωx≤＋2kπ(k∈Z)，得－＋≤x≤＋，k∈Z，∴函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．由f(x)在上单调递增，可得解得(k∈Z)．又ω>0，当k＝0时，可得0<ω≤；当k＝1时，可得≤ω≤.故选D. 根据函数的单调性求ω (1)基本策略 确定函数的单调区间，根据区间之间的包含关系，建立不等式，即可求ω的取值范围． (2)常用结论 已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ))的单调区间为(a，b)，则|a－b|≤(T为最小正周期)． 　已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，x＝－是函数f(x)的一个零点，直线x＝是函数f(x)图象的一条对称轴，若f(x)在区间上单调，则ω的最大值是(　　) A．14 B．16 C．18 D．20 答案　A 解析　设函数f(x)的最小正周期为T，因为x＝－是函数f(x)的一个零点，直线x＝是函数f(x)图象的一条对称轴，则T＝－＝，其中n∈N，所以T＝＝，所以ω＝4n＋2，因为函数f(x)在区间上单调，则－≤＝，所以ω≤20.所以ω的可能取值为2，6，10，14，18. ①当ω＝18时，f(x)＝sin(18x＋φ)，f＝sin＝0，所以φ－＝kπ(k∈Z)，则φ＝kπ＋(k∈Z)，因为－≤φ≤，所以φ＝，所以f(x)＝sin，当<x<时，4π－＝<18x＋<＝4π＋，所以函数f(x)在上不单调，不符合题意； ②当ω＝14时，f(x)＝sin(14x＋φ)，f＝sin＝0，所以φ－＝kπ(k∈Z)，则φ＝kπ＋(k∈Z)，因为－≤φ≤，所以φ＝－，所以f(x)＝sin，当<x<时，2π＋＝<14x－<＝2π＋，所以函数f(x)在上单调递减，符合题意．因此ω的最大值为14.故选A. 考向二　三角函数的对称性与ω的关系 例2　(2024·福州模拟)若定义在R上的函数f(x)＝sinωx＋cosωx(ω>0)的图象在区间[0，π]上恰有5条对称轴，则ω的取值范围为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　由已知，f(x)＝sin，令ωx＋＝kπ＋，k∈Z，得x＝，k∈Z，依题意知，有5个整数k满足0≤≤π，即0≤4k＋1≤4ω，所以k＝0，1，2，3，4，则4×4＋1≤4ω<4×5＋1，故≤ω<.故选A. 利用函数的对称性求ω 三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为，相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为，这就说明，我们可根据三角函数的对称性来研究其周期性，解决问题的关键在于运用整体代换的思想，建立关于ω的不等式组，进而可以研究ω的取值范围． 　已知函数f(x)＝cos(ω>0)的一条对称轴为直线x＝，一个对称中心为点，则ω有(　　) A．最小值2 B．最大值2 C．最小值1 D．最大值1 答案　A 解析　∵函数的对称中心到对称轴的最短距离是，∴对称中心到对称轴x＝的距离用周期可表示为－≥，又T＝，∴≤，∴ω≥2，当ω＝2时，f(x)＝cos满足题意，∴ω有最小值2. 考向三　三角函数的最值(极值)与ω的关系 例3　(2023·青岛模拟)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，其中ω>0，|φ|≤，－为f(x)的零点，且f(x)≤恒成立，f(x)在区间上有最小值，无最大值，则ω的最大值是(　　) A．11 B．13 C．15 D．17 答案　C 解析　由题意，直线x＝是f(x)图象的一条对称轴，所以f＝±1，即ω＋φ＝k1π＋，k1∈Z　①，又f＝0，所以－ω＋φ＝k2π，k2∈Z　②，由①②，得ω＝2(k1－k2)＋1，k1，k2∈Z，又f(x)在区间上有最小值无最大值，所以T≥－＝，即≥，解得ω≤16.综上，先检验ω＝15，当ω＝15时，由①得×15＋φ＝k1π＋，k1∈Z，即φ＝k1π－，k1∈Z，又|φ|≤，所以φ＝－，此时f(x)＝sin，当x∈时，15x－∈，当15x－＝－，即x＝－时，f(x)取得最小值，无最大值，满足题意．故ω的最大值为15. 根据函数的最值求ω 利用三角函数的最值与对称轴或周期的关系，可以列出关于ω的不等式(组)，进而求出ω的值或取值范围． 　(2024·南通模拟)已知函数f(x)＝sinωx＋cos(ω>0)在[0，π]上的值域为，则ω的取值范围为________． 答案　 解析　依题意，f(x)＝sinωx－cosωx＝sin，由x∈[0，π]，ω>0，得－≤ωx－≤πω－，函数y＝sinx在上单调递增，函数值的集合为，在上单调递减，函数值的集合为，因为函数f(x)在[0，π]上的值域为，则≤πω－≤，解得≤ω≤，所以ω的取值范围为. 考向四　三角函数的零点与ω的关系 例4　(2023·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)＝cosωx－1(ω>0)在区间[0，2π]有且仅有3个零点，则ω的取值范围是________． 答案　[2，3) 解析　因为0≤x≤2π，所以0≤ωx≤2ωπ，令f(x)＝cosωx－1＝0，则cosωx＝1有3个根，令t＝ωx，则cost＝1有3个根，其中t∈[0，2ωπ]，结合余弦函数y＝cost的图象性质可得4π≤2ωπ<6π，故2≤ω<3. 利用函数零点求ω 三角函数相邻两个零点之间的“水平间隔”为，根据三角函数的零点个数，可以研究ω的取值． 　(2022·全国甲卷)设函数f(x)＝sin在区间(0，π)恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　依题意可得ω＞0，因为x∈(0，π)，所以ωx＋∈，要使函数在区间(0，π)恰有三个极值点、两个零点，又y＝sinx，x∈的图象如图所示．则＜ωπ＋≤3π，解得＜ω≤，即ω的取值范围是.故选C. 6 学科网（北京）股份有限公司 $$