第3章 第7讲 函数的图象-【金版教程】2025年高考数学一轮复习创新方案word（新教材，提升版）

金版教程 高考科学复习创新方案 数学(提升版) 第7讲　函数的图象 [课程标准]在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数，理解函数图象的作用． 1．利用描点法作函数图象的步骤 2．利用图象变换法作函数的图象 (1)平移变换 y＝f(x)的图象y＝f(x－a)的图象； y＝f(x)的图象y＝f(x)＋b的图象． (2)伸缩变换 y＝f(x)的图象 y＝f(ωx)的图象； y＝f(x)的图象y＝Af(x)的图象． (3)对称变换 y＝f(x)的图象y＝－f(x)的图象； y＝f(x)的图象y＝f(－x)的图象； y＝f(x)的图象y＝－f(－x)的图象． (4)翻折变换 y＝f(x)的图象y＝f(|x|)的图象； y＝f(x)的图象y＝|f(x)|的图象． 1．左右平移仅仅是相对x而言的，即发生变化的只是x本身，利用“左加右减”进行操作．如果x的系数不是1，需要把系数提出来，再进行变换． 2．上下平移仅仅是相对y而言的，即发生变化的只是y本身，利用“上减下加”进行操作．但平时我们是对y＝f(x)中的f(x)进行操作，满足“上加下减”． 3．函数图象的对称性 (1)函数图象自身的轴对称 若函数y＝f(x)的定义域为R，且有f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝对称． (2)函数图象自身的中心对称 函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)成中心对称⇔f(a＋x)＝2b－f(a－x)⇔f(x)＝2b－f(2a－x)． (3)两个函数图象之间的对称关系 ①函数y＝f(a＋x)与y＝f(b－x)的图象关于直线x＝对称(由a＋x＝b－x得对称轴方程)； ②函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)对称． 1．函数f(x)的图象向右平移1个单位，所得图象与曲线y＝ex关于y轴对称，则f(x)＝(　　) A．ex＋1 B．ex－1 C．e－x＋1 D．e－x－1 答案　D 解析　与曲线y＝ex关于y轴对称的图象对应的函数为y＝e－x，再向左平移1个单位，可得函数f(x)的图象，故f(x)＝e－(x＋1)＝e－x－1. 2．(2024·石家庄模拟)函数f(x)＝的部分图象大致是(　　) 答案　A 解析　根据题意，函数f(x)＝，其定义域为R，有f(－x)＝－＝－f(x)，函数f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，排除B，D；当x→＋∞时，f(x)→0，排除C.故选A. 3．下列函数中，其图象与函数f(x)＝ln (x＋1)的图象关于直线x＝1对称的是(　　) A．y＝ln (1－x) B．y＝ln (3－x) C．y＝ln (1＋x) D．y＝ln (3＋x) 答案　B 解析　根据题意，设y＝g(x)的图象与函数f(x)＝ln (x＋1)的图象关于直线x＝1对称，则有g(x)＝f(2－x)，即g(x)＝ln [(2－x)＋1]＝ln (3－x)．故选B. 4．(人教A必修第一册3.2.2练习T1改编)已知图①中的图象对应的函数为y＝f(x)，则在下列给出的四个选项中，图②中的图象对应的函数只可能是(　　) A．y＝f(|x|) B．y＝|f(x)| C．y＝f(－|x|) D．y＝－f(|x|) 答案　C 解析　由图②知，图象关于y轴对称，对应的函数是偶函数．对于A，当x>0时，y＝f(|x|)＝f(x)，其图象在y轴右侧与图①的相同，不符合，故A错误；对于B，当x>0时，对应的函数是y＝f(x)，显然B错误；对于D，当x<0时，y＝－f(－x)，其图象在y轴左侧与图①的不相同，不符合，故D错误；对于C，y＝f(－|x|)＝其图象关于y轴对称，在y轴左侧与f(x)的图象相同，符合题意，故C正确． 5．若关于x的方程|x|＝a－x只有一个实数解，则实数a的取值范围是________． 答案　(0，＋∞) 解析　在同一个坐标系中画出函数y＝|x|与y＝a－x的图象，如图所示，由图象知，当a＞0时，y＝|x|与y＝a－x的图象只有一个交点，方程|x|＝a－x只有一个实数解． 考向一　画函数图象 例1　作出下列函数的图象： (1)y＝|x－2|·(x＋2)； (2)y＝|log2(x＋1)|； (3)y＝； (4)y＝x2－4|x|. 解　(1)函数解析式可化为 y＝ 其图象如图①实线所示． 　　 (2)将函数y＝log2x的图象向左平移1个单位，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y＝|log2(x＋1)|的图象，如图②所示． (3)函数解析式可化为y＝2＋，故函数图象可由函数y＝的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，如图③所示． (4)y＝x2－4|x|＝ 作出图象如图④所示． 函数图象的常见画法 (1)直接法：当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本初等函数时，可根据这些函数的特征描出图象的关键点，进而直接作出函数图象． (2)转化法：含有绝对值符号的函数，可去掉绝对值符号，转化为分段函数来画图象． (3)图象变换法：若函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平移、伸缩、翻折、对称得到，则可利用图象变换作图． 提醒：①画函数的图象一定要注意定义域； ②利用图象变换法时要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉的基本初等函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响． 　作出下列各函数的图象： (1)y＝x－|x－1|；(2)y＝|x2－4x＋3|； (3)y＝；(4)y＝sin|x|. 解　(1)根据绝对值的意义，可将函数解析式化为分段函数y＝其图象如图①所示． (2)函数解析式可化为y＝ 其图象如图②实线所示． (3)作出y＝的图象，保留y＝的图象中x≥0的部分，加上y＝的图象中x>0部分关于y轴的对称部分，即得y＝的图象，再向左平移2个单位，即得y＝的图象，如图③所示． (4)当x≥0时，y＝sin|x|与y＝sinx的图象完全相同，又y＝sin|x|为偶函数，图象关于y轴对称，故图象如图④所示． 考向二　识图与辨图 例2　(1)(2024·南通模拟)函数f(x)＝cosx·ln (－x)的图象大致为(　　) 答案　B 解析　f(x)＝cosx·ln (－x)，f(－x)＝cos(－x)·ln (＋x)＝－cosx·ln (－x)＝－f(x)，函数为奇函数，排除A，D；当x∈时，cosx>0，ln (－x)＝－ln (＋x)<－ln 1＝0，故f(x)<0，排除C.故选B. (2)(2022·全国乙卷)如图是下列四个函数中的某个函数在区间[－3，3]的大致图象，则该函数是(　　) A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝ 答案　A 解析　设f(x)＝，则f(1)＝0，故排除B；设h(x)＝，当x∈时，0＜cosx＜1，所以h(x)＝＜≤1，故排除C；设g(x)＝，则g(3)＝＞0，故排除D.故选A. 函数图象的识辨 (1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势． (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性． (4)从函数的周期性，判断图象的循环往复． (5)从函数的特征点，排除不合要求的图象． 　1.(2023·天津高考)函数f(x)的图象如下图所示，则f(x)的解析式可能为(　　) A．f(x)＝ B．f(x)＝ C．f(x)＝ D．f(x)＝ 答案　D 解析　解法一：由题图可知，函数f(x)的图象关于y轴对称，所以函数f(x)是偶函数．f(x)＝，定义域为R，f(－x)＝＝－f(x)，所以函数f(x)＝是奇函数，所以排除A；f(x)＝，定义域为R，f(－x)＝＝－＝－f(x)，所以函数f(x)＝是奇函数，所以排除B；f(x)＝，定义域为R，f(－x)＝＝f(x)，所以函数f(x)＝是偶函数，又x2＋2>0，ex＋e－x>0，所以f(x)>0恒成立，不符合题意，所以排除C.故选D. 解法二：由题图可知，函数f(x)的图象关于y轴对称，所以函数f(x)是偶函数．因为y＝x2＋2是偶函数，y＝ex－e－x是奇函数，所以f(x)＝是奇函数，故排除A；因为y＝x2＋1是偶函数，y＝sinx是奇函数，所以f(x)＝是奇函数，故排除B；因为x2＋2>0，ex＋e－x>0，所以f(x)＝>0恒成立，不符合题意，故排除C.故选D. 2．(2023·黄山二模)函数y＝的图象大致是(　　) 答案　C 解析　∵y＝＝∴根据指数函数图象即可判断C符合题意．故选C. 多角度探究突破 考向三　函数图象的应用 角度　利用函数图象研究函数的性质 例3　(多选)设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f(x＋1)＝f(x－1)，已知当x∈[0，1]时，f(x)＝，则下列结论正确的是(　　) A．2是函数f(x)的周期 B．函数f(x)在(1，2)上单调递减，在(2，3)上单调递增 C．函数f(x)的最大值是1，最小值是0 D．当x∈(3，4)时，f(x)＝ 答案　ABD 解析　由已知条件得f(x＋2)＝f(x)，则y＝f(x)是以2为周期的周期函数，A正确；当－1≤x≤0时，0≤－x≤1，f(x)＝f(－x)＝，画出函数y＝f(x)的部分图象如图所示．由图象知B正确，C不正确；当3<x<4时，－1<x－4<0，f(x)＝f(x－4)＝，D正确．故选ABD. 利用函数图象研究函数性质的策略 对于已知解析式易画出其在给定区间上图象的函数，其性质常借助图象研究： (1)从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值； (2)从图象的对称性，分析函数的奇偶性； (3)从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性． 　(多选)定义一种运算：a⊗b＝ 设f(x)＝(5＋2x－x2)⊗|x－1|，则下列结论中正确的是(　　) A．函数f(x)的图象关于直线x＝1对称 B．函数f(x)的图象与直线y＝5有三个公共点 C．函数f(x)的单调递减区间是(－∞，－1)和[1，3] D．函数f(x)的最小值是2 答案　ACD 解析　由题意，f(x)＝(5＋2x－x2)⊗|x－1|＝作出函数的图象如图所示，由图象可知，函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，故A正确；函数f(x)的图象与直线y＝5有四个公共点，故B错误；函数f(x)的单调递减区间是(－∞，－1)和[1，3]，故C正确；函数f(x)的最小值是2，故D正确． 角度　利用函数图象解决方程根的问题 例4　(2023·洛阳第一次联考)已知函数f(x)＝若方程f(x)－a＝0有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是(　　) A．(1，3) B．(0，3) C．(0，2) D．(0，1) 答案　D 解析　画出函数f(x)的图象，如图所示，方程f(x)－a＝0有三个不同的实数根，即函数y＝f(x)的图象与直线y＝a有三个不同的交点，由图可知，实数a的取值范围为(0，1)．故选D. 利用函数图象解决方程根的问题的思路 当方程与基本初等函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程f(x)＝0的根就是函数f(x)图象与x轴交点的横坐标，方程f(x)＝g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象交点的横坐标． 　函数f(x)的定义域为[－1，1]，图象如图1所示，函数g(x)的定义域为[－1，2]，图象如图2所示．若集合A＝{x|f(g(x))＝0}，B＝{x|g(f(x))＝0}，则A∩B中有________个元素． 答案　3 解析　若f(g(x))＝0，则g(x)＝0，－1或1，∴A＝{－1，0，1，2}，若g(f(x))＝0，则f(x)＝0或2，∴B＝{－1，0，1}，∴A∩B＝{－1，0，1}，有3个元素． 角度　利用函数图象解决不等式问题 例5　若关于x的不等式4ax－1<3x－4(a>0，且a≠1)对于任意的x>2恒成立，则a的取值范围为________． 答案　 解析　不等式4ax－1<3x－4等价于ax－1<x－1.令f(x)＝ax－1，g(x)＝x－1，当a>1时，在同一坐标系中作出两个函数的图象如图①所示，由图知不满足条件；当0<a<1时，在同一坐标系中作出两个函数的图象如图②所示，由题意知，f(2)≤g(2)，即a2－1≤×2－1，解得a≤.综上，a的取值范围是. 利用函数图象解决不等式问题的思路 当不等式问题不能用代数法求解，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合思想求解． 　(2023·北京市平谷区模拟)已知函数f(x)＝log2(x＋1)，若f(x)>|x|，则x的取值范围是________． 答案　(0，1) 解析　作出函数y＝log2(x＋1)和函数y＝|x|的图象，如图所示．两个函数的图象相交于点(0，0)和(1，1)，当且仅当x∈(0，1)时，y＝log2(x＋1)的图象在y＝|x|的图象的上方，不等式f(x)>|x|的解集为(0，1)，即x的取值范围是(0，1)． 课时作业 一、单项选择题 1．(2024·山东师范大学附属中学月考)函数y＝－ex的图象(　　) A．与y＝ex的图象关于y轴对称 B．与y＝ex的图象关于坐标原点对称 C．与y＝e－x的图象关于y轴对称 D．与y＝e－x的图象关于坐标原点对称 答案　D 解析　由点(x，y)关于原点的对称点是(－x，－y)，可知D正确． 2．把函数y＝2x的图象向右平移t个单位长度，所得图象对应的函数解析式为y＝，则t的值为(　　) A. B．log23 C．log32 D. 答案　B 解析　函数y＝2x的图象向右平移t个单位长度得y＝2x－t＝，所以2t＝3，得t＝log23. 3．(2023·海口模拟)函数f(x)＝的部分图象大致是(　　) 答案　B 解析　由解析式可知x≠1，取x＝0.5，则f(0.5)＝＝－2ln 2<0，排除A，C；f(x)＝可看成是由g(x)＝向右平移1个单位得到，而g(x)＝＝g(－x)是偶函数，即f(x)＝的图象关于直线x＝1对称，再取x＝1.5，则f(1.5)＝＝－2ln 2<0，排除D.故选B. 4．(2024·西宁海湖中学质检)下列函数中，其图象与函数f(x)＝ln x的图象关于直线x＝1对称的是(　　) A．y＝ln (1－x) B．y＝ln (2－x) C．y＝ln (1＋x) D．y＝ln (2＋x) 答案　B 解析　解法一：设所求函数图象上任一点的坐标为(x，y)，则其关于直线x＝1的对称点的坐标为(2－x，y)，由对称性知点(2－x，y)在函数f(x)＝ln x的图象上，所以y＝ln (2－x)．故选B. 解法二：由题意知，对称轴上的点(1，0)既在函数y＝ln x的图象上也在所求函数的图象上，代入选项中的函数解析式逐一检验，排除A，C，D.故选B. 5．若函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝－f(x＋1)的图象大致为(　　) 答案　C 解析　要想由y＝f(x)的图象得到y＝－f(x＋1)的图象，需要先作出y＝f(x)的图象关于x轴对称的图象y＝－f(x)，然后向左平移1个单位长度得到y＝－f(x＋1)的图象，根据上述步骤可知C正确． 6．(2024·烟台爱华高级中学阶段考试)用min{a，b，c}表示a，b，c三个数中的最小值，设f(x)＝min{2x，x＋2，10－x}(x≥0)，则f(x)的最大值为(　　) A．3 B．4 C．6 D．8 答案　C 解析　作出函数f(x)＝min{2x，x＋2，10－x}(x≥0)的图象，如图中实线部分所示，则f(x)的最大值为y＝x＋2与y＝10－x的图象的交点的纵坐标，令x＋2＝10－x，解得x＝4，此时y＝6，即f(x)的最大值为6. 7．函数f(x)是周期为4的偶函数，当x∈[0，2]时，f(x)＝x－1，则不等式xf(x)>0在(－1，3)上的解集为(　　) A．(1，3) B．(－1，1) C．(－1，0)∪(1，3) D．(－1，0)∪(0，1) 答案　C 解析　作出函数f(x)的图象如图所示，由图可知，xf(x)>0在(－1，3)上的解集为(－1，0)∪(1，3)． 8．(2023·惠州一模)岭南古邑的番禺不仅拥有深厚的历史文化底蕴，还聚焦生态的发展．下图1是番禺区某风景优美的公园地图，其形状如一颗爱心．图2是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在x轴上方的图象对应的函数解析式可能为(　　) A．y＝|x| B．y＝x C．y＝ D．y＝ 答案　C 解析　对于A，∵y＝|x|＝≤＝2(当且仅当x2＝4－x2，即x＝±时取等号)，∴y＝|x|在(－2，2)上的最大值为2，与图象不符，A错误；对于B，当x∈(－2，0)时，y＝x<0，与图象不符，B错误；对于C，∵y＝＝，∴当x＝±1时，ymax＝1.又y＝过点(－2，0)，(2，0)，(0，0)．由－x2＋2|x|≥0得|x|(|x|－2)≤0，解得－2≤x≤2，即函数的定义域为[－2，2]．又＝，∴y＝为定义在[－2，2]上的偶函数，图象关于y轴对称．当x∈[0，2]时，y＝＝，则函数在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减．综上所述，y＝与图象相符，C正确；对于D，由－x2＋2x≥0得0≤x≤2，∴y＝不存在x∈(－2，0)部分的图象，D错误．故选C. 二、多项选择题 9．已知f(x)＝则下列函数的图象正确的是(　　) 答案　ABC 解析　先在坐标平面内画出函数y＝f(x)的图象，如图所示，再将函数y＝f(x)的图象向右平移1个单位长度即可得到y＝f(x－1)的图象，因此A正确；作函数y＝f(x)的图象关于y轴的对称图形，即可得到y＝f(－x)的图象，因此B正确；y＝f(x)的值域是[0，2]，因此y＝|f(x)|的图象与y＝f(x)的图象重合，C正确；y＝f(|x|)的定义域是[－1，1]，且是一个偶函数，当0≤x≤1时，y＝f(|x|)＝，相应这部分图象不是一条线段，因此D不正确．故选ABC. 10．(2023·保定模拟)已知a，b分别是方程2x＋x＝0，3x＋x＝0的实数根，则下列关系式中正确的是(　　) A．－1＜b＜a＜0 B．－1＜a＜b＜0 C．b·3a＜a·3b D．a·2b＜b·2a 答案　BD 解析　函数y＝2x，y＝3x，y＝－x在同一坐标系中的图象如图，所以－1＜a＜b＜0，所以2a＜2b，3a＜3b，0＜－b＜－a，所以－b·2a＜(－a)·2b，－b·3a＜(－a)·3b，所以a·2b＜b·2a，a·3b＜b·3a.故选BD. 11.如图，在等边三角形ABC中，AB＝6.动点P从点A出发，沿着此三角形三边逆时针运动回到A点，记点P运动的路程为x，点P到此三角形中心O距离的平方为f(x)，则下列结论正确的是(　　) A．函数f(x)的最大值为12 B．函数f(x)的最小值为3 C．函数f(x)图象的对称轴方程为x＝9 D．关于x的方程f(x)＝kx＋3最多有5个实数根 答案　ABC 解析　由题意可得函数f(x)＝作出图象如图所示，则当点P与△ABC顶点重合，即x＝0，6，12，18时，f(x)取得最大值，为12，当点P位于三角形的三个边的中点时，f(x)取得最小值，为3，故A，B正确；又f(x)＝f(18－x)，所以函数f(x)图象的对称轴为直线x＝9，故C正确；由图象可知，函数f(x)的图象与直线y＝kx＋3的交点个数最多为6，故方程f(x)＝kx＋3最多有6个实数根，故D错误．故选ABC. 三、填空题 12．已知函数f(x)＝|log3x|，实数m，n满足0<m<n，且f(m)＝f(n)，若f(x)在[m2，n]上的最大值为2，则＝________． 答案　9 解析　如图，作出函数f(x)＝|log3x|的图象，观察可知0<m<1<n，则－log3m＝log3n，得mn＝1.若f(x)在[m2，n]上的最大值为2，∵m2<m，∴从图象分析应有f(m2)＝2，即log3m2＝－2，∴m2＝.从而m＝，n＝3，故＝9. 13.已知函数f(x)在R上单调且其部分图象如图所示，若不等式－2<f(x＋t)<4的解集为(－1，2)，则实数t的值为________． 答案　1 解析　由图象可知不等式－2<f(x＋t)<4，即f(3)<f(x＋t)<f(0)．又y＝f(x)在R上单调递减，所以0<x＋t<3，不等式的解集为(－t，3－t)．依题意，得t＝1. 14．函数f(x)＝则f(－1)＝________；若方程f(x)＝m有两个不同的实数根，则实数m的取值范围为________． 答案　2－　(0，2) 解析　f(－1)＝＝2－.作出函数f(x)的图象，如图所示，若方程f(x)＝m有两个不同的实数根，则0<m<2，即实数m的取值范围是(0，2)． 四、解答题 15．(2024·台州质检)已知f(x)＝ (1)作出函数f(x)的图象； (2)写出函数f(x)的单调区间； (3)若函数y＝f(x)的图象与直线y＝m有两个不同的公共点，求实数m的取值范围． 解　(1)画出函数f(x)的图象，如图所示． (2)由图象得，f(x)的单调递增区间是(－∞，0]，(0，＋∞)，无单调递减区间． (3)若函数y＝f(x)的图象与直线y＝m有两个不同的公共点，则结合图象得1<m≤2，即实数m的取值范围为(1，2]． 16．已知函数f(x)＝|x|(x－a)，a>0. (1)作出函数f(x)的图象； (2)写出函数f(x)的单调区间； (3)当x∈[0，1]时，由图象写出f(x)的最小值． 解　(1)f(x)＝其图象如图所示． (2)由图可知，函数f(x)的单调递增区间是(－∞，0)，，单调递减区间是. (3)由图象知，当>1，即a>2时，f(x)min＝f(1)＝1－a； 当0<≤1，即0<a≤2时，f(x)min＝f＝－. 综上，f(x)min＝ 20 学科网（北京）股份有限公司 $$