第4章 第1讲 导数的概念及运算-【金版教程】2025年高考数学一轮复习创新方案word（新教材，提升版）

金版教程 高考科学复习创新方案 数学(提升版) 第1讲　导数的概念及运算 [课程标准]1.通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道导数是瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想，体会极限思想.2.通过函数图象直观理解导数的几何意义.3.能根据导数定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的导数.4.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数；能求简单的复合函数(限于形如f(ax＋b))的导数.5.会使用导数公式表． 1．导数的概念 (1)平均变化率：对于函数y＝f(x)，把比值＝叫做函数y＝f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率． (2)瞬时变化率：如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝＝. (3)当x变化时，y＝f′(x)就是x的函数，称它为y＝f(x)的导函数(简称导数)，即y′＝f′(x)＝. 2．导数的几何意义 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，即曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k0＝f′(x0)，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 3．基本初等函数的导数公式 (1)c′＝0(c为常数)． (2)(xα)′＝αxα－1(α∈R，且α≠0)． (3)(sinx)′＝cosx． (4)(cosx)′＝－sinx． (5)(ax)′＝axln a(a＞0，且a≠1)． (6)(ex)′＝ex． (7)(logax)′＝(a＞0，且a≠1)． (8)(ln x)′＝． 4．导数的运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)． (2)[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)． 特别地：[cf(x)]′＝cf′(x)(c为常数)． (3)′＝(g(x)≠0)． 5．复合函数的导数 一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． 1．可导奇函数的导数是偶函数，可导偶函数的导数是奇函数，可导周期函数的导数还是周期函数． 2．两类切线问题的区别 (1)“过”与“在”：曲线y＝f(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”的区别：前者P(x0，y0)为切点，而后者P(x0，y0)不一定为切点． (2)“切点”与“公共点”：曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点，而直线与二次曲线相切只有一个公共点． 1．下列求导运算正确的是(　　) A．(sina)′＝cosa(a为常数) B．(log2x)′＝ C．(3x)′＝3xlog3e D．()′＝ 答案　B 解析　由a为常数知(sina)′＝0，A错误；(log2x)′＝，B正确；(3x)′＝3xln 3，C错误；()′＝[(x＋1)]′＝(x＋1)－＝，D错误．故选B. 2．(人教A选择性必修第二册习题5.1 T1改编)某跳水运动员离开跳板后，他达到的高度与时间的函数关系式是h(t)＝10－4.9t2＋8t(距离单位：米，时间单位：秒)，则他在0.5秒时的瞬时速度为(　　) A．9.1米/秒 B．6.75米/秒 C．3.1米/秒 D．2.75米/秒 答案　C 解析　因为h′(t)＝－9.8t＋8，所以h′(0.5)＝－9.8×0.5＋8＝3.1，所以此运动员在0.5秒时的瞬时速度为3.1米/秒． 3．(人教A选择性必修第二册习题5.2 T2改编)已知函数f(x)＝ln (3－2x)＋cos2x，则f′(0)＝________． 答案　－ 解析　因为f′(x)＝－－2sin2x，所以f′(0)＝－. 4．(人教A选择性必修第二册习题5.2 T5改编)曲线y＝在点处的切线方程为________． 答案　y＝－x＋1 解析　因为y′＝＝＝－，所以当x＝时，y′＝－＝－，故所求切线方程为y－0＝－，即y＝－x＋1. 5．已知直线y＝kx是曲线y＝ex的切线，则实数k的值为________． 答案　e 解析　y＝ex的导数为y′＝ex，设切点为P(x0，ex0)，则在点P处的切线方程为y－ex0＝ex0(x－x0)，将点(0，0)代入，得x0＝1，∴P(1，e)，∴k＝e. 考向一　导数的运算 例1　求下列函数的导数： ①y＝tanx；②y＝x； ③y＝； ④y＝xsincos. 解　①y′＝′＝＝. ②因为y＝x3＋＋1，所以y′＝3x2－. ③y′＝′＝[(2x－1)－3]′＝－3(2x－1)－4×2＝－6(2x－1)－4. ④因为y＝xsincos＝xsin(4x＋π)＝－xsin4x，所以y′＝－sin4x－x·4cos4x＝－sin4x－2xcos4x. 　1.(多选)下列求导运算正确的是(　　) A.′＝1＋ B.′＝ C．[(3x＋5)3]′＝3(3x＋5)2 D．(2x＋cosx)′＝2xln 2－sinx 答案　BD 解析　对于A，′＝1－，A不正确；对于B，′＝＝，B正确；对于C，[(3x＋5)3]′＝3(3x＋5)2·3＝9(3x＋5)2，C不正确；对于D，(2x＋cosx)′＝2xln 2－sinx，D正确．故选BD. 2．已知函数f(x)＝e2x＋f′(0)ln (x＋4)，则f′(0)＝________． 答案　 解析　因为f′(x)＝2e2x＋，所以f′(0)＝2＋，解得f′(0)＝. 多角度探究突破 考向二　导数的几何意义 角度　导数与函数图象 例2　(1)(2024·长春模拟)已知函数y＝f(x)的部分图象如图所示，且f′(x)是f(x)的导函数，则(　　) A．f′(－1)＝f′(－2)＜0＜f′(1)＜f′(2) B．f′(2)＜f′(1)＜0＜f′(－1)＝f′(－2) C．0＞f′(2)＞f′(1)＞f′(－1)＝f′(－2) D．f′(2)＜f′(1)＜0＜f′(－2)＜f′(－1) 答案　B 解析　f′(－2)，f′(－1)，f′(1)，f′(2)分别表示曲线y＝f(x)在x＝－2，x＝－1，x＝1，x＝2处切线的斜率，结合图象可知，当x<0时，f′(x)是一个大于0的常数，当x>0时，f′(x)小于0且随着x的增大而减小，所以f′(2)＜f′(1)＜0＜f′(－1)＝f′(－2)．故选B. (2)(2023·济南检测)曲线y＝f(x)在点P(－1，f(－1))处的切线l如图所示，则f′(－1)＋f(－1)＝________． 答案　－2 解析　∵直线l过点(－2，0)和(0，－2)，∴直线l的斜率f′(－1)＝＝－1，直线l的方程为y＝－x－2，则f(－1)＝1－2＝－1.故f′(－1)＋f(－1)＝－1－1＝－2. 导数与函数图象的关系 (1)关系图 (2)结论 函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，y＝f(x)增加(或减少)得越快，图象越“陡峭”；|f′(x)|越小，y＝f(x)增加(或减少)得越慢，图象越“平缓”． 　 1．如图所示为函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是(　　) 答案　D 解析　由导函数图象可知两函数的图象在x0处的切线斜率相等，故选D. 2. (2023·黄冈二模)函数f(x)的图象如图所示，记A＝f′(x1)，B＝f′(x2)，C＝f′(x3)，则A，B，C中最大的是________． 答案　A 解析　作出f(x)在三点处的切线如图，则A＝f′(x1)，B＝f′(x2)，C＝f′(x3)分别为切线l1，l2，l3的斜率，由图可知f′(x1)＞f′(x3)＞f′(x2)，即A＞C＞B. 角度　求切点的坐标 例3　(2024·山东新高考联考)过点(3，0)作曲线f(x)＝xex的两条切线，切点分别为(x1，f(x1))，(x2，f(x2))，则x1＋x2＝(　　) A．－3 B．－ C. D．3 答案　D 解析　因为f(x)＝xex，所以f′(x)＝(x＋1)ex，设切点坐标为(x0，x0ex0)，所以f′(x0)＝(x0＋1)ex0，所以切线方程为y－x0ex0＝(x0＋1)ex0·(x－x0)，所以－x0ex0＝(x0＋1)ex0(3－x0)，即(－x＋3x0＋3)ex0＝0，依题意关于x0的方程(－x＋3x0＋3)ex0＝0有两个不同的解x1，x2，即关于x0的方程－x＋3x0＋3＝0有两个不同的解x1，x2，所以x1＋x2＝3.故选D. 求切点坐标的一般步骤 　若曲线y＝xln x上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标为________． 答案　(e，e) 解析　设点P(x0，y0)，∵y＝xln x，∴y′＝ln x＋x·＝1＋ln x．∴曲线y＝xln x在点P处的切线斜率k＝1＋ln x0.又k＝2，∴1＋ln x0＝2，∴x0＝e，y0＝eln e＝e，∴点P的坐标为(e，e)． 角度　求切线的方程 例4　(1)(2023·全国甲卷)曲线y＝在点处的切线方程为(　　) A．y＝x B．y＝x C．y＝x＋ D．y＝x＋ 答案　C 解析　设曲线y＝在点处的切线方程为y－＝k(x－1)，因为y＝，所以y′＝＝，所以k＝y′|x＝1＝，所以y－＝(x－1)，所以曲线y＝在点处的切线方程为y＝x＋.故选C. (2)(2022·新高考Ⅱ卷)曲线y＝ln |x|过坐标原点的两条切线的方程为________，________． 答案　y＝x　y＝－x 解析　当x＞0时，y＝ln x，设切点为(x0，ln x0)，由y′＝，所以y′|x＝x0＝，所以切线方程为y－ln x0＝(x－x0)，又切线过坐标原点，所以－ln x0＝(－x0)，解得x0＝e，所以切线方程为y－1＝(x－e)，即y＝x；当x＜0时，y＝ln (－x)，设切点为(x1，ln (－x1))，由y′＝，所以y′|x＝x1＝，所以切线方程为y－ln (－x1)＝(x－x1)，又切线过坐标原点，所以－ln (－x1)＝(－x1)，解得x1＝－e，所以切线方程为y－1＝(x＋e)，即y＝－x. 求曲线的切线方程的方法 (1)当点P(x0，y0)是切点时，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)． (2)当点P(x0，y0)不是切点时，解题步骤如下： 提醒：“在点P处的切线”一定是以点P为切点；“过点P的切线”，不论点P在不在曲线上，点P不一定是切点． 　1.(2023·宜昌四模)函数y＝f(x)＝sin2x＋cosx的图象在点(0，1)处的切线方程为________． 答案　2x－y＋1＝0 解析　f′(x)＝2cos2x－sinx，故f′(0)＝2，故在点(0，1)处的切线方程为y－1＝2(x－0)，化简得2x－y＋1＝0. 2．(2024·绍兴模拟)过点作曲线y＝x3的切线，写出一条切线方程：________________． 答案　y＝0或y＝3x＋2(写出一条即可) 解析　由y＝x3可得y′＝3x2，设过点作曲线y＝x3的切线的切点为(x0，y0)，则y0＝x，则该切线方程为y－y0＝3x(x－x0)，将代入得－x＝3x，解得x0＝0或x0＝－1，故切点坐标为(0，0)或(－1，－1)，故切线方程为y＝0或y＝3x＋2. 角度　求参数的值或取值范围 例5　(1)(2023·山东部分重点中学联考)设点P是曲线y＝x3－x＋上的任意一点，则曲线在点P处切线的倾斜角α的取值范围为(　　) A.∪ B. C.∪ D. 答案　C 解析　因为y′＝3x2－≥－，故切线的斜率k≥－，所以切线的倾斜角α的取值范围为∪.故选C. (2)(2022·新高考Ⅰ卷)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________． 答案　(－∞，－4)∪(0，＋∞) 解析　因为y＝(x＋a)ex，所以y′＝(x＋a＋1)ex.设切点为A(x0，(x0＋a)ex0)，O为坐标原点，依题意得，切线斜率kOA＝(x0＋a＋1)ex0＝，化简，得x＋ax0－a＝0.因为曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，所以关于x0的方程x＋ax0－a＝0有两个不同的实数根，所以Δ＝a2＋4a＞0，解得a＜－4或a＞0，所以a的取值范围是(－∞，－4)∪(0，＋∞)． 处理与切线有关的参数问题的策略 (1)依据：曲线、切线、切点的三个关系 ①切点处的导数是切线的斜率； ②切点坐标满足切线方程； ③切点坐标满足曲线方程． (2)方法：列出关于参数的方程(组)或不等式(组)并解出参数． 提醒：注意曲线上点的横坐标的取值范围． 　(2024·襄阳模拟)已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)－kx＝0有两个不同的实数根，则k的取值范围为(　　) A．(－∞，－2)∪(0，1) B．(－∞，－1)∪(0，1) C．(－∞，0)∪(0，1) D．(－∞，0)∪(0，＋∞) 答案　A 解析　对函数y＝e－2x－1求导得y′＝－2e－2x，对函数y＝ln (x＋1)求导得y′＝，作出函数f(x)的图象如图所示，当直线y＝kx与曲线y＝ln (x＋1)相切于原点时，k＝＝1，当直线y＝kx与曲线y＝e－2x－1相切于原点时，k＝－2，结合图象可知，当k＜－2或0＜k＜1时，直线y＝kx与函数f(x)的图象有两个交点．故选A. 角度　两曲线的公切线问题 例6　(2022·全国甲卷)已知函数f(x)＝x3－x，g(x)＝x2＋a，曲线y＝f(x)在点(x1，f(x1))处的切线也是曲线y＝g(x)的切线． (1)若x1＝－1，求a； (2)求a的取值范围． 解　(1)由题意知，f(－1)＝－1－(－1)＝0，f′(x)＝3x2－1，f′(－1)＝3－1＝2，则曲线y＝f(x)在点(－1，0)处的切线方程为y＝2(x＋1)，即y＝2x＋2. 设该切线与曲线y＝g(x)切于点(x2，g(x2))，g′(x)＝2x，则g′(x2)＝2x2＝2，解得x2＝1，则g(1)＝1＋a＝2＋2，解得a＝3. (2)f′(x)＝3x2－1，则曲线y＝f(x)在点(x1，f(x1))处的切线方程为y－(x－x1)＝(3x－1)(x－x1)，整理得y＝(3x－1)x－2x. 设该切线与曲线y＝g(x)切于点(x2，g(x2))， g′(x)＝2x，则g′(x2)＝2x2， 则切线方程为y－(x＋a)＝2x2(x－x2)，整理得y＝2x2x－x＋a. 则整理得a＝x－2x＝－2x＝x－2x－x＋. 令h(x)＝x4－2x3－x2＋，则h′(x)＝9x3－6x2－3x＝3x(3x＋1)(x－1)， 令h′(x)＝0，得x＝－，0，1，则x变化时，h′(x)，h(x)的变化情况如下表： x － 0 (0，1) 1 (1，＋∞) h′(x) － 0 ＋ 0 － 0 ＋ h(x) 单调递减 单调递增 单调递减 －1 单调递增 由上表知，当x＝－时，h(x)取极小值h＝， 当x＝1时，h(x)取极小值h(1)＝－1， 易知当x→－∞时，h(x)→＋∞，当x→＋∞时，h(x)→＋∞， 所以h(x)的值域为[－1，＋∞)， 故a的取值范围为[－1，＋∞)． 一般地，求C1：y＝f(x)与 C2：y＝g(x)的公切线l的方程有以下三种方法： (1)设切点分别为A(x1，f(x1))，B(x2，g(x2))，公切线l：y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)，y－g(x2)＝g′(x2)(x－x2)， 则 研究方程组解的情况． (2)设切点分别为A(x1，f(x1))，B(x2，g(x2))，公切线l的方程为y＝kx＋b，则 研究方程组解的情况． (3)设切点分别为A(x1，f(x1))，B(x2，g(x2))，f′(x1)＝g′(x2)＝(x1≠x2)．研究方程组解的情况，解的情况对应着公切线的情况．但要注意，求解方程时，一般可转化为研究函数的零点问题． 　(2023·青岛模拟)已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)＝－2x2＋m，g(x)＝－3ln x－x，若以上两函数的图象有公共点，且在公共点处切线相同，则m的值为(　　) A．2 B．5 C．1 D．0 答案　C 解析　根据题意，设两曲线y＝f(x)与y＝g(x)的公共点为(a，b)，其中a>0，由f(x)＝－2x2＋m，可得f′(x)＝－4x，则切线的斜率为k＝f′(a)＝－4a，由g(x)＝－3ln x－x，可得g′(x)＝－－1，则切线的斜率为k＝g′(a)＝－－1，因为两函数的图象有公共点，且在公共点处切线相同，所以－4a＝－－1，解得a＝1或a＝－(舍去)，又g(1)＝－1，即公共点的坐标为(1，－1)，将点(1，－1)代入f(x)＝－2x2＋m，可得m＝1. 课时作业 一、单项选择题 1．(2024·重庆南开中学模拟)若f(x)＝cos2x，则f′＝(　　) A．－1 B．1 C. D. 答案　A 解析　因为f(x)＝cos2x＝，所以f′(x)＝′＝×(－sin2x)×(2x)′＝－sin2x，所以f′＝－sin＝－1. 2．曲线y＝f(x)在x＝1处的切线如图所示，则f′(1)－f(1)＝(　　) A．0 B．2 C．－2 D．－1 答案　C 解析　设曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y＝kx＋b，则解得所以曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y＝x＋2，所以f′(1)＝1，f(1)＝1＋2＝3，因此f′(1)－f(1)＝1－3＝－2.故选C. 3．(2024·潍坊模拟)设f(x)为R上的可导函数，且 ＝－2，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为(　　) A．2 B．－1 C．1 D．－ 答案　C 解析　f′(1)＝＝－ ＝1.故曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为1.故选C. 4．(2024·深圳模拟)已知曲线y＝axex＋ln x在点(1，ae)处的切线方程为y＝3x＋b，则(　　) A．a＝e，b＝－2 B．a＝e，b＝2 C．a＝e－1，b＝－2 D．a＝e－1，b＝2 答案　C 解析　y′＝aex＋axex＋，切线斜率k＝y′|x＝1＝ae＋ae＋1＝2ae＋1＝3，∴ae＝1，∴a＝＝e－1.将(1，1)代入y＝3x＋b得3＋b＝1，∴b＝－2.故选C. 5．(2023·保定模拟)吹气球时，气球的体积V(单位：L)与半径r(单位：dm)之间的关系是V＝πr3.当V＝ L时，气球的瞬时膨胀率(气球半径关于气球体积的瞬时变化率)为(　　) A． dm/L B． dm/L C．3 L/dm D．4π L/dm 答案　A 解析　∵V＝πr3，∴r＝，∴r′＝×－×＝×－，当V＝ L时，r′＝，∴气球的瞬时膨胀率为 dm/L.故选A. 6．(2024·宣城模拟)若曲线y＝aln x＋x2(a>0)的切线的倾斜角的取值范围是，则a＝(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　由题意知，y′＝＋2x≥2，当且仅当x＝时，等号成立．因为曲线的切线的倾斜角的取值范围是，所以斜率k≥，则＝2，解得a＝. 7．(2024·荆门龙泉中学质检)过点P(1，2)作曲线C：y＝的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为(　　) A．2x＋y－8＝0 B．2x＋y－6＝0 C．2x＋y－4＝0 D．x＋2y－5＝0 答案　A 解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由y＝，得y′＝－，∴曲线C在A点处的切线方程为y－y1＝－(x－x1)，把P(1，2)代入切线方程，得2－y1＝－(1－x1)，化简得2x1＋y1－8＝0，同理可得曲线C在B点处的切线方程为2x2＋y2－8＝0，∵A，B都满足直线2x＋y－8＝0，∴直线AB的方程为2x＋y－8＝0.故选A. 8．(2023·成都模拟)已知ln x1－x1－y1＋2＝0，x2＋2y2－4－2ln 2＝0，则的最小值为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　的最小值可转化为函数y＝ln x－x＋2图象上的点与直线x＋2y－4－2ln 2＝0上的点的距离的最小值，由y＝ln x－x＋2，可得y′＝－1，与直线x＋2y－4－2ln 2＝0平行的直线的斜率为－，令－1＝－，得x＝2，所以切点的坐标为(2，ln 2)，切点到直线x＋2y－4－2ln 2＝0的距离d＝＝.故选B. 二、多项选择题 9．(2023·辽宁本溪高级中学期末)若函数y＝f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y＝f(x)具有T性质．下列函数中具有T性质的是(　　) A．y＝cosx B．y＝ln x C．y＝ex D．y＝x2 答案　AD 解析　由题意y＝f(x)具有T性质，则存在x1，x2，使得f′(x1)f′(x2)＝－1.对于A，f′(x)＝－sinx，存在x1＝，x2＝－，使得f′(x1)f′(x2)＝－1；对于B，f′(x)＝＞0，不存在x1，x2，使得f′(x1)f′(x2)＝－1；对于C，f′(x)＝ex＞0，不存在x1，x2，使得f′(x1)f′(x2)＝－1；对于D，f′(x)＝2x，存在x1＝1，x2＝－，使得f′(x1)f′(x2)＝4x1x2＝－1.故选AD. 10．若直线y＝3x＋m是曲线y＝x3(x＞0)与曲线y＝－x2＋nx－6(x＞0)的公切线，则(　　) A．m＝－2 B．m＝－1 C．n＝6 D．n＝7 答案　AD 解析　设直线y＝3x＋m与曲线y＝x3(x＞0)相切于点(a，a3)，对于函数y＝x3(x＞0)，y′＝3x2，则3a2＝3(a＞0)，解得a＝1，所以13＝3＋m，即m＝－2；设直线y＝3x－2与曲线y＝－x2＋nx－6(x＞0)相切于点(b，3b－2)，对于函数y＝－x2＋nx－6(x＞0)，y′＝－2x＋n，则－2b＋n＝3(b＞0)，又－b2＋nb－6＝3b－2，所以－b2＋b(3＋2b)－6＝3b－2，又b＞0，所以b＝2，n＝7.故选AD. 11．(2022·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R，记g(x)＝f′(x)．若f，g(2＋x)均为偶函数，则(　　) A．f(0)＝0 B．g＝0 C．f(－1)＝f(4) D．g(－1)＝g(2) 答案　BC 解析　因为f为偶函数，所以f＝f，所以函数f(x)的图象关于直线x＝对称，f＝f，即f(－1)＝f(4)，故C正确；因为f(x)的图象关于直线x＝对称，所以f(x)＝f(3－x)，所以f′(x)＝－f′(3－x)，即g(x)＝－g(3－x)，所以g(x)的图象关于点对称，所以g＝0，g(1)＝－g(2)，又g(2＋x)为偶函数，所以g(2＋x)＝g(2－x)，函数g(x)的图象关于直线x＝2对称，所以g(x)的周期T＝4×＝2，所以g＝g＝0，g(－1)＝g(1)＝－g(2)，故B正确，D错误；不妨取f(x)＝1(x∈R)，经验证满足题意，但f(0)＝1，故A错误．故选BC. 三、填空题 12．(2024·广州模拟)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝x3－xf′(2)，则曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为________________． 答案　6x－y－16＝0 解析　对函数f(x)＝x3－xf′(2)，求导可得f′(x)＝3x2－f′(2)，得f′(2)＝3×22－f′(2)，因而切线的斜率k＝f′(2)＝6，又f(2)＝23－2×f′(2)＝8－12＝－4，由点斜式可得切线方程为y＋4＝6(x－2)，即6x－y－16＝0. 13．(2024·广东省四校联考)对于二元函数z＝f(x，y)，若存在，则称 为f(x，y)在点(x0，y0)处对x的偏导数，记为f′x(x0，y0)；若 存在，则称 为f(x，y)在点(x0，y0)处对y的偏导数，记为f′y(x0，y0)．已知二元函数z＝f(x，y)＝x2－2xy＋y3(x>0，y>0)，则f′x(x0，y0)＋f′y(x0，y0)的最小值为________． 答案　－ 解析　根据偏导数的定义，在求对x的偏导数时，f(x，y)中y可作为常数，即函数可看作是x的一元函数求导，同理在求对y的偏导数时，f(x，y)中x可作为常数，即函数可看作是y的一元函数求导，所以f′x(x，y)＝2x－2y，f′y(x，y)＝－2x＋3y2，f′x(x0，y0)＋f′y(x0，y0)＝2x0－2y0－2x0＋3y＝3y－2y0＝3－，所以f′x(x0，y0)＋f′y(x0，y0)的最小值是－. 14．(2023·长沙模拟)设函数f(x)＝mex－ln x，参数m＞0，过点(0，1)作曲线C：y＝f(x)的切线(斜率存在)，则切线的斜率为________(用含m的式子表示)． 答案　me－1 解析　由f(x)＝mex－ln x，得f′(x)＝mex－，设切点坐标为(t，met－ln t)，则f′(t)＝met－，∴过切点的切线方程为y－(met－ln t)＝(x－t)，把(0，1)代入，可得1－(met－ln t)＝(0－t)，整理得met(t－1)＋ln t＝0，令g(t)＝met(t－1)＋ln t，g′(t)＝mtet＋>0，g(t)在(0，＋∞)上单调递增，又g(1)＝0，∴1－(met－ln t)＝(0－t)的根为t＝1，∴切线的斜率为f′(1)＝me－1. 四、解答题 15．(2022·全国乙卷改编)已知函数f(x)＝ln (1＋x)＋，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程． 解　因为f(0)＝0，所以切点为(0，0)，因为f′(x)＝＋，f′(0)＝2，所以切线斜率为2，所以曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝2x. 16．已知曲线y＝x3＋x－2在点P0处的切线l1平行于直线4x－y－1＝0，且点P0在第三象限． (1)求切点P0的坐标； (2)若直线l⊥l1，且l也过切点P0，求直线l的方程． 解　(1)由y＝x3＋x－2，得y′＝3x2＋1， 由已知令3x2＋1＝4，解得x＝±1. 当x＝1时，y＝0；当x＝－1时，y＝－4. 又点P0在第三象限， ∴切点P0的坐标为(－1，－4)． (2)∵直线l⊥l1，l1的斜率为4， ∴直线l的斜率为－. ∵l过切点P0，点P0的坐标为(－1，－4)， ∴直线l的方程为y＋4＝－(x＋1)， 即x＋4y＋17＝0. 17．已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)． (1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a，b的值； (2)若曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围． 解　f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)． (1)由题意得 解得b＝0，a＝－3或a＝1. (2)因为曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，所以关于x的方程f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)＝0有两个不相等的实数根， 所以Δ＝4(1－a)2＋12a(a＋2)>0， 即4a2＋4a＋1>0，所以a≠－. 所以a的取值范围为∪. 20 学科网（北京）股份有限公司 $$