第3章 第5讲 指数与指数函数-【金版教程】2025年高考数学一轮复习创新方案word（新教材，提升版）

金版教程 高考科学复习创新方案 数学(提升版) 第5讲　指数与指数函数 [课程标准]1.通过对有理数指数幂a(a>0，且a≠1，m，n为整数，且n>0)、实数指数幂ax(a>0，且a≠1，x∈R)含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质.2.了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念.3.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点． 1．根式的概念 根式的概念 符号表示 备注 如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根 — n>1且n∈N* 当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数 零的n次方根是零 当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数 ±(a＞0) 负数没有偶次方根 2.分数指数幂 (1)a＝(a＞0，m，n∈N*，n＞1)． (2)a－＝＝(a＞0，m，n∈N*，n＞1)． (3)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义． 3．有理数指数幂的运算性质 (1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)． (2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)． (3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)． 4．指数函数的概念 函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R，a是底数． 说明：形如y＝kax，y＝ax＋k(k∈R且k≠0，a>0且a≠1)的函数叫做指数型函数． 5．指数函数的图象和性质 底数 a>1 0<a<1 图象 性质 函数的定义域为R，值域为(0，＋∞) 函数图象过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1 当x>0时，恒有y>1; 当x<0时，恒有0<y<1 当x>0时，恒有0<y<1； 当x<0时，恒有y>1 增函数 减函数 1．()n＝a(n∈N*且n>1)． 2.＝ 3．底数对函数y＝ax(a>0，且a≠1)的函数值的影响如图(a1>a2>a3>a4)，不论是a>1，还是0<a<1，在第一象限内底数越大，函数图象越高． 4．当a>0，且a≠1时，函数y＝ax与函数y＝的图象关于y轴对称． 1．(人教A必修第一册习题4.1 T1改编)化简(x<0，y<0)得(　　) A．2x2y B．2xy C．4x2y D．－2x2y 答案　D 解析　因为x<0，y<0，所以＝＝|2x2y|＝－2x2y. 2．(人教A必修第一册习题4.1 T7(1)改编)已知5m＝10，5n＝2，则5＝(　　) A．2 B．3 C．20 D．5 答案　D 解析　5＝＝＝＝＝5. 3．函数f(x)＝ax－2023＋2023(a＞0，且a≠1)的图象过定点A，则点A的坐标为________． 答案　(2023，2024) 解析　令x－2023＝0，得x＝2023，又f(2023)＝2024，故点A的坐标为(2023，2024)． 4．(人教A必修第一册习题4.2 T6改编)设a＝0.993.3，b＝0.994.5，c＝1.10.99，则a，b，c的大小关系为________． 答案　b<a<c 解析　因为函数y＝0.99x在R上单调递减，所以0.993.3>0.994.5，即a>b，又因为0.993.3<0.990＝1，1.10.99>1.10＝1，所以0.993.3<1.10.99，即a<c.综上可知，b<a<c. 5．已知函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)在[1，2]上的最大值比最小值大，则a的值为________． 答案　或 解析　当0＜a＜1时，a－a2＝，∴a＝；当a＞1时，a2－a＝，∴a＝.综上所述，a＝或. 考向一　指数幂的运算 例1　求值与化简： (1)8×100－××－； (2)(a>0，b>0)； (3)÷(a>0)； (4)已知a>0，a＋a－＝3，求的值． 解　(1)原式＝(23)×(102)-×(2－2)－3×-＝22×10－1×26×＝. (2)原式＝＝a－－－b＋－＝. (3)原式＝(aa－)÷(a－a)＝(a3)÷(a2)＝a÷a＝1. (4)将a＋a－＝3两边平方，得a＋a－1＋2＝9， 所以a＋a－1＝7. 将a＋a－1＝7两边平方，得a2＋a－2＋2＝49，所以a2＋a－2＝47， 所以＝＝6. 指数幂运算的一般原则 (1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数． (3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数，先化成假分数． (4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答． (5)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数，形式力求统一． 　1.＝________． 答案　a4 解析　原式＝[(a)]4[(a)]4＝a2·a2＝a4. 2．已知3a＋2b＝1，则＝________． 答案　 解析　因为3a＋2b＝1，所以a＋b＝，所以原式＝＝32a＋b－a＝3a＋b＝3＝. 3．化简：(a>0，b>0)． 解　原式＝＝a＋－1＋·b1＋－2－＝ab－1＝. 4．计算：0.027－－＋－(－1)0. 解　原式＝(0.33)－－72＋－1＝－49＋－1＝－45. 考向二　指数函数的图象及其应用 例2　(1)(多选)已知实数a，b满足等式2023a＝2024b，则下列关系式有可能成立的是(　　) A．0<b<a B．a<b<0 C．0<a<b D．a＝b 答案　ABD 解析　在同一坐标系下画出y＝2023x与y＝2024x的图象，结合图象可知A，B，D可能成立．故选ABD. (2)若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a>0，且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是________． 答案　 解析　①当0<a<1时，y＝|ax－1|的图象如图1.因为y＝2a与y＝|ax－1|的图象有两个交点，所以0<2a<1，所以0<a<；②当a>1时，y＝|ax－1|的图象如图2，而此时直线y＝2a不可能与y＝|ax－1|的图象有两个交点．综上，a的取值范围是. 处理指数图象问题的策略 (1)抓住特殊点 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象过定点(0，1)，与直线x＝1的交点坐标为(1，a)． (2)巧用图象变换 常见的变换有：①函数y＝ax＋b(a>0，且a≠1)的图象可由指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象向左(b>0)或向右(b<0)平移|b|个单位长度得到； ②函数y＝ax＋b的图象可由指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象向上(b>0)或向下(b<0)平移|b|个单位长度得到； ③函数y＝a|x|的图象关于y轴对称，当x≥0时，其图象与指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)在[0，＋∞)的图象相同；当x<0时，其图象与x≥0时的图象关于y轴对称． 　1.(2023·天津滨海七校二模)函数f(x)＝的图象大致为(　　) 答案　B 解析　作出函数y＝＝的图象，如图所示，将y＝的图象向左平移1个单位得到f(x)＝的图象．故选B. 2．定义区间[x1，x2](x1<x2)的长度为x2－x1.已知函数y＝2|x|的定义域为[a，b]，值域为[1，2]，则区间[a，b]的长度的最大值与最小值的差为(　　) A. B．1 C. D．2 答案　B 解析　如图是函数y＝2|x|在值域为[1，2]上的图象．使函数y＝2|x|的值域为[1，2]的定义域区间中，长度最小的区间为[－1，0]或[0，1]，长度最大的区间为[－1，1]，从而由定义可知区间[a，b]的长度的最大值与最小值的差为2－1＝1.故选B. 多角度探究突破 考向三　指数函数的性质及其应用 角度　比较指数幂的大小 例3　(1)(2023·淮南一模)设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a>c>b B．a>b>c C．b>c>a D．b>a>c 答案　A 解析　∵函数y＝x是(0，＋∞)上的增函数，<，∴b<c.∵函数y＝是R上的减函数，<，∴a>c.综上，a>c>b.故选A. (2)(2023·沈阳模拟)若p：0<a<b；q：4a－4b<5－a－5－b，则p是q的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　A 解析　设f(x)＝4x－5－x，则函数f(x)为增函数，则由4a－4b<5－a－5－b，即4a－5－a<4b－5－b可得a<b，所以0<a<b是4a－4b<5－a－5－b的充分不必要条件．故选A. 比较指数式大小的方法 比较两个指数式的大小时，尽量化成同底或同指． (1)当底数相同，指数不同时，构造同一指数函数，然后利用指数函数的性质比较大小． (2)当指数相同，底数不同时，构造两个指数函数，利用图象比较大小；或构造同一幂函数，然后利用幂函数的性质比较大小． (3)当底数不同，指数也不同时，常借助1，0等中间量进行比较． 　1.下列各式比较大小正确的是(　　) A．1.72.5>1.73 B.<2－ C．1.70.3<0.93.1 D.< 答案　D 解析　∵y＝1.7x为增函数，∴1.72.5<1.73，故A不正确；∵2－＝，y＝为减函数，∴>＝2－，故B不正确；∵1.70.3>1，而0.93.1∈(0，1)，∴1.70.3>0.93.1，故C不正确；∵y＝为减函数，∴<，又y＝x在(0，＋∞)上单调递增，∴<，∴<<，故D正确． 2．(2024·宿迁模拟)设<<<1，那么(　　) A．aa<ab<ba B．aa<ba<ab C．ab<aa<ba D．ab<ba<aa 答案　C 解析　∵<<<1且y＝在R上是减函数，∴0<a<b<1，∴指数函数y＝ax在R上是减函数，∴ab<aa，∴幂函数y＝xa在R上是增函数，∴aa<ba，∴ab<aa<ba.故选C. 角度解简单的指数方程或不等式 例4　(1)已知实数a≠1，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(a－1)，则a的值为________． 答案　 解析　①当a<1时，由f(1－a)＝f(a－1)得41－a＝2a－(a－1)，即22－2a＝2，所以2－2a＝1，解得a＝；②当a>1时，由f(1－a)＝f(a－1)得2a－(1－a)＝4a－1，即22a－1＝22a－2，所以2a－1＝2a－2，无解．综上可知，a＝. (2)(2023·邯郸一模)不等式10x－6x－3x≥1的解集为________． 答案　[1，＋∞) 解析　由10x－6x－3x≥1，可得＋＋≤1，令f(x)＝＋＋，因为y＝，y＝，y＝均为R上的减函数，则f(x)在R上单调递减，且f(1)＝1，所以f(x)≤f(1)，所以x≥1，故不等式10x－6x－3x≥1的解集为[1，＋∞)． 1．解指数方程的依据 af(x)＝ag(x)(a>0，且a≠1)⇔f(x)＝g(x)． 2．解指数不等式的思路方法 对于形如ax>ab(a>0，且a≠1)的不等式，需借助函数y＝ax的单调性求解，如果a的取值不确定，则需分a>1与0<a<1两种情况讨论；而对于形如ax>b的不等式，需先将b转化为以a为底的指数幂的形式，再借助函数y＝ax的单调性求解． 　1.若x满足不等式2x2＋1≤，则函数y＝2x的值域是(　　) A. B. C. D．[2，＋∞) 答案　B 解析　将2x2＋1≤化为x2＋1≤－2(x－2)，即x2＋2x－3≤0，解得x∈[－3，1]，所以2－3≤2x≤21，所以函数y＝2x的值域是. 2．方程4x＋|1－2x|＝11的解为________． 答案　x＝log23 解析　当x≥0时，原方程化为4x＋2x－12＝0，即(2x)2＋2x－12＝0，∴(2x－3)(2x＋4)＝0，∴2x＝3，即x＝log23；当x<0时，原方程化为4x－2x－10＝0，令t＝2x，则t2－t－10＝0(0<t<1)．由求根公式得t＝均不符合题意，故x<0时，方程无解．综上，原方程的解为x＝log23. 角度　指数函数性质的综合应用 例5　(1)(2023·大庆二模)已知函数f(x)＝，则(　　) A．f(0.1)>f(0.2) B．函数f(x)有一个零点 C．函数f(x)是偶函数 D．函数f(x)的图象关于点对称 答案　D 解析　函数f(x)＝的定义域为R.对于A，函数f(x)＝＝1－，函数y＝4x在R上为增函数，易得f(x)在R上为增函数，则有f(0.1)<f(0.2)，A错误；对于B，f(x)＝，有4x>0，则有f(x)>0，所以f(x)没有零点，B错误；对于C，f(1)＝＝，f(－1)＝＝，所以f(1)≠f(－1)，f(x)不是偶函数，C错误；对于D，因为f(x)＝，所以f(1－x)＝＝＝，所以f(x)＋f(1－x)＝1，所以函数f(x)的图象关于点对称，D正确．故选D. (2)已知函数f(x)＝(a∈R)．若a＝－1，则函数f(x)的单调递增区间为________；若f(x)的值域是(0，＋∞)，则a＝________． 答案　[－2，＋∞)　0 解析　当a＝－1时，f(x)＝，令g(x)＝－x2－4x＋3，由于g(x)在(－∞，－2]上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y＝在R上单调递减，所以f(x)在(－∞，－2]上单调递减，在[－2，＋∞)上单调递增，即函数f(x)的单调递增区间是[－2，＋∞)．令h(x)＝ax2－4x＋3，f(x)＝，由指数函数的性质知，要使f(x)＝的值域为(0，＋∞)．应使h(x)＝ax2－4x＋3的值域为R，因此只能a＝0(因为若a≠0，则h(x)为二次函数，其值域不可能为R)，故f(x)的值域为(0，＋∞)时，a的值为0. 指数函数综合问题的处理策略 (1)涉及最值(或值域)的问题，通常要先对函数解析式进行变形，然后逐步求函数的最值． (2)涉及单调性的问题，一方面要注意底数对指数函数单调性的影响；另一方面要注意借助“同增异减”这一性质分析判断． 　1.若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0，且a≠1)满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是(　　) A．(－∞，2] B．[2，＋∞) C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2] 答案　B 解析　由f(1)＝，得a2＝，所以a＝或a＝－(舍去)，即f(x)＝，由于y＝|2x－4|在(－∞，2]上单调递减，在[2，＋∞)上单调递增，y＝在(－∞，＋∞)上单调递减，所以f(x)在(－∞，2]上单调递增，在[2，＋∞)上单调递减．故选B. 2．(2023·银川校联考二模)已知函数f(x)＝4x－2x＋2－1，x∈[0，3]，则其值域为________． 答案　[－5，31] 解析　令t＝2x，∵x∈[0，3]，∴1≤t≤8，∴g(t)＝t2－4t－1＝(t－2)2－5，t∈[1，8]，又y＝g(t)的图象关于直线t＝2对称，开口向上，∴g(t)在[1，2)上单调递减，在(2，8]上单调递增，且|8－2|>|2－1|，∴当t＝2时，函数取得最小值，即g(t)min＝－5，当t＝8时，函数取得最大值，即g(t)max＝31，∴f(x)的值域为[－5，31]． 课时作业 一、单项选择题 1．化简(a>0，c<0)的结果为(　　) A．± B．－ C．－ D. 答案　B 解析　原式＝＝＝·＝－.故选B. 2．(a2－a＋2)－x－1<(a2－a＋2)2x＋5的解集为(　　) A．(－∞，－4) B．(－4，＋∞) C．(－∞，－2) D．(－2，＋∞) 答案　D 解析　∵a2－a＋2＝＋>1，∴－x－1<2x＋5，∴x>－2.故选D. 3．(2024·滁州模拟)函数f(x)＝xa－2与g(x)＝在(0，＋∞)上均单调递减的一个充分不必要条件是(　　) A．a∈(0，2) B．a∈[0，1) C．a∈[1，2) D．a∈(1，2] 答案　C 解析　函数f(x)＝xa－2在(0，＋∞)上单调递减，可得a－2<0，即a<2；函数g(x)＝＝在(0，＋∞)上单调递减，可得0<<1，解得0<a<4，若函数f(x)＝xa－2与g(x)＝均单调递减，可得0<a<2，由题意可得所求区间真包含于(0，2)，结合选项，函数f(x)＝xa－2与g(x)＝均单调递减的一个充分不必要条件是a∈[1，2)．故选C. 4．(2023·南昌模拟)草莓中有多种氨基酸、微量元素、维生素，能够调节免疫功能，增强机体免疫力．草莓味甘、性凉，有润肺生津，健脾养胃等功效，受到众人的喜爱．根据草莓单果的重量，可将其从小到大依次分为4个等级，其等级x(x＝1，2，3，4)与其对应等级的市场销售单价y(单位：元/千克)近似满足函数关系式y＝eax＋b.若花同样的钱买到的1级草莓比4级草莓多1倍，且1级草莓的市场销售单价为24元/千克，则3级草莓的市场销售单价最接近(参考数据：≈1.26，≈1.59)(　　) A．30.24元/千克 B．33.84元/千克 C．38.16元/千克 D．42.64元/千克 答案　C 解析　由题意可知＝e3a＝2，ea＝，由ea＋b＝24，则e3a＋b＝ea＋b·e2a＝24e2a＝24×≈38.16.故选C. 5．(2023·唐山模拟)不等式≤的解集是(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　在同一坐标系中作出y＝，y＝的图象，如图所示，由＝得x＝，结合图象知，不等式≤的解集是. 6．(2024·盐城模拟)设函数f(x)＝3x＋b，函数f(x)的图象经过第一、三、四象限，则g(b)＝f(b)－f(b－1)的取值范围为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　由函数f(x)＝3x＋b的图象经过第一、三、四象限，可得b<－1，所以g(b)＝f(b)－f(b－1)＝3b－3b－1＝3b·＝·3b<×3－1＝，又因为·3b>0，所以g(b)＝f(b)－f(b－1)的取值范围为.故选A. 7．若关于x的方程＋a－2＝0有解，则a的取值范围是(　　) A．[0，1) B．[1，2) C．[1，＋∞) D．(2，＋∞) 答案　B 解析　＋a－2＝0有解等价于2－a＝有解．因为函数y＝的值域为(0，1]，所以0<2－a≤1，解得1≤a<2. 8．(2023·全国甲卷)已知函数f(x)＝e－(x－1)2.记a＝f，b＝f，c＝f，则(　　) A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b 答案　A 解析　函数f(x)＝e－(x－1)2是由函数y＝eu和u＝－(x－1)2复合而成的复合函数，y＝eu为R上的增函数，u＝－(x－1)2在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以由复合函数的单调性可知，f(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．易知f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以c＝f＝f，又＜2－＜＜1，所以f＜f＜f，所以b＞c＞a.故选A. 二、多项选择题 9．(2024·福建师大附中高三月考)已知函数f(x)＝a·＋b的图象过原点，且无限接近直线y＝2，但又不与该直线相交，则下列说法正确的是(　　) A．a＋b＝0 B．若f(x)＝f(y)，且x≠y，则x＋y＝0 C．若x＜y＜0，则f(x)＜f(y) D．f(x)的值域为[0，2) 答案　ABD 解析　∵f(x)＝a·＋b的图象过原点，∴a·＋b＝0，∴a＋b＝0，故A正确；由f(x)的图象无限接近直线y＝2，但又不与该直线相交，则b＝2，又a＋b＝0，则a＝－2，则f(x)＝－2·＋2，其定义域为R，∵f(－x)＝－2·＋2＝f(x)，则f(x)是偶函数，∵f(x)在(0，＋∞)上为增函数，在(－∞，0)上为减函数，∴若f(x)＝f(y)，且x≠y，则x＝－y，x＋y＝0，故B正确；∵f(x)在(－∞，0)上为减函数，∴当x＜y＜0时，f(x)＞f(y)，故C错误；∵0<≤1，∴－2≤－2·<0，∴0≤－2·＋2＜2，∴f(x)的值域为[0，2)，故D正确．故选ABD. 10．(2023·淄博模拟)关于函数f(x)＝的性质，下列说法中正确的是(　　) A．函数f(x)的定义域为R B．函数f(x)的值域为(0，＋∞) C．方程f(x)＝x有且只有一个实根 D．函数f(x)的图象是中心对称图形 答案　ACD 解析　函数f(x)＝的定义域为R，所以A正确；因为y＝4x在定义域内单调递增，所以函数f(x)＝在定义域内单调递减，所以函数f(x)的值域为，所以方程f(x)＝x只有一个实根，所以B不正确，C正确；因为f(x＋1)＋f(－x)＝＋＝＋＝，所以f(x)的图象关于点对称，所以D正确．故选ACD. 11．(2024·武汉质量评估)若实数a，b满足2a＋3a＝3b＋2b，则下列关系式中可能成立的是(　　) A．0<a<b<1 B．b<a<0 C．1<a<b D．a＝b 答案　ABD 解析　设f(x)＝2x＋3x，g(x)＝3x＋2x，f(x)和g(x)在(－∞，＋∞)上均为增函数，且f(0)＝g(0)，f(1)＝g(1)．当x∈(－∞，0)时，f(x)<g(x)；当x∈(0，1)时，f(x)>g(x)；当x∈(1，＋∞)时，f(x)<g(x)．由函数f(x)与g(x)的图象可知(图略)，若f(a)＝2a＋3a＝3b＋2b＝g(b)，则b<a<0或0<a<b<1或1＜b＜a或a＝b.故选ABD. 三、填空题 12．(2023·长沙一模)使得“2x>4x2”成立的一个充分条件是________． 答案　0<x<(答案不唯一) 解析　由于4x2＝22x2，故2x>4 x2等价于x>2x2，解得0<x<，使得“2x>4x2”成立的一个充分条件只需为集合的子集即可，故答案可以为. 13．(2024·皖江名校模拟)已知函数f(x)＝a|x＋1|(a>0，且a≠1)的值域为[1，＋∞)，则a的取值范围为________，f(－4)与f(1)的大小关系是________． 答案　(1，＋∞)　f(－4)>f(1) 解析　因为|x＋1|≥0，函数f(x)＝a|x＋1|(a>0，且a≠1)的值域为[1，＋∞)，所以a>1.由于函数f(x)＝a|x＋1|在(－1，＋∞)上是增函数，且它的图象关于直线x＝－1对称，则函数f(x)在(－∞，－1)上是减函数，故f(1)＝f(－3)，f(－4)>f(－3)＝f(1)． 14．已知函数y＝9x＋m·3x－3在区间[－2，2]上单调递减，则m的取值范围为________． 答案　(－∞，－18] 解析　设t＝3x，则y＝9x＋m·3x－3＝t2＋mt－3.因为x∈[－2，2]，所以t∈.又函数y＝9x＋m·3x－3在区间[－2，2]上单调递减，即y＝t2＋mt－3在区间上单调递减，故有－≥9，解得m≤－18.所以m的取值范围为(－∞，－18]． 四、解答题 15．已知函数f(x)＝x3(a>0，且a≠1)． (1)讨论函数f(x)的奇偶性； (2)求a的取值范围，使f(x)>0在定义域上恒成立． 解　(1)由于ax－1≠0，则ax≠1，得x≠0， ∴函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称， 对于定义域内任意x，有 f(－x)＝(－x)3＝(－x)3＝(－x)3＝x3＝f(x)， ∴函数f(x)为偶函数． (2)由(1)知f(x)为偶函数， ∴只需讨论x>0时的情况． 当x>0时，要使f(x)>0， 则x3>0， 即＋>0，即>0，则ax>1. 又x>0，∴a>1. ∴当a∈(1，＋∞)时，f(x)>0在定义域上恒成立． 16．(2024·莆田模拟)已知函数f(x)＝是定义域为R的奇函数． (1)求实数b的值，并证明函数f(x)在R上单调递增； (2)已知a>0且a≠1，若对于任意的x1，x2∈[1，3]，都有f(x1)＋≥ax2－2恒成立，求实数a的取值范围． 解　(1)因为函数f(x)＝是定义域为R的奇函数， 则f(0)＝＝0，解得b＝－1，此时f(x)＝＝1－. 对任意的x∈R，3x＋1>0，即函数f(x)的定义域为R， f(－x)＝＝＝＝－f(x)，即函数f(x)为奇函数，符合题意． 任取t1，t2∈R且t1<t2，则0<3t1<3t2， 所以f(t1)－f(t2)＝－＝<0， 则f(t1)<f(t2)， 所以函数f(x)在R上单调递增． (2)由(1)可知，函数f(x)在[1，3]上为增函数， 对于任意的x1，x2∈[1，3]，都有f(x1)＋≥ax2－2， 则a x2－2－≤f(1)＝，所以a x2－2≤2， 因为x2∈[1，3]，所以x2－2∈[－1，1]． 当0<a<1时，则有a－1≤2，解得≤a<1； 当a>1时，则有a≤2，此时1<a≤2. 综上所述，实数a的取值范围是∪(1，2]． 20 学科网（北京）股份有限公司 $$