第2章 素能培优(一) 基本不等式的综合应用-【金版教程】2025年高考数学一轮复习创新方案word（新教材，提升版）

金版教程 高考科学复习创新方案 数学(提升版) 考情分析：基本不等式是高考的高频考点，通常与基本初等函数、解三角形、立体几何、解析几何等知识综合考查，出现在选填题或解答题的解题过程中.2022年新高考Ⅰ卷出现在第18题，考查了用正弦定理边角互化与基本不等式的综合，难度中等；2021年新高考Ⅰ卷出现在第5题，考查了椭圆定义与基本不等式的综合，较容易． 考向一　基本不等式与基本初等函数的综合 例1　(1)(2024·开封模拟)已知a>1，b>1，且log2＝logb4，则ab的最小值为(　　) A．4 B．8 C．16 D．32 答案　C 解析　因为log2＝logb4，所以log2a·log2b＝4，所以log2(ab)＝log2a＋log2b≥2＝4，当且仅当log2a＝log2b＝2，即a＝b＝4时取等号，所以(ab)min＝24＝16.故选C. (2)已知角α，β均为锐角，tanβ＝，则当tanα＝________时，tan(α－β)取得最大值________． 答案　　 解析　设tanβ＝k，则tanα＝2k，由角α，β均为锐角得k>0，tan(α－β)＝＝＝≤＝，当且仅当＝2k，即k＝时，等号成立，此时tanα＝，所以当tanα＝时，tan(α－β)取得最大值. 基本不等式与基本初等函数的常见衔接点 应用基本不等式求最值的关键点之一是“和或积为定值”，在基本初等函数中常见的与此有联系的点如下： ax·ay＝ax＋y(a＞0，且a≠1)；logax＋logay＝loga(xy)(a＞0，且a≠1)； sin2α＋cos2α＝1，tan(α＋β)＝，tan(α－β)＝等． 　(2023·日照一模)已知x>0，y>0，设p：2x＋2y≥4，q：xy≥1，则p是q的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　B 解析　当x＝，y＝2时，2＋22≥4，满足2x＋2y≥4，但xy＝×2＝<1，不满足xy≥1，所以p不是q的充分条件；当xy≥1，x>0，y>0时，1≤xy≤，即x＋y≥2，当且仅当x＝y时取等号，所以2x＋y≥22＝4，即2x·2y≥4，又4≤2x·2y≤，当且仅当x＝y时取等号，解得2x＋2y≥4，所以p是q的必要条件．所以p是q的必要不充分条件．故选B. 考向二　基本不等式与向量、解三角形的综合 例2　(1)在△ABC中，E为AC上一点，＝3，P为BE上任一点，若＝m＋n(m>0，n>0)，则＋的最小值是(　　) A．9 B．10 C．11 D．12 答案　D 解析　由题意可知＝m＋n＝m＋3n，P，B，E三点共线，则m＋3n＝1，所以＋＝(m＋3n)＝6＋＋≥6＋2＝12，当且仅当m＝，n＝时，等号成立．所以＋的最小值是12. (2)(2022·新高考Ⅰ卷改编)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinB＝－cosC，求的最小值． 解　因为sinB＝－cosC>0， 所以<C<π，0<B<， 而sinB＝－cosC＝sin， 所以C＝＋B，即A＝－2B， 所以＝＝ ＝ ＝4cos2B＋－5≥2－5 ＝4－5，当且仅当cos2B＝时取等号， 所以的最小值为4－5. 基本不等式与向量、解三角形综合考查时，通常涉及以下知识点：向量共线、垂直的坐标表示；三点共线的充要条件：P，Q，M三点共线⇔＝m＋n(m＋n＝1)；正、余弦定理等． 　(2023·德阳模拟)在△ABC中，若C＝，则sinAsinB的最大值是________． 答案　 解析　在△ABC中，C＝，则sinA>0，sinB>0，由基本不等式得sinAsinB≤，∵A＋B＝，∴sinB＝cosA，∴sinAsinB≤＝＝，当且仅当sinA＝sinB＝时，等号成立，则sinAsinB的最大值是. 考向三　基本不等式与立体几何的综合 例3　(2023·四省高考适应性测试)三棱锥A－BCD中，AC⊥平面BCD，BD⊥CD.若AB＝3，BD＝1，则三棱锥A－BCD体积的最大值为(　　) A．2 B． C．1 D． 答案　D 解析　如图，因为AC⊥平面BCD，BD，CD⊂平面BCD，所以AC⊥BD，AC⊥CD.又BD⊥CD，AC∩CD＝C，AC，CD⊂平面ACD，所以BD⊥平面ACD.因为AD⊂平面ACD，所以BD⊥AD.在Rt△ABD中，AD＝＝＝2，所以AC2＋CD2＝AD2＝8，所以S△ACD＝AC·CD＝·2AC·CD≤(AC2＋CD2)＝2，当且仅当AC＝CD＝2时，等号成立．所以VA－BCD＝S△ACD·BD≤.故选D. 基本不等式与立体几何综合考查时，通常围绕空间几何体表面积和体积的计算公式出题． 　(2023·平顶山校联考模拟预测)已知某长方体的上底面周长为1