第3章 第1讲 函数的概念及其表示-【金版教程】2025年高考数学一轮复习创新方案word（新教材，提升版）

金版教程 高考科学复习创新方案 数学(提升版) 第1讲　函数的概念及其表示 [课程标准]1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念，体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用.2.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域.3.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数，理解函数图象的作用.4.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用． 1．函数的定义 前提 设A，B是两个非空的实数集 对应关系 对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应 名称 称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 记法 y＝f(x)，x∈A 2.函数的定义域、值域 在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域． 3．函数的三要素：定义域、对应关系和值域． 4．同一个函数：如果两个函数的定义域相同，且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数． 5．函数的表示法 表示函数的常用方法有：解析法、列表法、图象法． 6．分段函数 (1)定义：若函数在定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数． (2)定义域和值域：分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集． (3)注意点：分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数． 双勾函数 定义 图象 y＝ax＋(ab>0) 1．下列关于x，y的关系中，y是x的函数的是(　　) A．y＝＋ B．y2＝4x C．y＝ 答案　D 解析　对于A，由解得x∈∅，所以y不是x的函数；对于B，当x>0时，有两个y与x对应，所以y不是x的函数；对于C，当x＝1时，有两个y与x对应，所以y不是x的函数；对于D，满足y是x的函数．故选D. 2．(多选)(人教A必修第一册习题3.1 T2改编)下列四组函数中，表示同一个函数的是(　　) A．y＝x－1与y＝ B．y＝与y＝ C．f(x)＝x2－2x－1与g(s)＝s2－2s－1 D．y＝()3与y＝x 答案　CD 解析　对于A，y＝x－1与y＝＝|x－1|的对应关系不同，两函数不是同一个函数；对于B，y＝的定义域为[1，＋∞)，y＝的定义域为(1，＋∞)，定义域不同，两函数不是同一个函数；对于C，两个函数的定义域、对应关系都相同，是同一个函数；对于D，y＝()3＝x的定义域为R，y＝x的定义域为R，定义域、对应关系都相同，两函数是同一个函数．故选CD. 3．(2024·重庆一中月考)设函数f(x)＝则f(f(3))的值为________． 答案　－7 解析　根据题意，函数f(x)＝则f(3)＝1－3＝－2，f(f(3))＝f(－2)＝－8＋1＝－7. 4．(人教A必修第一册习题3.1 T11改编)函数y＝f(x)的图象如图所示，那么f(x)的定义域是________，值域是________，其中只有唯一的x值与之对应的y值的范围是________． (注：图中f(x)的图象与直线x＝3无限靠近但无公共点) 答案　[－3，0]∪(1，3)　(0，＋∞)　(0，1)∪(4，＋∞) 解析　求f(x)的定义域可看f(x)的图象上所有点的横坐标的取值构成的集合，易知为[－3，0]∪(1，3)；求f(x)的值域可看f(x)的图象上所有点的纵坐标的取值构成的集合，易知为(0，＋∞)；作直线y＝m，可知当m∈(0，1)∪(4，＋∞)时，直线y＝m与f(x)的图象有唯一公共点，所以只有唯一的x值与之对应的y值的范围是(0，1)∪(4，＋∞)． 5．(2023·合肥模拟)若f(＋1)＝x－1，则f(x)＝________． 答案　x2－2x，x≥1 解析　令＋1＝t，则x＝(t－1)2，t≥1，于是有f(t)＝(t－1)2－1＝t2－2t，t≥1，所以f(x)＝x2－2x，x≥1. 多角度探究突破 考向一　函数的定义域 角度　求具体函数的定义域 例1　(1)(2023·常州一模)函数f(x)＝的定义域为________． 答案　(3，4)∪(4，＋∞) 解析　函数f(x)＝有意义，需满足解得x>3且x≠4，故函数f(x)的定义域为(3，4)∪(4，＋∞)． (2)已知函数f(x)＝的定义域是R，则实数a的取值范围是________． 答案　(－12，0] 解析　因为函数f(x)＝的定义域是R，所以ax2＋ax－3≠0对任意实数x都成立．当a＝0时，显然成立；当a≠0时，需Δ＝a2＋12a<0，解得－12<a<0.综上所述，实数a的取值范围为(－12，0]． 1．求具体函数的定义域的策略 根据函数解析式，构造使解析式有意义的不等式(组)，求解不等式(组)即可；对实际问题，既要使函数解析式有意义，又要使实际问题有意义． 2．使函数解析式有意义的常见限制条件 (1)分式型要满足f(x)≠0. (2)根式型(n∈N*)要满足f(x)≥0. (3)幂函数型[f(x)]0要满足f(x)≠0. (4)对数型logaf(x)(a>0，且a≠1)要满足f(x)>0. 　(2024·江门棠下中学月考)函数f(x)＝＋的定义域为(　　) A．(－3，0]∪(3，＋∞) B．(－3，0)∪(0，3) C．[0，3) D．(0，3) 答案　C 解析　∵f(x)＝＋，∴解得0≤x<3，故函数f(x)的定义域为[0，3)．故选C. 角度　求抽象函数的定义域 例2　(1)(2023·河南顶级名校模拟)已知函数f(x)＝log2，f(x＋1)的定义域为M，f(2x)的定义域为N，则(　　) A．M＝N B．M∩N＝∅ C．M⊆N D．N⊆M 答案　B 解析　由＞0，解得0＜x＜1，所以函数f(x)的定义域是(0，1)．由0＜x＋1＜1得－1＜x＜0，所以f(x＋1)的定义域M＝{x|－1＜x＜0}，由0＜2x＜1得0＜x＜，所以f(2x)的定义域N＝，所以M∩N＝∅.故选B. (2)已知函数y＝f(x2－1)的定义域为[－，]，则函数y＝f(x)的定义域为________． 答案　[－1，2] 解析　因为y＝f(x2－1)的定义域为[－，]，所以x∈[－，]，x2－1∈[－1，2]，所以函数y＝f(x)的定义域为[－1，2]． 　(2023·衡水模拟)已知函数y＝f(x)的定义域为[0，4]，则函数y＝＋(x－2)0的定义域是(　　) A．[1，5] B．(1，2)∪(2，5) C．(1，2)∪(2，3] D．[1，2)∪(2，3] 答案　C 解析　由题意，函数y＝f(x)的定义域为[0，4]，即x∈[0，4]，则函数y＝＋(x－2)0满足解得1＜x≤3且x≠2，所以函数y＝＋(x－2)0的定义域是(1，2)∪(2，3]．故选C. 考向二　求函数的解析式 例3　(1)(2023·哈尔滨模拟)已知f＝lg x，则f(x)的解析式为________________． 答案　f(x)＝lg (x>1) 解析　(换元法)令＋1＝t(t>1)，则x＝，所以f(t)＝lg (t>1)，所以f(x)＝lg (x>1)． (2)已知函数f(x)是一次函数，若f(f(x))＝4x＋8，则f(x)＝________． 答案　2x＋或－2x－8 解析　(待定系数法)设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则f(f(x))＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b，又f(f(x))＝4x＋8，所以a2x＋ab＋b＝4x＋8，即解得或所以f(x)＝2x＋或f(x)＝－2x－8. (3)已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f(x)＝2f·－1，则f(x)＝________． 答案　＋ 解析　(解方程组法)在f(x)＝2f·－1中，将x换成，则换成x，得f＝2f(x)·－1，由解得f(x)＝＋. 求函数解析式的四种方法 　1.若f(x)为二次函数且f(0)＝3，f(x＋2)－f(x)＝4x＋2，则f(x)的解析式为________． 答案　f(x)＝x2－x＋3 解析　设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，又f(0)＝c＝3，所以f(x)＝ax2＋bx＋3，所以f(x＋2)－f(x)＝a(x＋2)2＋b(x＋2)＋3－(ax2＋bx＋3)＝4ax＋4a＋2b＝4x＋2，所以解得故所求函数的解析式为f(x)＝x2－x＋3. 2．已知f(x)＋3f(－x)＝2x＋1，则f(x)＝________． 答案　－x＋ 解析　由已知得f(－x)＋3f(x)＝－2x＋1，解方程组得f(x)＝－x＋. 3．已知f＝x2＋，则f(x)＝________． 答案　x2－2(x≥2或x≤－2) 解析　f＝x2＋＝－2＝－2，所以f(x)＝x2－2(x≥2或x≤－2)． 多角度探究突破 考向三　分段函数 角度　分段函数求值问题 例4　(2023·衡水中学调研)已知f(x)＝x2－1，g(x)＝ (1)求f(g(2))与g(f(2))； (2)求f(g(x))与g(f(x))的解析式． 解　(1)由已知条件可得g(2)＝1，f(2)＝3， 因此f(g(2))＝f(1)＝0，g(f(2))＝g(3)＝2. (2)当x>0时，g(x)＝x－1， 故f(g(x))＝(x－1)2－1＝x2－2x； 当x<0时，g(x)＝2－x， 故f(g(x))＝(2－x)2－1＝x2－4x＋3. 所以f(g(x))＝ 当x>1或x<－1时，f(x)>0， 故g(f(x))＝f(x)－1＝x2－2； 当－1<x<1时，f(x)<0， 故g(f(x))＝2－f(x)＝3－x2. 所以g(f(x))＝ 分段函数求值的策略 (1)求分段函数的函数值时，要先确定所求值的自变量属于哪一个区间，然后代入该区间对应的解析式求值． (2)当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值． (3)当自变量的值所在区间不确定时，要分类讨论，分类标准应参照分段函数不同段的端点． 　(2024·河南省“顶尖计划”第一次考试)已知函数f(x)＝则f＝________． 答案　3 解析　因为>0，故f＝log3＝－1，又－1<0，故f＝f(－1)＝31＝3. 角度　分段函数与方程、不等式问题 例5　(1)已知函数f(x)＝若f(f(a))＝2，则a＝(　　) A．0或1 B．－1或1 C．0或－2 D．－2或－1 答案　D 解析　令f(a)＝t，则f(t)＝2，可得t＝0或t＝1，当t＝0时，即f(a)＝0，显然a≤0，因此a＋2＝0⇒a＝－2；当t＝1时，即f(a)＝1，显然a≤0，因此a＋2＝1⇒a＝－1.综上所述，a＝－2或a＝－1. (2)(2024·苏州常熟中学阶段考试)设函数f(x)＝则满足f(x＋1)<f(2x)的x的取值范围是(　　) A．(－∞，－1] B．(0，＋∞) C．(－1，0) D．(－∞，0) 答案　D 解析　根据题意作出函数f(x)的图象如图所示，结合图象知，满足f(x＋1)<f(2x)，则或所以x<0.故选D. 解决分段函数与方程、不等式问题的基本策略 (1)分类讨论：根据分段函数的不同分段区间进行分类讨论，根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值(取值范围)是否符合相应段的自变量的取值范围． (2)数形结合：解决分段函数问题时，通过画出函数的图象，对代数问题进行转化，结合图象直观地分析判断，可以快速准确地解决问题． 　1.设函数f(x)＝若f(a)＞a，则实数a的取值范围是________． 答案　(－∞，－1) 解析　当a≥0时，f(a)＝a－1，由f(a)＞a，解得a＜－2，矛盾；当a＜0时，f(a)＝，由f(a)＞a，解得a＜－1.所以实数a的取值范围为(－∞，－1)． 2．(2023·北京第101中学模拟)函数f(x)＝则f＝________；方程f(－x)＝的解是________． 答案　－2　－或1 解析　由解析式知，f＝log2＝－2.因为f(－x)＝，所以当－x≤0，即x≥0时，2－x＝，得x＝1，符合题意；当－x>0，即x<0时，log2(－x)＝，得x＝－，符合题意．所以f(－x)＝的解是－或1. 课时作业 一、单项选择题 1．(2024·广州模拟)设函数y＝的定义域为A，函数y＝ln (1－x)的定义域为B，则A∩B＝(　　) A．(1，4) B．(1，4] C．[－4，1) D．(－4，1) 答案　C 解析　因为函数y＝的定义域为{x|16－x2≥0}，即A＝{x|－4≤x≤4}，函数y＝ln (1－x)的定义域为{x|1－x>0}，即B＝{x|x<1}，所以A∩B＝{x|－4≤x<1}．故选C. 2．中国清朝数学家李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“function”译作：“函数”，沿用至今．为什么这么翻译？书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”.1930年美国人给出了我们课本中所学的集合论的函数定义．已知集合M＝{－1，1，2，4}，N＝{1，2，4，16}，给出下列四个对应法则： ①y＝log2|x|；②y＝x＋1；③y＝2|x|；④y＝x2.其中能构成从M到N的函数的个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　B 解析　在①中，当x＝±1时，y＝log21＝0∉N，故①不能构成从M到N的函数；在②中，当x＝－1时，y＝－1＋1＝0∉N，故②不能构成从M到N的函数；在③中，任取x∈M，总有y＝2|x|∈N，故③能构成从M到N的函数；在④中，任取x∈M，总有y＝x2∈N，故④能构成从M到N的函数．故选B. 3．(2023·镇江模拟)若函数y＝f(2x)的定义域为[－2，4]，则y＝f(x)－f(－x)的定义域为(　　) A．[－2，2] B．[－2，4] C．[－4，4] D．[－8，8] 答案　C 解析　因为函数y＝f(2x)的定义域为[－2，4]，可得－4≤2x≤8，所以函数y＝f(x)的定义域为[－4，8]，对于函数y＝f(x)－f(－x)，则有解得－4≤x≤4，因此函数y＝f(x)－f(－x)的定义域为[－4，4]．故选C. 4．(2023·重庆模拟)已知函数f(1－x)＝(x≠0)，则f(x)＝(　　) A.－1(x≠0) B.－1(x≠1) C.－1(x≠0) D.－1(x≠1) 答案　B 解析　令t＝1－x，则x＝1－t，且x≠0，则t≠1，可得f(t)＝＝－1(t≠1)，所以f(x)＝－1(x≠1)．故选B. 5．若二次函数g(x)满足g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象过原点，则g(x)的解析式为(　　) A．g(x)＝2x2－3x B．g(x)＝3x2－2x C．g(x)＝3x2＋2x D．g(x)＝－3x2－2x 答案　B 解析　二次函数g(x)满足g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象过原点，可设二次函数g(x)的解析式为g(x)＝ax2＋bx(a≠0)，可得解得a＝3，b＝－2，所以二次函数g(x)的解析式为g(x)＝3x2－2x.故选B. 6．(2024·南昌模拟)已知函数f(x)＝若f(a－3)＝f(a＋2)，则f(a)＝(　　) A．2 B. C．1 D．0 答案　B 解析　作出函数f(x)的图象，如图所示．因为f(a－3)＝f(a＋2)，且a－3<a＋2，所以即－2<a≤3，此时f(a－3)＝a－3＋3＝a，f(a＋2)＝，所以a＝，即a2＝a＋2，解得a＝2或a＝－1(不满足a＝，舍去)，所以f(a)＝. 7．若函数y＝的定义域为R，则实数a的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　要使函数的定义域为R，则ax2－4ax＋2>0恒成立．①当a＝0时，不等式为2>0，恒成立；②当a≠0时，要使不等式恒成立，则即解得0<a<.由①②得0≤a<.故选D. 8．(2024·宝鸡实验高级中学质检)取整函数[x]表示不超过x的最大整数，如[1.2]＝1，[3.9]＝3，[－1.5]＝－2，下列关于“取整函数”的命题中，为真命题的是(　　) A．∀x∈R，[2x]＝2[x] B．∀x，y∈R，[x]＝[y]，则x－y≥1 C．∃x∈R，[2x]＝2[x] D．∀x，y∈R，[x＋y]≤[x]＋[y] 答案　C 解析　当x＝1.5时，[2x]＝[3]＝3，但2[x]＝2[1.5]＝2×1＝2，故A为假命题；设[x]＝[y]＝k∈Z，则k≤x<k＋1，k≤y<k＋1，∴x－y<1，故B为假命题；当x＝2时，[2x]＝[4]＝4＝2[2]＝2[x]，故C为真命题；当x＝0.5，y＝0.6时，有[x]＋[y]＝0，但[x＋y]＝[1.1]＝1>[x]＋[y]，故D为假命题． 二、多项选择题 9．(2024·济宁调研)下列四组函数中，f(x)与g(x)是同一个函数的是(　　) A．f(x)＝ln x2，g(x)＝2ln x B．f(x)＝x，g(x)＝()2 C．f(x)＝x0，g(x)＝ D．f(x)＝x，g(x)＝logaax(a>0且a≠1) 答案　CD 解析　对于A，f(x)的定义域为{x|x≠0}，g(x)的定义域为{x|x>0}，两个函数的定义域不相同，不是同一个函数；对于B，f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为{x|x≥0}，两个函数的定义域不相同，不是同一个函数；对于C，f(x)＝x0＝1的定义域为{x|x≠0}，g(x)＝＝1的定义域为{x|x≠0}，两函数的定义域和对应关系都相同，是同一个函数；对于D，g(x)＝logaax＝x，x∈R，两个函数的定义域和对应关系都相同，是同一个函数．故选CD. 10．下列函数中，满足f(18x)＝18f(x)的是(　　) A．f(x)＝|x| B．f(x)＝x－|x| C．f(x)＝x＋2 D．f(x)＝－2x 答案　ABD 解析　若f(x)＝|x|，则f(18x)＝|18x|＝18|x|＝18f(x)；若f(x)＝x－|x|，则f(18x)＝18x－|18x|＝18(x－|x|)＝18f(x)；若f(x)＝x＋2，则f(18x)＝18x＋2，而18f(x)＝18x＋18×2，故f(x)＝x＋2不满足f(18x)＝18f(x)；若f(x)＝－2x，则f(18x)＝－2×18x＝18×(－2x)＝18f(x)．故选ABD. 11．(2024·广元中学月考)具有性质f＝－f(x)的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数．下列函数满足“倒负”变换的是(　　) A．y＝x－ B．y＝x＋ C．y＝ D．y＝－x3＋ 答案　ACD 解析　对于A，f＝－x＝－f(x)，满足“倒负”变换；对于B，f＝＋x≠－f(x)，不满足“倒负”变换；对于C，f＝满足f＝－f(x)，满足“倒负”变换；对于D，f＝－＋x3，满足f＝－f(x)，满足“倒负”变换．故选ACD. 三、填空题 12．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出： x 1 2 3 f(x) 2 3 1 　 x 1 2 3 g(x) 3 2 1 则f(g(1))的值为________；满足f(g(x))>g(f(x))的x的值是________． 答案　1　2 解析　∵g(1)＝3，∴f(g(1))＝f(3)＝1.当x＝1时，f(g(1))＝1，g(f(1))＝g(2)＝2，不满足f(g(x))>g(f(x))；当x＝2时，f(g(2))＝f(2)＝3，g(f(2))＝g(3)＝1，满足f(g(x))>g(f(x))；当x＝3时，f(g(3))＝f(1)＝2，g(f(3))＝g(1)＝3，不满足f(g(x))>g(f(x))，∴当x＝2时，f(g(x))>g(f(x))成立． 13．(2024·重庆质检)已知函数f(x)＝则不等式f(x)<f(x＋1)的解集为________． 答案　 解析　当x≤0时，x＋1≤1，f(x)<f(x＋1)等价于x2－1<(x＋1)2－1，解得－<x≤0；当0<x≤1时，x＋1>1，此时f(x)＝x2－1≤0，f(x＋1)＝log2(x＋1)>0，∴当0<x≤1时，恒有f(x)<f(x＋1)；当x>1时，x＋1>2，f(x)<f(x＋1)等价于log2x<log2(x＋1)，此时也恒成立．综上，不等式f(x)<f(x＋1)的解集为. 14．已知函数f(x)满足f＋2f＝3x，则f(－2)＝________． 答案　－ 解析　由题意可得解得令2＋＝－2，可得x＝－，则f(－2)＝3×＝－. 四、解答题 15.行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y(单位：m)与汽车的车速x(单位：km/h)满足下列关系：y＝＋mx＋n(m，n是常数)．如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y与汽车的车速x的关系图． (1)求出y关于x的函数解析式； (2)如果要求刹车距离不超过25.2 m，求行驶的最大速度． 解　(1)由题意及函数图象， 得 解得所以y＝＋(x≥0)． (2)令＋≤25.2，得－72≤x≤70. 因为x≥0，所以0≤x≤70. 故行驶的最大速度是70 km/h. 16．已知函数f(x)＝. (1)求f(2)与f，f(3)与f； (2)由(1)中求得的结果，你能发现f(x)与f有什么关系？证明你的发现； (3)求f(2)＋f＋f(3)＋f＋…＋f(2023)＋f的值． 解　(1)∵f(x)＝＝1－， ∴f(2)＝1－＝，f＝1－＝. f(3)＝1－＝，f＝1－＝. (2)由(1)中求得的结果发现f(x)＋f＝1. 证明如下： f(x)＋f＝＋＝＋＝1. (3)由(2)知f(x)＋f＝1， ∴f(2)＋f＝1，f(3)＋f＝1， f(4)＋f＝1，…，f(2023)＋f＝1. ∴f(2)＋f＋f(3)＋f＋…＋f(2023)＋f＝2022. 18 学科网（北京）股份有限公司 $$