第3章 第6讲 对数与对数函数-【金版教程】2025年高考数学一轮复习创新方案word（新教材，提升版）

金版教程 高考科学复习创新方案 数学(提升版) 第6讲　对数与对数函数 [课程标准]1.理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数.2.了解对数函数的概念，能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点.3.知道对数函数y＝logax与指数函数y＝ax互为反函数(a＞0，且a≠1)． 1．对数的定义 如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． 2．对数的运算法则 如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么 (1)loga(MN)＝logaM＋logaN； (2)loga＝logaM－logaN； (3)logaMn＝nlogaM(n∈R)． 3．对数函数的定义 函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量． 4．对数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 定义域 (0，＋∞) 值域 R 定点 过点(1，0) 单调性 增函数 减函数 函数值正负 当x＞1时，y＞0； 当0＜x＜1时，y＜0 当x＞1时，y＜0； 当0＜x＜1时，y＞0 5.反函数 指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称． 1．对数的性质(a＞0，且a≠1) (1)loga1＝0；(2)logaa＝1；(3)alogaN＝N. 2．换底公式及其推论 (1)logab＝(a，c均大于0且不等于1，b＞0)； (2)logab·logba＝1，即logab＝(a，b均大于0且不等于1)； (3)logab·logbc·logcd＝logad； (4)logambn＝logab. 3．对数函数的图象与底数大小的比较 如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数． 故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大． 1．(人教A必修第一册习题4.3 T5改编)设alog34＝2，则4－a＝(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　由alog34＝2可得log34a＝2，所以4a＝9，所以4－a＝.故选B. 2．(2021·新高考Ⅱ卷)已知a＝log52，b＝log83，c＝，则下列判断正确的是　　(　　) A．c<b<a B．b<a<c C．a<c<b D．a<b<c 答案　C 解析　a＝log52<log5＝＝log82<log83＝b，即a<c<b.故选C. 3．函数f(x)＝loga(x＋2)－2(a>0，且a≠1)的图象必过定点________． 答案　(－1，－2) 解析　由loga1＝0(a>0，且a≠1)知，f(－1)＝loga(－1＋2)－2＝0－2＝－2，所以函数f(x)的图象必过定点(－1，－2)． 4．(人教B必修第二册4.2.2练习B T3改编)求值：lg 5×lg 20＋(lg 2)2＝________． 答案　1 解析　原式＝lg 5×lg (22×5)＋(lg 2)2＝lg 5×(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2＝(lg 5)2＋2lg 2×lg 5＋(lg 2)2＝(lg 5＋lg 2)2＝[lg (5×2)]2＝1. 5．(人教A必修第一册习题4.4 T1(2)改编)函数y＝的定义域是________． 答案　 解析　由log(2x－1)≥0得log(2x－1)≥log1，所以0<2x－1≤1，解得<x≤1.故函数y＝的定义域为. 考向一　对数的化简与求值 例1　(1)下列运算正确的是(　　) A．2log10＋log0.25＝2 B．log427×log258×log95＝ C．lg 2＋lg 50＝10 D．log(2＋)(2－)－(log2)2＝－ 答案　D 解析　对于A，2log10＋log0.25＝log(102×0.25)＝log52＝－2，A错误；对于B，log427×log258×log95＝××＝＝，B错误；对于C，lg 2＋lg 50＝lg 100＝2，C错误；对于D，log(2＋)(2－)－(log2)2＝－1－＝－，D正确． (2)(2024·银川模拟)设函数f(x)＝则f(1)＋f(log26)＝(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 答案　A 解析　因为log26>1，所以f(1)＋f(log26)＝1＋log2(2－1)＋2log26－1＝1＋0＋2log23＝1＋3＝4.故选A. (3)(多选)(2023·海南华侨中学模拟)已知a＝lg 2，b＝lg 3，则(　　) A．102a＋b＝7 B．2a＋b＝lg 12 C.＝log1810 D．log365＝ 答案　BCD 解析　因为a＝lg 2，b＝lg 3，所以10a＝2，10b＝3，所以102a＋b＝(10a)2×10b＝4×3＝12，A错误；2a＋b＝lg 4＋lg 3＝lg 12，B正确；＝＝＝log1810，C正确；log365＝＝＝，D正确．故选BCD. 对数运算的策略 　1.(2023·衡水中学模拟)在某款计算器上计算logab时，需依次按下“log”“(”“a”“，”“b”“)”6个键．某同学使用该计算器计算logab(a>1，b>1)时，误将“log”“(”“b”“，”“a”“)”这6个键依次按下，所得到的值是正确结果的，则(　　) A．2a＝3b B．a3b2＝1 C．a2＝b3 D．a3＝b2 答案　D 解析　由题意可知logba＝logab，∴(logba)2＝，又a>1，b>1，∴logba>0，logba＝，∴a＝b，即a3＝b2.故选D. 2．(2024·广东重点中学联考)已知4a＝3b＝6，则＝________． 答案　2 解析　由题意可得a＝log46，b＝log36，则＝log64，＝log63，故＝＋＝log64＋2log63＝log64＋log69＝log636＝2. 考向二　对数函数的图象及其应用 例2　(1)(2024·潍坊模拟)若函数f(x)＝(k－1)ax－a－x(a>0，且a≠1)在R上既是奇函数，又是减函数，则g(x)＝loga(x＋k)的图象是(　　) 答案　A 解析　由于f(x)是R上的奇函数，所以f(0)＝k－1－1＝0，k＝2，因为f(x)＝ax－为减函数，所以0<a<1，所以g(x)＝loga(x＋2)，x>－2，g(x)为(－2，＋∞)上的减函数，g(－1)＝0，排除B，C，D，故选A. (2)若方程4x＝logax在内有解，则实数a的取值范围为________． 答案　 解析　构造函数f(x)＝4x和g(x)＝logax.当a>1时不满足条件，当0<a<1时，画出两个函数的大致图象，如图所示．可知，只需两图象在上有交点即可，则f≥g，即2≥loga，则0<a≤，所以实数a的取值范围为. 利用对数函数的图象可求解的两类热点问题 (1)对一些可通过平移、对称变换作出其对数型函数的图象，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解． (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合思想求解． 　1.函数f(x)＝loga|x|＋1(0<a<1)的图象大致为(　　) 答案　A 解析　由函数f(x)的解析式可确定该函数为偶函数，图象关于y轴对称．设g(x)＝loga|x|，先画出x>0时g(x)的图象，然后根据g(x)的图象关于y轴对称，画出x<0时g(x)的图象，最后由函数g(x)的图象向上整体平移1个单位即得f(x)的图象，结合图象知选A. 2．设x1，x2，x3均为实数，且e－x1＝ln x1，e－x2＝ln (x2＋1)，e－x3＝lg x3，则(　　) A．x1<x2<x3 B．x1<x3<x2 C．x2<x3<x1 D．x2<x1<x3 答案　D 解析　画出函数y＝，y＝ln x，y＝ln (x＋1)，y＝lg x的图象，如图所示，由图象知x2<x1<x3. 多角度探究突破 考向三　对数函数的性质及其应用 角度　比较对数值的大小 例3　(1)(2024·安徽A10联盟模拟)设a＝2log3，b＝log25，c＝log35，则(　　) A．c<a<b B．b<c<a C．a<b<c D．a<c<b 答案　D 解析　因为log3<0，所以0<a<1，又b＝log25>log24＝2，1＝log33<c＝log35<log39＝2，所以a<c<b.故选D. (2)(多选)若实数a，b，c满足loga2<logb2<logc2，则下列关系中可能成立的是(　　) A．a<b<c B．b<a<c C．c<b<a D．a<c<b 答案　BCD 解析　由loga2<logb2<logc2的大小关系，可知a，b，c有如下四种可能：①1<c<b<a；②0<a<1<c<b；③0<b<a<1<c；④0<c<b<a<1.作出函数的图象(如图所示)． 由图象可知B，C，D可能成立． (3)(多选)(2023·新课标Ⅰ卷)噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp＝20×lg ，其中常数p0(p0>0)是听觉下限阈值，p是实际声压．下表为不同声源的声压级： 声源 与声源的距离/m 声压级/dB 燃油汽车 10 60～90 混合动力汽车 10 50～60 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则(　　) A．p1≥p2 B．p2>10p3 C．p3＝100p0 D．p1≤100p2 答案　ACD 解析　解法一：由题意可知，Lp1∈[60，90]，Lp2∈[50，60]，Lp3＝40，对于A，Lp1－Lp2＝20×lg －20×lg ＝20×lg ，因为Lp1≥Lp2，则Lp1－Lp2＝20×lg ≥0，即lg ≥0，所以≥1且p1，p2>0，可得p1≥p2，故A正确；对于B，Lp2－Lp3＝20×lg －20×lg ＝20×lg ，因为Lp2－Lp3＝Lp2－40≥10，则20×lg ≥10，即lg ≥，所以≥且p2，p3>0，可得p2≥p3，当且仅当Lp2＝50时，等号成立，故B错误；对于C，因为Lp3＝20×lg ＝40，即lg ＝2，可得＝100，即p3＝100p0，故C正确；对于D，由选项A可知，Lp1－Lp2＝20×lg ，且Lp1－Lp2≤90－50＝40，则20×lg ≤40，即lg ≤2，可得≤100且p1，p2>0，所以p1≤100p2，故D正确．故选ACD. 解法二：因为Lp＝20×lg 随着p的增大而增大，且Lp1∈[60，90]，Lp2∈[50，60]，所以Lp1≥Lp2，所以p1≥p2，故A正确；由Lp＝20×lg ，得p＝p010，因为Lp3＝40，所以p3＝p010＝100p0，故C正确；假设p2＞10p3，则p010＞10p010，所以10－＞10，所以Lp2－Lp3＞20，该式不可能成立，故B错误；因为＝＝10－+2≥1，所以p1≤100p2，故D正确．故选ACD. 比较对数值大小的方法 　1.(多选)(2024·惠州模拟)已知a＝log2e，b＝ln 2，c＝log，则下列关系式中，正确的是(　　) A．a>b B．a>c C．c>a D．a＋b＝2 答案　AC 解析　a＝log2e>log22＝1，即a>1，b＝ln 2<ln e＝1，即b<1，c＝log＝log23>log2e＝a，所以c>a>b，a＋b＝log2e＋ln 2＝＋ln 2，由基本不等式知D错误．故选AC. 2．(多选)对于0<a<1，下列四个不等式中成立的是(　　) A．loga(1＋a)<loga B．loga(1＋a)>loga C．a1＋a<a1＋ D．a1＋a>a1＋ 答案　BD 解析　∵0<a<1，∴a<，从而1＋a<1＋，∴loga(1＋a)>loga，a1＋a>a1＋.故选BD. 3．(2023·聊城二模)已知a＝，b＝，c＝，则(　　) A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a 答案　D 解析　∵e2＜2.82＜8，∴a－c＝－＝＝<0，∴a＜c；∵b－c＝－＝＝＞0，∴b＞c，∴b＞c＞a.故选D. 角度　解简单的对数不等式 例4　(1)设函数f(x)＝若f(a)>f(－a)，则实数a的取值范围是(　　) A．(－1，0)∪(0，1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C．(－1，0)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0，1) 答案　C 解析　由题意可得或解得a>1或－1<a<0.故选C. (2)(2023·青岛模拟)已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a＋16(a∈R)，则关于x的不等式f(log2x)>f(1)的解集为(　　) A．(2，＋∞) B．(0，2) C．(2，6) D．(2，8) 答案　D 解析　由题意，得f(x)＝－(x－2)2＋a＋20，则函数f(x)的图象是以直线x＝2为对称轴且开口向下的抛物线，所以f(1)＝f(3)．由f(log2x)>f(1)，可得1<log2x<3，解得2<x<8，所以不等式f(log2x)>f(1)的解集为(2，8)． 对数不等式的类型及其解法 　1.(2024·昆明五华区质检)函数y＝的定义域为(　　) A. B. C．(1，＋∞) D.∪(1，＋∞) 答案　A 解析　由题意得解得<x<1，所以原函数的定义域为.故选A. 2．若loga(a2＋1)<loga2a<0，则a的取值范围是________． 答案　 解析　由题意得a>0，且a≠1，故必有a2＋1>2a，又loga(a2＋1)<loga2a<0，所以0<a<1，同时2a>1，所以a>.综上，a的取值范围是. 角度　对数函数性质的综合应用 例5　(1)已知函数f(x)＝loga(8－ax)(a>0，且a≠1)，若f(x)>1在区间[1，2]上恒成立，则实数a的取值范围是________． 答案　 解析　当a>1时，f(x)＝loga(8－ax)在[1，2]上是减函数，由f(x)>1在区间[1，2]上恒成立，得f(x)min＝loga(8－2a)>1，解得1<a<；当0<a<1时，f(x)在[1，2]上是增函数，由f(x)>1在区间[1，2]上恒成立，得f(x)min＝loga(8－a)>1，解得a>4，故a不存在．综上可知，实数a的取值范围是. (2)(2024·海口第一次联考)已知函数f(x)＝3＋log2x，x∈[1，16]，若函数g(x)＝[f(x)]2＋2f(x2)，则函数g(x)的最大值为________． 答案　39 解析　函数g(x)＝[f(x)]2＋2f(x2)满足解得1≤x≤4，即函数g(x)的定义域为[1，4]．g(x)＝[f(x)]2＋2f(x2)＝(3＋log2x)2＋6＋2log2x2＝(log2x)2＋10log2x＋15＝(log2x＋5)2－10，因为x∈[1，4]，所以log2x∈[0，2]．当log2x＝2时，g(x)max＝39. 解对数函数综合问题的三个关注点 (1)定义域，所有问题都必须在定义域内讨论． (2)底数与1的大小关系． (3)复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的使用． 　1.(2020·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)＝lg (x2－4x－5)在(a，＋∞)单调递增，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，－1] B．(－∞，2] C．[2，＋∞) D．[5，＋∞) 答案　D 解析　由x2－4x－5>0，解得x>5或x<－1，所以函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(5，＋∞)．又函数y＝x2－4x－5在(5，＋∞)单调递增，在(－∞，－1)单调递减，所以函数f(x)＝lg (x2－4x－5)在(5，＋∞)单调递增，所以a≥5.故选D. 2．(多选)已知函数f(x)＝ln ，则下列说法正确的是(　　) A．f(x)为奇函数 B．f(x)为偶函数 C．f(x)在上单调递减 D．f(x)的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞) 答案　ACD 解析　f(x)＝ln ，令＞0，解得x＞或x＜－，∴f(x)的定义域为∪，又f(－x)＝ln ＝ln ＝ln ＝－ln ＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，故A正确，B错误；又f(x)＝ln ＝ln ，令t＝1＋，t＞0且t≠1，∴y＝ln t，又t＝1＋在上单调递减，且y＝ln t为增函数，∴f(x)在上单调递减，故C正确；f(x)的值域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，故D正确． 3．(2023·十堰模拟)已知函数f(x)＝|ln x－a|＋a(a>0)在[1，e2]上的最小值为1，则a的值为________． 答案　1 解析　由题意得ln x∈[0，2]，当a≥2时，f(x)＝2a－ln x在[1，e2]上单调递减，∴f(x)的最小值为f(e2)＝2a－2＝1，a＝<2，不符合题意；当0<a<2时，f(x)＝f(x)在[1，ea]上单调递减，在[ea，e2]上单调递增，∴f(x)的最小值为f(ea)＝a＝1，符合题意，故a＝1. 课时作业 一、单项选择题 1．已知x，y为正实数，则(　　) A．lg (x2y)＝(lg x)2＋lg y B．lg (x)＝lg x＋lg y C．eln x＋ln y＝x＋y D．eln x－ln y＝xy 答案　B 解析　x，y为正实数，lg (x2y)＝lg x2＋lg y＝2lg x＋lg y，故A错误；lg (x)＝lg x＋lg ＝lg x＋lg y，故B正确；eln x＋ln y＝eln x·eln y＝xy，故C，D错误．故选B. 2．(2022·浙江高考)已知2a＝5，log83＝b，则4a－3b＝(　　) A．25 B．5 C. D. 答案　C 解析　因为2a＝5，b＝log83＝log23，即23b＝3，所以4a－3b＝＝＝＝.故选C. 3．(2024·南京模拟)苏格兰数学家纳皮尔(J.Napier，1550～1617)发明的对数及对数表(如下表)，为当时的天文学家处理“大数”的计算大大缩短了时间．即就是任何一个正实数N可以表示成N＝a×10n(1≤a<10，n∈Z)，则lg N＝n＋lg a(0≤lg a<1)，这样我们可以知道N的位数．已知正整数M31是35位数，则M的值为(　　) N 2 3 4 5 11 12 13 14 15 lg N 0.30 0.48 0.60 0.70 1.04 1.08 1.11 1.15 1.18 A.3 B．12 C．13 D．14 答案　C 解析　因为N＝a×10n(1≤a<10，n∈Z)，则lg N＝n＋lg a(0≤lg a<1)，所以1034≤M31<1035，两边取常用对数得34≤31lg M<35，于是≤lg M<，即1.09<lg M<1.13，所以M＝13.故选C. 4．若loga<1(a>0，且a≠1)，则实数a的取值范围是(　　) A. B. C.∪(1，＋∞) D.∪(1，＋∞) 答案　D 解析　因为loga<1，所以loga<logaa.若a>1，则上式显然成立；若0<a<1，则应满足0＜a＜.所以实数a的取值范围是∪(1，＋∞)．故选D. 5.已知函数f(x)＝loga(2x＋b－1)(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是(　　) A．0<a－1<b<1 B．0<b<a－1<1 C．0<b－1<a<1 D．0<a－1<b－1<1 答案　A 解析　由题图易得a>1，∴0<a－1<1.取特殊点x＝0⇒－1<y＝logab<0⇒－1＝loga<logab<loga1＝0，∴0<a－1<b<1.故选A. 6．(2023·宜宾模拟)若函数f(x)＝的值域为[－3，＋∞)，则a的取值范围是(　　) A．[－e3，0) B. C. D. 答案　C 解析　当0≤x≤3时，f(x)＝－x2＋2x∈[－3，1]，当a≤x＜0时，f(x)＝－ln (－x)≥－ln (－a)，因为f(x)＝ 的值域为[－3，＋∞)，所以－3≤－ln (－a)≤1，故－1≤ln (－a)≤3，解得－e3≤a≤－.故选C. 7．(2023·铜陵三模)已知a＝log75，b＝log97，c＝log119，则(　　) A．a<b<c B．a<c<b C．b<a<c D．c<b<a 答案　A 解析　因为log75－log97＝－＝，又因为lg 5·lg 9≤＝<＝(lg 7)2，所以log75－log97<0，即a<b；因为log97－log119＝－＝，又因为lg 7·lg 11≤＝<＝(lg 9)2，所以log97－log119<0，即b<c，所以a<b<c.故选A. 8．(2024·衡水饶阳中学质检)已知x>0，y>0，a≥1，若a·＋log2x＝log8y3＋2－x，则(　　) A．ln |1＋x－3y|<0 B．ln |1＋x－3y|≤0 C．ln (1＋3y－x)>0 D．ln (1＋3y－x)>1 答案　C 解析　由题意可知，a·＋log2x＝log2y＋，∴log2x－＝log2y－a·<log2(3y)－a·≤log2(3y)－，令f(x)＝log2x－，则f(x)<f(3y)，易知f(x)在(0，＋∞)上为增函数，由f(x)<f(3y)，得x<3y，∴3y－x>0，∴1＋3y－x>1，∴ln (1＋3y－x)>ln 1＝0.故选C. 二、多项选择题 9．(2024·苏州模拟)已知2x＝3，y＝2log32，则(　　) A．x< B．xy＝2 C．x>y D.＋> 答案　BCD 解析　由2x＝3，可得x＝log23>log2＝log28＝，所以A不正确；因为y＝2log32，所以xy＝log23·2log32＝log23·＝2，所以B正确；因为y＝2log32＝log34<log3＝，所以x>y，所以C正确；＋＝＋＝log32＋≥2＝，因为log32≠，所以等号不成立，所以＋>，所以D正确．故选BCD. 10．关于函数f(x)＝|ln |2－x||，下列描述正确的是(　　) A．函数f(x)在区间(1，2)上单调递增 B．函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称 C．若x1≠x2，但f(x1)＝f(x2)，则x1＋x2＝4 D．函数f(x)有且仅有两个零点 答案　ABD 解析　函数f(x)＝|ln |2－x||的图象如图所示，由图可得，函数f(x)在区间(1，2)上单调递增，A正确；函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，B正确；根据图象，由x1≠x2，但f(x1)＝f(x2)，则x1＋x2不一定等于4，C错误；函数f(x)有且仅有两个零点，D正确．故选ABD. 11．(2023·南京一模)已知函数f(x)＝log2(1＋4x)－x，则下列说法正确的是(　　) A．函数f(x)是偶函数 B．函数f(x)是奇函数 C．函数f(x)在(－∞，0]上为增函数 D．函数f(x)的值域为[1，＋∞) 答案　AD 解析　根据题意，函数f(x)＝log2(1＋4x)－x，定义域为R，有f(－x)＝log2＋x＝log2(1＋4x)－x＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数，A正确，B错误；对于C，f(－1)＝log2>1＝f(0)，f(x)在(－∞，0]上不是增函数，C错误；对于D，f(x)＝log2(1＋4x)－x＝log2，设t＝＋2x≥2，当且仅当x＝0时等号成立，则t的最小值为2，故f(x)≥log22＝1，即函数f(x)的值域为[1，＋∞)，D正确．故选AD. 三、填空题 12．(2022·全国乙卷)若f(x)＝ln ＋b是奇函数，则a＝________，b＝________． 答案　－　ln 2 解析　因为函数f(x)＝ln ＋b为奇函数，所以其定义域关于原点对称．由a＋≠0可得，(1－x)(a＋1－ax)≠0，所以＝－1，解得a＝－，即函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(－1，1)∪(1，＋∞)，再由f(0)＝0可得，b＝ln 2.即f(x)＝ln ＋ln 2＝ln ，在定义域内满足f(－x)＝－f(x)，符合题意． 13．已知函数f(x)＝log2(x2－2ax＋3)．若函数f(x)的定义域为R，则实数a的取值范围是________；若函数f(x)的值域为R，则实数a的取值范围是________． 答案　(－，)　(－∞，－]∪[，＋∞) 解析　由函数f(x)的定义域为R，则x2－2ax＋3>0恒成立，所以Δ＝4a2－12<0，解得－<a<.设A为y＝x2－2ax＋3的值域，则A＝[3－a2，＋∞)，若f(x)的值域为R，则(0，＋∞)⊆A，所以3－a2≤0，解得a≤－或a≥. 14．如图，已知过原点O的直线与函数y＝log8x的图象交于A，B两点，分别过A，B作y轴的平行线与函数y＝log2x的图象交于C，D两点，若BC∥x轴，则四边形ABDC的面积为________． 答案　log23 解析　设点A，B的横坐标分别为x1，x2，由题设知，x1＞1，x2＞1.则点A，B的纵坐标分别为log8x1，log8x2.因为A，B在过点O的直线上，所以＝，点C，D的坐标分别为(x1，log2x1)，(x2，log2x2)．由BC平行于x轴，知log2x1＝log8x2，即log2x1＝log2x2，∴x2＝x.代入x2log8x1＝x1log8x2得xlog8x1＝3x1log8x1.由x1＞1知log8x1≠0，∴x＝3x1.考虑x1＞1，解得x1＝.于是点A的坐标为(，log8)，即A，∴B，C，D，∴梯形ABDC的面积为S＝(AC＋BD)·BC＝××2＝log23. 四、解答题 15．(2024·镇江模拟)已知函数f(x)＝9x－28×3x＋1＋243，g(x)＝log2·log2. (1)设集合A＝{x∈R|f(x)≤0}，求集合A； (2)当x∈A时，求g(x)的最大值和最小值． 解　(1)由f(x)＝9x－28×3x＋1＋243≤0， 得(3x)2－84×3x＋243≤0， 即(3x－3)(3x－81)≤0，则3≤3x≤81， 解得1≤x≤4，∴A＝{x|1≤x≤4}． (2)g(x)＝log2·log2 ＝(2log2x－3) ＝(log2x)2－log2x＋3 ＝－. ∵x∈[1，4]，∴log2x∈[0，2]， ∴当log2x＝0时，g(x)max＝3； 当log2x＝时，g(x)min＝－. 故g(x)的最大值为3，最小值为－. 16．函数f(x)的定义域为D，若满足①f(x)在D内是单调函数；②存在[m，n]⊆D使f(x)在[m，n]上的值域为，那么就称y＝f(x)为“半保值函数”，若函数f(x)＝loga(ax＋t2)(a>0，且a≠1)是“半保值函数”，求t的取值范围． 解　∵函数f(x)＝loga(ax＋t2)(a>0，且a≠1)是“半保值函数”，且定义域为R， 当a>1时，z＝ax＋t2在R上单调递增，y＝logaz在(0，＋∞)上单调递增，可得f(x)为R上的增函数；当0＜a＜1时，f(x)仍为R上的增函数，∴f(x)在定义域R上为增函数， ∴方程loga(ax＋t2)＝x有两个不同的根，∴ax＋t2＝，即ax－＋t2＝0， 令u＝，u>0，即u2－u＋t2＝0有两个不同的正数根，可得1－4t2>0，且t2>0， 解得t∈∪. 21 学科网（北京）股份有限公司 $$