第2章 第3讲 一元二次不等式的解法-【金版教程】2025年高考数学一轮复习创新方案word（新教材，提升版）

金版教程 高考科学复习创新方案 数学(提升版) 第3讲　一元二次不等式的解法 [课程标准]1.会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及根的个数，了解函数的零点与方程根的关系.2.了解一元二次不等式的现实意义.3.能够借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集.4.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系． 1．三个二次之间的关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两相异实根x1，x2(x1<x2) 有两相等实根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 2.分式不等式与整式不等式的关系 (1)>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)． (2)≥0(≤0)⇔ 一元二次不等式恒成立的条件 (1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的充要条件是：a>0且b2－4ac<0(x∈R)． (2)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的充要条件是：a<0且b2－4ac<0(x∈R)． 1．(2023·德阳模拟)设集合A＝{x|1＜x＜4}，B＝{x|x2－2x－3≤0}，则A∪B＝(　　) A．[－1，3] B．[－1，4) C．(1，3] D．(1，4) 答案　B 解析　由x2－2x－3≤0，解得－1≤x≤3，∴B＝{x|－1≤x≤3}，∴A∪B＝[－1，4)．故选B. 2．不等式4x2＋4x＋1≤0的解集为(　　) A．∅ B．R C． D． 答案　D 解析　因为4x2＋4x＋1＝(2x＋1)2，所以4x2＋4x＋1≤0的解集为. 3．(人教A必修第一册习题2.3 T3改编)设全集U＝R，集合P＝，Q＝{x|x≤4}，则P∩Q＝(　　) A．[0，1) B．[0，1] C．(－∞，0]∪(1，4] D．(－∞，0]∪[1，4] 答案　A 解析　因为集合P＝＝{x|0≤x<1}，Q＝{x|x≤4}，所以P∩Q＝{x|0≤x＜1}＝[0，1)．故选A. 4．(2024·滨州质检)若0<t<1，则关于x的不等式(t－x)>0的解集为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　因为0<t<1，所以t<，所以(t－x)>0⇔(x－t)<0，解得t<x<.故选D. 5．(人教B必修第一册习题2－2B T7改编)不等式ax2＋bx＋2>0的解集是，则a＋b的值是________． 答案　－14 解析　由题意知－，是ax2＋bx＋2＝0的两根，则解得所以a＋b＝－14. 多角度探究突破 考向一　一元二次不等式的解法 角度　不含参数的一元二次不等式 例1　解下列不等式： (1)2x2＋5x－3<0； (2)－3x2＋6x≤2； (3)9x2－6x＋1>0； (4)x2<6x－10. 解　(1)∵Δ＝49>0， ∴方程2x2＋5x－3＝0有两个实数根， 解得x1＝－3，x2＝， 画出函数y＝2x2＋5x－3的图象，如图①所示．由图可得原不等式的解集为. (2)原不等式等价于3x2－6x＋2≥0. ∵Δ＝12>0， ∴方程3x2－6x＋2＝0有两个实数根，解得x1＝，x2＝，画出函数y＝3x2－6x＋2的图象，如图②所示，由图可得原不等式的解集为. (3)∵Δ＝0，∴方程9x2－6x＋1＝0有两个相等的实数根，解得x1＝x2＝.画出函数y＝9x2－6x＋1的图象如图③所示．由图可得原不等式的解集为. (4)原不等式可化为x2－6x＋10<0，∵Δ＝－4<0，∴方程x2－6x＋10＝0无实数根，画出函数y＝x2－6x＋10的图象如图④所示，由图象可得原不等式的解集为∅. 解一元二次不等式的一般方法和步骤 　解下列不等式： (1)－x2＋2x－>0； (2)－1<x2＋2x－1≤2. 解　(1)两边都乘以－3，得3x2－6x＋2<0， 因为3>0，且方程3x2－6x＋2＝0的解是x1＝1－，x2＝1＋， 所以原不等式的解集是. (2)原不等式等价于 即 由①得x(x＋2)>0，所以x<－2或x>0； 由②得(x＋3)(x－1)≤0，所以－3≤x≤1. 画出数轴，如图， 可得原不等式的解集为{x|－3≤x<－2或0<x≤1}． 角度　含参数的一元二次不等式 例2　解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a∈R)． 解　原不等式可化为ax2＋(a－2)x－2≥0， 即(ax－2)(x＋1)≥0. ①当a＝0时，原不等式化为x＋1≤0， 解得x≤－1. ②当a>0时，原不等式化为(x