3.1.1 函数的概念 讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高一数学必修第一册秋季同步培优专项讲义 3.1.1函数的概念知识归纳与题型总结 思 维 图 概念 函数的概念 非空性 任意性 四个特征 单值性 函数的概念 L方向性 定义域 函数的三要素 值域 对应关系 函数的概念 求给定解析式的函数定义域的方法 函数的定义域与值域 求抽象函数定义域的方法 求函数值域的一般方法 函数的相等 函数的相等 闭区间 区间的概念 开区间 半开半闭区间 培 考点01函数的概念 考点梳理 1.函数的概念 (1)一般地，设A,B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x,按照某种确定的 对应关系，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称：A一B为从集合A到集 1/13 高一数学必修第一册秋季同步培优专项讲义 合B的一个函数(function),记作y=fx),x∈A. (2)函数的四个特征： ①非空性：A,B必须为非空数集，定义域或值域为空集的函数是不存在的 ②任意性：即定义域中的每一个元素都有函数值 ③单值性：每一个自变量有且仅有唯二的函数值与之对应. ④方向性：函数是一个从定义域到值域的对应关系，如果改变这个对应方向，那么新的对 应所确定的关系就不一定是函数关系 2.函数的三要素 (1)定义域：函数的定义域是自变量的取值范围。 (2)值域：与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{xx∈A}叫做函数的值域 (range) (3)对应关系：对应关系∫是函数的核心，它是对自变量x实施“对应操作”的“程序”或 者“方法” 典例引领 考向01函数关系的判断 【例1】下列各组函数中，表示同一个函数的是() A.y=y= B.y=vx2-1 y=vx+i.x- C.y=1 y=x D.y=y=( 考向02求函数值 【例2】已知函数f()-x+2 x-1. (1)求ff(2》的值： (2)求不等式f()≥0的解集： (3)若f(@=2a,求实数a的值. 2/13 高一数学必修第一册秋季同步培优专项讲义 考向03已知函数值求自变量或参数 N 【例3】（多选）已知”和片均是以x为自变量的函数，当=”时，函数值分别是和 心，若有在实数山，使得 1+N2= 0,则称函数”和少是“和谐函数”，则下列函数”和 是“和谐函数”的是() 1 A.=x2+2x和y2=x-1 B.乃=x和%=x+1 C.八=x和y=x-1 D.y=x2+2x和2=-x-1 对点提升 P=0={x0≤x≤4 【对点1】设集合 ,则下列图象能表示从集合P到集合Q的函数关系的 有() VA 【对点2】己知圆周率元=3.14159265358979323846264338327950288·，如果记圆周率元 小数点后第”位数字为儿网，则下列说法不正确的是() Ay=fm,n∈N是一个函数 B.(4)=f(8) C.当"=5时，fm）=3.14159 D.f(e{01,23,4567,89y 【对点3】（多选）定义（田=[冈（其中[冈表示不小于x的最小整数）为“向上取整函 数”.例如[-1.=-1，[2.=3，[4=4.以下描述正确的是() 3/13 高一数学必修第一册秋季同步培优专项讲义 A1习 B.若f(x)=2026,则x∈(2025,2026] c.若-死+6≤0 则e,3 0.若=f0 ,则-水 考点02函数的定义域值域 考点梳理 1.求给定解析式的函数定义域的方法 求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子（运算）有意义为准 则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义， 2.求抽象函数定义域的方法 (I)若已知函数x)的定义域为[a,b],则复合函数gx]的定义域可由不等式gw)b求出 (2)若已知函数g(x)]的定义域为a,b],则x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]上的值域 3.求函数值域的一般方法 (1)分离常数法： (2)配方法： (3)不等式法： (④)单调性法： (⑤)换元法： (6)数形结合法。 典例引领 考向01具体函数的定义域 【例1】函数f()=F+v6-x 的定义域为 考向02抽象函数的定义域 【例2y若面数（国的定义域为3则Bx-)的定义域为 4/13 高一数学必修第一册秋季同步培优专项讲义 考向03复合函数的定义域 【例3】设函数f)的定义域为(6,8)，则函数fx-D的定义域为() A.(5,9) B.(5,7) C.(6,8) D.(7,9) 考向04实际问题中的定义域 【例4】一枚炮弹发射后，经过26s落到地面击中目标.炮弹的射高为845m,且炮弹距地 面的高度h(单位：m)与时间t(单位：s)的关系为h=130t-52.该函数定义域为 () A.(0,+o∞) (0,845] c.0,26 D.0,845] 考向05常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域 2x+2,x∈[-l,0 f(x)= 【例5】已知函数 xte(0,2) 则函数的定义域为 值域为 3,xe[2,+oo) 考向06复杂（根式型、分式型等）函数的值域 【例6】下列函数中，与y= 是同一个函数的是() A.y=-x2 B.y=v D.y=xx 考向07根据函数的值域求定义域 【例刀已知函数=‘的值域为Q,30,则倒 的定义域不可能是() A.2,6 B.[2,6 c.【66 D.[0,6 5/13 高一数学必修第一册秋季同步培优专项讲义 考向08判别式法求最值 8x+15 f(x)= 【例8】求函数 x2+3x+4的最大值、最小值. 对点提升 【对点1】函数8()= x-2的定义域是 【对点2)已知-的定义域为1≤x53列，则2x-3)的定义减是 【对点刃欢数因商定义减.则效= Vx+1的定义域是 【对点们试构建一个问思情境，使其中的变是关系可以用解析式”=101+ 来描述， 【对点5)全集V=R,集合M={0<r≤3列，N={=x+l,xeM} 则阴影部分表示 的集合为() U A.{r0<x<y B.0≤x< C.<xs D.{x0≤xs 【对点6】（多选）下列四个结论中，正确的结论是() A>b是a>4 的必要不充分条件 B.“ac<0”是“一元二次方程a2+br+C=0有一正一负根”的充要条件 6/13 高一数学必修第一册秋季同步培优专项讲义 C.函数少=x-V-2 2,+0) 的值域为 D.已知2<a<3,-2<b<-1,则6的取值范围是(-3，-) f(x)=x-1 【对点7】已知函数 的值域为0，+o),则f9的定义域可以是 3x2+x+3 f(x)= 【对点8】若函数 x2+1的最大值为a,最小值为b,则a+b=() A.4 B.6 C.7 D.8 考点03函数的相等 考点梳理 1.函数的相等 同一函数：只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时，这两个函数才相等，即是 同一个函数 2.区间的概念 设a,b是两个实数，而且Kb.我们规定： (L)满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示为a: (2)满足不等式aKx<b的实数x的集合叫做开区间，表示为(a,b): B)满足不等式a≤x<b或a<x≤b的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[a,, (a,b] 这里的实数α与b都叫做相应区间的端点 典例引领 考向01 区间的定义与表示 【例1】函数(x)=Vx-2+ 4-x的定义域为 ·(写成区间形式) 7/13 高一数学必修第一册秋季同步培优专项讲义 考向02区间的关系与运算 【例2】已知区间 M=(-1,3),N=(-2,.则MUN=() A（,) 8.（-23) c.-13.(-2,明 D. {-2,-1,1,3} 考向03判断两个函数是否相等 【例3】下列函数中与函数y=x相等的是() A8()= B.g(x)=()2 c.8(x)= D.8(x)= 对点提升 【对点1】函数= x-2的定义域为() A.[I,+) B.[2U(2,+) c.L2) D.(L,+o) 【对点2】已知meR,集合4={xm<r<3m- )中的元素恰有2个整数，求m的取值范 围 【对点3】下列各组函数是同一函数的是() A.y= x与y=1 B.y=Vx-与y=x-1 C.2 x与y=x D.y x+x x2+1与y=x 8/13 高一数学必修第一册秋季同步培优专项讲义 好 能力提升 一、单选题 1 x- ≤x≤3 1.若函数f()=Vam2+bx+c的定义域为T2 则2+合+后0皮立的个 要不充分条件是() A.2<x<3 B. 2下x<0 0 -1<x<6 y= 2.若函数Vx2+4+3的定义域为R,则k的取值范围是() a别 D (✉u (o)=f2r-) 3.已知函数y=fx+2)的定义域为0,3]，则函数 √x-1的定义域为() a.a B.(1,3] D.1,5] f(x)= 4.已知函数 √mx2-4mx+3的定义域为R,则实数m的取值范围是() A.10.] B.@ c.@ (a 5a 5.若区间4'4)中的元素是整数的恰有5个，则实数α的取值范围是() 9/13 高一数学必修第一册秋季同步培优专项讲义 a. 2428 A.(4,6 。.(5 f(x)= 6.已知函数 云2-+了的定义域为。·则实数的取值失合为《) R A.（-o,0U(2,+o) 8.(0,2] c.（-∞，0U[2,+∞) D.02) 7,已知函致)与8（满足次，yeR,()+g)=”,现有下列四个结论：① f0)=0:②f0=2:®fx+g冈=x:④g/)=f(g》.其中一定成立的个数 是() A.1 B.2 C.3 D.4 二、多选题 《多选)已知全集为R,对于给定数集4，定义函数三0，xE4为集合的 数，若函数（田是数集A的特征函数，函数8(）是数集B的特征函数，则() A.y=f()+g()是数集AUB的特征函数 B.y=f(x)g(x)是数集AOB的特征函数 c.y=f-f)8(冈是数集 40RB 的特征函数 D.y=f+g国-2四g四是集合R4n) 的特征函数 9.(多选)下列说法正确的是() A.函数y=VF与函数y(回是同一个函数 B.“a>1”是“。1”的充分不必要条件 10/13 高一数学必修第一册秋季同步培优专项讲义 C.若2<a<3,2<h<-1,则2a-b的取值范围是(67刃 x-3 D.两数f冈-+2的定义拔为(，2列uB+o) 10,(多选)已知定义在R上的函数儿)，g(),)满足对任态m,neR 8mg(-hm)h(o=3/(m/(a3m恒成立，且0=2，f(-)=0,80=5, h0=4h(-)e2,则(） A.8()=-1 8,(-)=-2 h(100)-f(100)=100 D.8(100)-2f100)=100 三、填空题 11.已知集合 A=r-<a.B={4,3),若4nB=,则“的取值范围是 卫已知日表示不超过：的录大华数，例2到1，【12小-2，适数因=[ x∈（←o,0U[2,+o),则f(的值域为 3 13.己知x∈R, 2kx++ 4恒有意义，则实数k的取值范围为 14,定义在D,上的函数f儿)满足：对任忘0，，均有)+f0-,且对任意 11/13 高一数学必修第一册秋季同步培优专项讲义 吲引特6脚-2.a6微 2x+2,a≤x<1 15,若西数) (x-2),1≤x≤4的值域为[0,4，则实数a的最小值为 四、解答题 16,已知函数()=mr2-mr-1 )写出2) 回老m-分，求不等式)>0的解 B)若关于'的不等武f因)<0对-切R恒成立，求实致m的取值范固。 17.设函数(=2-2+2 其中eR )若1=，求不等式f(s5 解集； ②记因在区间A,4到上的最小值为0，求Q的解折式 18.已知a、b、c、d∈R. a试比较（口+e+d）与(ac+d)的大小，并给出证明， 2)利用(1)的结论求函数f(,=-2x+V2+ 的最大值. 19设题0网=55+可定X装的变合4位成为来合.同数=f-红小 集合C={xg(x)≤0. (1)求A,B; (2)若“x∈A”是“x∈C”充分不必要条件，求实数m的取值范围. 20,对于定义域为R的函数（与实数，定义集合 12/13 高一数学必修第一册秋季同步培优专项讲义 NH S(x.)={a>Ol(f(xo+a)-f(x.))(f(xo-a)-f(x.))<a} 但若网=，求50， 2若（因(：-，且对任意实数x均有5(）=Q,+@）,求长的取值范围； B)是否存在定义域为R的连续函数f因，使得S0)=S0=0,),若存在，给出一个满 足要求的函数；若不存在，请给出证明· 13/13高一数学必修第一册秋季同步培优专项讲义 3.1.1 函数的概念 知识归纳与题型总结 考点01 函数的概念 1．函数的概念 (1)一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数(function)，记作y=f(x)，x∈A. (2)函数的四个特征： ①非空性：A，B必须为非空数集，定义域或值域为空集的函数是不存在的. ②任意性：即定义域中的每一个元素都有函数值. ③单值性：每一个自变量有且仅有唯一的函数值与之对应. ④方向性：函数是一个从定义域到值域的对应关系，如果改变这个对应方向，那么新的对应所确定的关系就不一定是函数关系. 2．函数的三要素 (1)定义域：函数的定义域是自变量的取值范围． (2)值域：与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域(range). (3)对应关系：对应关系f是函数的核心，它是对自变量x实施“对应操作”的“程序”或者“方法”． 考向01 函数关系的判断 【例1】下列各组函数中，表示同一个函数的是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】逐项判断函数的定义域和对应法则即可； 【详解】选项A：两个函数的定义域都是全体实数，根据二次根式的性质，， 对应法则完全相同，是同一个函数，A 正确； 选项B：的定义域是，即； 而需要同时满足且，定义域为， 定义域不同，不是同一函数，B错误； 选项C：的定义域是全体实数，但的定义域是， 定义域不同，不是同一函数，C错误； 选项D：的定义域是全体实数，但的定义域是， 定义域不同，不是同一函数，D错误； 考向02 求函数值 【例2】已知函数． (1)求的值； (2)求不等式的解集； (3)若，求实数的值． 【答案】(1)2 (2)或； (3)或 【详解】（1）， ； （2），则， 则， 解得或； ∴不等式解集为或； （3）由，则，解得或. 考向03 已知函数值求自变量或参数 【例3】（多选）已知 和均是以x为自变量的函数，当时，函数值分别是和，若存在实数n，使得，则称函数和是“和谐函数”．则下列函数和是“和谐函数”的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】ACD 【分析】根据定义计算是否有解即可. 【详解】对于A，，令，即， 则，所以存在实数，使得， 所以函数和是“和谐函数”，A正确； 对于B，，令，即， 则，所以不存在实数，使得， 所以函数和不是“和谐函数”，B错误； 对于C，，令，即， 则，所以存在实数，使得， 所以函数和是“和谐函数”，C正确； 对于D，，令，即， 则，所以存在实数，使得， 所以函数和是“和谐函数”，D正确. 【对点1】设集合，则下列图象能表示从集合P到集合Q的函数关系的有（    ） A．B．C．D． 【答案】B 【详解】由函数的定义，要想表示从集合P到集合Q的函数， 则集合P中的任意一个元素，在集合Q中都有唯一的元素与之对应. 对于A，集合P中的元素未对应完，比如在集合Q中没有元素与之对应， 因此不能表示从集合P到集合Q的函数； 对于B，由于集合P中的任意一个元素，在集合Q中都有唯一的元素与之对应， 因此，能表示从集合P到集合Q的函数； 对于C，对于集合P中元素，比如，在集合Q中有2个元素与之对应， 因此不能表示从集合P到集合Q的函数； 对于D，对于集合P中元素，比如，在集合Q中有2个元素与之对应， 因此不能表示从集合P到集合Q的函数. 【对点2】已知圆周率，如果记圆周率小数点后第位数字为，则下列说法不正确的是（     ） A．，是一个函数 B． C．当时， D． 【答案】C 【分析】根据函数的定义，结合表示圆周率小数点后第位数字的含义，逐一验证各选项的正误即可. 【详解】首先明确的定义：为小数点后第位的单个数字，其中. 选项A：对任意正整数，小数点后第位数字是唯一确定的，满足函数定义中“每个自变量对应唯一因变量”的要求，故（）是函数，A表述正确，不符合题意; 选项B：由，可得小数点后第4位数字为，即；小数点后第8位数字为，即，故，B表述正确，不符合题意; 选项C：当时，小数点后第5位数字为，即，C表述错误，符合题意; 选项D：数位上的数字只能是的整数，故，D表述正确，不符合题意. 【对点3】（多选）定义（其中表示不小于的最小整数）为“向上取整函数”．例如，，．以下描述正确的是（   ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【分析】根据函数新定义进行判断. 【详解】对于A，，，A错误； 对于B，由定义，若，则，所以时，，B正确； 对于C，由得，即或， 当时，，当时，，综上，C错误； 对于D，设，则，，则， 即，则 ，D正确. 考点02 函数的定义域与值域 1．求给定解析式的函数定义域的方法 求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义. 2．求抽象函数定义域的方法 (1)若已知函数f(x)的定义域为[a,b]，则复合函数f[g(x)]的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出. (2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a,b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]上的值域. 3．求函数值域的一般方法 (1)分离常数法； (2)配方法； (3)不等式法； (4)单调性法； (5)换元法； (6)数形结合法. 考向01 具体函数的定义域 【例1】函数的定义域为______． 【答案】 【详解】由，解得， 则函数的定义域为. 考向02 抽象函数的定义域 【例2】若函数的定义域为，则的定义域为______． 【答案】 【详解】由题意可得，解得， 即的定义域为. 考向03 复合函数的定义域 【例3】设函数的定义域为，则函数的定义域为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依据抽象函数定义域的求解规则，即f括号内整体的取值范围与原函数自变量的取值范围一致，列不等式求解即可. 【详解】已知函数的定义域为，即作用的所有对象的取值范围为. 对于函数，其括号内的整体是的作用对象，因此需满足： , 对不等式三边同时加1，可得： 故函数的定义域为. 考向04 实际问题中的定义域 【例4】一枚炮弹发射后，经过落到地面击中目标．炮弹的射高为，且炮弹距地面的高度（单位：）与时间（单位：）的关系为．该函数定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据实际意义分析即可. 【详解】由题意可知，炮弹发射后共飞行了， 所以，即函数的定义域为. 故选：C 考向05 常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域 【例5】已知函数，则函数的定义域为________，值域为________． 【答案】 【分析】分段函数定义域取各段自变量范围的并集；值域需要分段单独求解，最后再取所有区间的并集 【详解】分段函数定义域是各段自变量取值范围取并集， 所以. 当时， ， 当时， ， 当时， ， 所以函数的值域为. 考向06 复杂（根式型、分式型等）函数的值域 【例6】下列函数中，与是同一个函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数的定义域为. 函数与函数的解析式不相同，两函数不是同一函数，A错误. 函数，定义域为，两函数解析式相同，定义域相同，两函数是同一函数，B正确. 函数的定义域为，与函数的定义域不相同，两函数不是同一函数，C错误. 函数，与函数的解析式不相同，两函数不是同一函数，D错误. 考向07 根据函数的值域求定义域 【例7】已知函数的值域为，则的定义域不可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的值域为结合二次函数的对称性可求出相应的定义域. 【详解】令，解得，令，解得， 由函数的图象关于轴对称的性质，得的定义域可能为，或，则BCD可能； 而，的定义域不可能是，A不可能. 故选：A 考向08 判别式法求最值 【例8】求函数的最大值、最小值. 【答案】最大值为，最小值为 【分析】将函数式化成关于的方程，且方程有解，用根的判别式求出的取值范围，即得函数的最大值和最小值． 【详解】设恒成立，所以定义域为R， 则， 当时，； 当时，视其为关于x的一元二次方程，且方程有根， 则判别式，解得且， 所以函数的最大值为，最小值为. 【对点1】函数的定义域是________． 【答案】 【分析】根据偶次根式被开方数非负、分式分母不为零的约束条件列不等式，求解后取交集得到定义域. 【详解】要使函数有意义，需同时满足： ，解得；，解得， 对两个解集取交集，可得函数的定义域为. 【对点2】已知的定义域为，则的定义域是_______． 【答案】 【分析】已知的定义域是的取值范围，先求出括号内整体的取值范围，再令落在该区间，解不等式得到的定义域． 【详解】由，得，则的定义域为， 令，得，即， 所以的定义域为． 【对点3】已知函数的定义域是，则函数的定义域是__________． 【答案】 【分析】先求出抽象函数的定义域，进而得，解出即可. 【详解】函数的定义域是， 所以函数的定义域满足， 所以的定义域为. 【对点4】试构建一个问题情境，使其中的变量关系可以用解析式来描述． 【答案】 若限制的取值范围，例如，则可以构建如下情境： 某地“桃花节”的观赏人数逐年增加，据有关部门统计，2021年约有10万人次，设观赏人数的年平均增长率为，2023年观赏人数为万，则. 其中x的取值范围是，y的取值范围是． 对应关系把每一个增长率x都对应到唯一确定的观赏人数. 【分析】易知为二次函数，定义域为R，值域是，对应关系把定义域中任意一个实数，对应到中唯一确定的数. 【详解】略 【对点5】全集，集合，，则阴影部分表示的集合为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题可得， 则，又， 所以图中阴影部分表示的集合为, 即. 【对点6】（多选）下列四个结论中，正确的结论是（ ） A．是的必要不充分条件． B．“”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件 C．函数的值域为 D．已知，，则的取值范围是． 【答案】BD 【分析】利用充分条件、必要条件的定义推理判断AB；利用换元法求出值域判断C；利用不等式的性质判断D. 【详解】对于A，满足，而，反之，满足， 而，因此是的既不充分也不必要条件，A错误； 对于B，一元二次方程有一正一负根的条件为， 若，则，且，则方程必有一正一负根， 因此“”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件，B正确； 对于C，令，，则， 当且仅当时取等号，因此函数的值域为，C错误； 对于D，由，得，即， 而，因此，即，D正确. 【对点7】已知函数 的值域为，则的定义域可以是______ 【答案】（答案不唯一） 【分析】解分式不等式得到范围，写出符合题意的定义域即可. 【详解】令，解得或， 则的定义域可以是， 故答案为：（答案不唯一）. 【对点8】若函数的最大值为，最小值为，则（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】直接用判别式法求函数的最大值和最小值． 【详解】设，，， 时，， 时，因为，所以，解得，即且， 综上，最大值是，最小值是，和为6． 故选：B． 考点03 函数的相等 1．函数的相等 同一函数：只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时，这两个函数才相等，即是同一个函数. 2．区间的概念 设a，b是两个实数，而且a<b.我们规定： (1)满足不等式的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a,b]； (2)满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间，表示为(a,b)； (3)满足不等式或的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[a,b),(a,b]. 这里的实数a与b都叫做相应区间的端点. 考向01 区间的定义与表示 【例1】函数的定义域为_________.（写成区间形式） 【答案】 【分析】根据偶次根式被开方数非负、分式分母不为零的要求列不等式组，求解解集的交集即可得到定义域. 【详解】要使函数有意义，需同时满足以下约束条件： 对于偶次根式，要求被开方数非负：，解得； 对于分式，要求分母不为零：，解得. 取两个解集的交集，可得函数的定义域为. 考向02 区间的关系与运算 【例2】已知区间，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据并集的定义即可求解. 【详解】， 故选：B 考向03 判断两个函数是否相等 【例3】下列函数中与函数相等的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数的定义域为R， A选项，的定义域为，定义域不同，A错误； B选项，的定义域为，定义域不同，B错误； C选项，，两函数对应法则不同，C错误； D选项，，定义域和对应法则均相同，D正确 【对点1】函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】的定义域满足，解得且，故函数定义域为． 【对点2】已知，集合中的元素恰有2个整数，求的取值范围． 【答案】 【分析】根据题意可得，再分、两种情况讨论即可. 【详解】因集合中的元素恰有2个整数， 则其区间长度应满足，得， 当时，此时，则，得； 当时，此时，符合题意； 则的取值范围为. 【对点3】下列各组函数是同一函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】同一函数需满足的条件：①定义域一样；②表达式一样，依次判断即可. 【详解】A选项，定义域为，而定义域为，两个函数定义域不一样， 所以不是同一函数，所以A选项错误； B选项，，而，两个函数表达式不一样， 所以不是同一函数，所以B选项错误； C选项，定义域为，而定义域为，两个函数定义域不一样， 所以不是同一函数，所以C选项错误； D选项，，定义域为，且定义域为， 两个函数表达式一样，定义域一样，所以D选项正确. 一、单选题 1．若函数的定义域为，则成立的一个必要不充分条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】找到与的关系求出解集，再根据必要不充分条件选出答案. 【详解】由题目可得，因为定义域为，所以， 故可以化为，与的区别为可以取等号， 故的解集为，因为是的真子集， 所以成立的一个必要不充分条件是. 2．若函数的定义域为，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对任意，分母都有意义且不为零，故需满足恒成立，对进行分类讨论即可. 【详解】由题意，对任意，都有恒成立. 当时，不等式化为，恒成立，符合题意； 当时，使 的解集为， 有，解得. 综上所述，的取值范围是. 3．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合抽象函数与复合函数的定义域求解. 【详解】函数的定义域为，则，所以函数的定义域为， 由，解得，从而函数的定义域为， 又有，得， 综上得到函数的定义域为. 4．已知函数的定义域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数定义域为，等价于对任意恒成立. 当时，不等式化为，恒成立，满足条件； 当时，二次函数图象开口向上，需，解得； 当时，二次函数图象开口向下，不可能在全体实数上恒大于 0，舍去.综上，，故实数的取值范围为. 5．若区间中的元素是整数的恰有5个，则实数a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意分析可得5个整数元素为，列不等式求解即可. 【详解】若区间中恰有5个整数元素，则，解得； 此时，， 所以区间中的最小整数元素为2，最大整数元素可以是6或7， 因为区间中恰有5个整数元素，所以只能是， 则，解得， 所以实数的取值范围为. 6．已知函数的定义域为，则实数的取值集合为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可知对任意的，恒成立，分、两种情况讨论，结合二次不等式恒成立可求出的取值范围. 【详解】因为函数的定义域为，即对任意的，恒成立， 当时，则有，符合题意； 当时，则有，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 7．已知函数与满足，，，现有下列四个结论：①；②；③；④．其中一定成立的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】借助赋值法，令可得①；举出反例可得②；令可得③；令，结合③中所得可得，则，计算可得，即可得④. 【详解】对①：令，则，由，故，故①正确； 对②：取，，此时符合题意，但，故②错误； 对③：令，则，当时，有， 当时，有，符合， 综上可得，故③正确； 对④：令，可得，则， 又，则，即， 则，则， 故 ，故④正确； 综上可得：①、③、④正确，②错误，故其中一定成立的个数是个. 二、多选题 8．（多选）已知全集为，对于给定数集，定义函数为集合的特征函数，若函数是数集的特征函数，函数是数集的特征函数，则（    ） A．是数集的特征函数 B．是数集的特征函数 C．是数集的特征函数 D．是集合的特征函数 【答案】BC 【分析】代入A、B的公共元素，得出函数值为2，结合特征函数定义判断选项A；代入A、B的公共元素，结合特征函数定义判断选项B；因式分解后，仅x属于A但不属于B时函数值为 1，符合A交B补集的特征函数，进而判断选项C；代入不同归属的x求值，验证函数取 1 对应的集合不是交集的补集，判断选项D． 【详解】若，，但特征函数只能取或1，故A错误； ，， 当时，中至少一个为0，， 恰好是的特征函数，故B正确； ， 且时，， 其余情况或，对应集合， 故C正确； 时， 若，， 若，且时，， 若，且时，， 若，且时，， 函数取1对应“只属于A或只属于B”，而包含“既不属于A也不属于B”情况，此时函数值为0，不满足特征函数定义，故D错误． 9．（多选）下列说法正确的是（     ） A．函数与函数是同一个函数 B．“”是“”的充分不必要条件 C．若，，则的取值范围是 D．函数的定义域为 【答案】BD 【详解】的定义域为，的定义域为，定义域不同，不是同一函数，故A错误； 则，满足充分性；，则或，不满足必要性，故B正确； ，则；，则，故，故C错误； ，则，解得或， 故定义域为，D正确． 10．（多选）已知定义在上的函数，，满足对任意，恒成立，且，，，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】令，和可判断A、B；令，和,可判断C、D． 【详解】对于A、B，令，，得， 即． 令，得， 解得，或． 因为，所以，故A、B均正确； 对于C、D，令，，得①． 令，，得②． 联立①②，解得，， 故C错误，D正确． 三、填空题 11．已知集合，，若，则的取值范围是______． 【答案】 【详解】当时，无解，，此时成立. 当时，由得，即. 等价于且. 由得，解得；由得，解得. 所以此时. 综上，的取值范围是. 12．已知表示不超过x的最大整数，例如，．函数，，则的值域为______________． 【答案】 【分析】先对函数中的分式分离常数，再分区间讨论分式的取值范围，结合取整函数的定义求解值域． 【详解】首先对分式分离常数： ，分两种情况讨论： 当时，，因此，变形得，故， 根据取整函数的定义，此时的取值为或； 当时，，因此，变形得，故， 根据取整函数的定义，此时的取值为； 综上，的所有可能取值为，故值域为． 13．已知，恒有意义，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【分析】先转化成不等式对于所有实数恒成立的问题，再对进行分类讨论即可. 【详解】由题意得，，恒成立， 当时，恒成立； 当时，，解得， 综上所述，实数的取值范围为. 14．定义在上的函数满足：对任意，均有，且对任意，均有．则的值为________． 【答案】 【分析】通过给抽象函数进行赋值，由所给性质进行推导计算计算． 【详解】先求，因为，，由，所以， 且．又． 设，则，所以． 因为，，，所以，． 又，且， 由对称性得，设， 则，所以，又，即． 所以，，． 因此． 15．若函数的值域为，则实数的最小值为___________． 【答案】 【分析】求出分段函数的两段表达式的范围，其并集为，基于此列出关于a的不等式，解出即可． 【详解】①时，，这是开口向上的二次函数，对称轴为， 当时，，当时，， 因此，时，，完全覆盖值域要求； ②时，，因此，时，； 结合整体值域为，可知， 则，解得，同时又因为，所以，所以a的范围为， a的最小值为． 故答案为：． 四、解答题 16．已知函数． (1)写出； (2)若，求不等式的解集； (3)若关于的不等式对一切恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）将代入解析式即可求解； （2）根据一元二次不等式的解法可求解； （3）对进行分类讨论，由此列不等式来求得的取值范围. 【详解】（1）. （2）当时，， 不等式即， ，解得或， 所以不等式的解集为或. （3）当时，恒成立，满足题意； 当时，由题意得，解得. 综上所述，实数m的取值范围是. 17．设函数，其中． (1)若，求不等式的解集； (2)记在区间上的最小值为，求的解析式. 【答案】(1)． (2) 【详解】（1）当时，由，解得， 所以解集为． （2）开口向上，对称轴为直线， ①当时，在上单调递增， 所以， ②当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以， ③当时，在上单调递减， 所以． 综上. 18．已知、、、． (1)试比较与的大小，并给出证明； (2)利用（1）的结论求函数的最大值． 【答案】(1)，证明如下： ，当且仅当时，等号成立． (2) 【分析】（1）利用作差法可得出与的大小关系； （2）利用（1）中的结论对进行放缩，由此可得出，由此可求得的最大值. 【详解】（1）略 （2）因为， 则， 即， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，函数的最大值为． 19．设函数定义域为集合，值域为集合，函数，集合. (1)求A，B； (2)若“”是“”充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件求函数的定义域为集合，值域为集合； （2）先根据“”是“”充分不必要条件，可知且，然后根据包含关系列出不等式求解即可． 【详解】（1）由，解得， 所以， 由， 所以． （2）因为“”是“”充分不必要条件， 所以且， 由，可得， 所以，即， 当时，与题意不符， 所以实数的取值范围为. 20．对于定义域为的函数与实数，定义集合. (1)若，求； (2)若，且对任意实数均有，求的取值范围； (3)是否存在定义域为的连续函数，使得？若存在，给出一个满足要求的函数；若不存在，请给出证明. 【答案】(1) (2)； (3)不存在，理由为： 假设存在连续函数，使得， ， 由于连续，则也连续， 即， 否则，由保号性可知与矛盾. 同理，由， 可知， 即. 当时，可得，. ， 因为，由连续函数保号性， 可得且， 同理， 因为，由连续函数保号性， 可得且， 即， ， 即， 使得， 此时有，这与矛盾. 当时，同理可得矛盾. 综上，故不存在连续函数使之成立. 【分析】（1）将和代入定义，计算出与 的表达式，代入不等式化简后解出的范围； （2）等价转化为，再根据二次函数性质得到最值，从而得到不等式，解出即可； （3）根据反证法和连续函数的保号性即可得到证明. 【详解】（1）已知函数，， 首先计算： 代入不等式： 因为，两边同除以得： 利用平方差公式： 所以： 又，故：. 因此，. （2） 即，设， 对称轴， 故有最大值，故，即. （3）略 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $