第2章 第2讲 基本不等式-【金版教程】2025年高考数学一轮复习创新方案word（新教材，提升版）

金版教程 高考科学复习创新方案 数学(提升版) 第2讲　基本不等式 [课程标准]1.理解基本不等式≤(a>0，b>0).2.结合具体实例，能用基本不等式解决简单的求最大值或最小值的问题． 1．基本不等式≤ (1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0． (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时等号成立． (3)其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 2．利用基本不等式求最大、最小值问题 (1)如果x，y∈(0，＋∞)，且xy＝P(定值)， 那么当x＝y时，x＋y有最小值2．(简记：“积定和最小”) (2)如果x，y∈(0，＋∞)，且x＋y＝S(定值)， 那么当x＝y时，xy有最大值．(简记：“和定积最大”) 1．常用的几个重要不等式 (1)a＋b≥2(a>0，b>0)． (2)ab≤(a，b∈R)． (3)≤(a，b∈R)． (4)＋≥2(a，b同号)． (5)≤(a>0，b>0)． 以上不等式等号成立的条件均为a＝b. 2．轮换对称不等式 3．三元基本不等式 ≤，其中a>0，b>0，c>0，当且仅当a＝b＝c时，等号成立． 1．(2024·海口调研)若x>0，y>0，且x＋y＝18，则的最大值为(　　) A．9 B．18 C．36 D．81 答案　A 解析　因为x>0，y>0，且x＋y＝18，所以≤＝9，当且仅当x＝y＝9时，等号成立，故的最大值为9. 2．下列命题正确的是(　　) A．若a，b∈R，则＋≥2＝2 B．若x>0，则x＋>2 C．若x<0，则x＋≥－2＝－4 D．若x∈R，则2x2＋≥2＝2 答案　D 解析　A项必须保证a，b同号；B项应含有等号，即若x>0，则x＋≥2；C项应该为“≤”．故选D. 3．(人教A必修第一册习题2.2 T1改编)若函数f(x)＝x＋(x>2)在x＝a处取最小值，则a＝　(　　) A．1＋ B．1＋ C．3 D．4 答案　C 解析　因为x>2，所以f(x)＝x＋＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当x－2＝，即x＝3时，等号成立．故a＝3. 4．(人教A必修第一册习题2.2 T5改编)设x>0，则3－3x－的最大值是(　　) A．3 B．3－2 C．－1 D．3－2 答案　D 解析　因为x>0，所以y＝3－3x－＝3－≤3－2＝3－2，当且仅当3x＝，即x＝时，等号成立．故选D. 5．若实数x，y满足xy＝1，则x2＋2y2的最小值为________． 答案　2 解析　∵xy＝1，∴x2＋2y2≥2＝2·＝2，当且仅当x2＝2y2，xy＝1时，等号成立． 多角度探究突破 考向一　利用基本不等式求最值 角度　利用配凑法求最值 例1　(1)已知a，b为正数，4a2＋b2＝7，则a的最大值为(　　) A. B. C．2 D．2 答案　D 解析　因为4a2＋b2＝7，则a＝×(2a)＝≤×＝2，当且仅当4a2＝1＋b2，即a＝1，b＝时，取得最大值．故选D. (2)函数y＝(x>1)的最小值为________． 答案　2＋2 解析　y＝＝＝＝(x－1)＋＋2≥2＋2，当且仅当x－1＝，即x＝＋1时，等号成立． 利用基本不等式求最值的条件和配凑方法 提醒：注意配凑过程要进行等价变形；明确目标，即配凑出和或积为定值． 　(2023·烟台三模)当x＞0时，的最大值为________． 答案　 解析　当x＞0时，＝≤＝，当且仅当x＝，即x＝2时，等号成立，即的最大值为. 角度　利用常数代换法求最值 例2　(1)(2023·茂名模拟)已知正实数m，n满足m＋2n＝1，则＋的最小值为________． 答案　17 解析　正实数m，n满足m＋2n＝1，则＋＝＋＋1＝(m＋2n)＋1＝9＋＋≥9＋2＝17，当且仅当m＝2n＝时，等号成立．所以＋的最小值为17. (2)(2023·东北师大附中模拟)已知正实数x，y满足x＋y＝，则＋的最小值为________． 答案　9 解析　设x＋y＝m(3x＋y)＋n(x＋2y)＝(3m＋n)x＋(m＋2n)y，可得所以m＝，n＝，所以5x＋5y＝3x＋y＋2(x＋2y)＝1，＋＝[3x＋y＋2(x＋2y)]＝1＋＋＋4＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝，即时，等号成立，则＋的最小值为9. 常数代换法求最值的适用情境及解题通法 (1)适用情境 有两个代数式，其中一个是整式ax＋by，另一个是分式＋，其中a，b，m，n为常数，通常均为正数． (2)解题通法 利用(ax＋by)＝am＋bn＋＋≥am＋bn＋2得到结果． 　(2024·南宁模拟)已知m>0，n>0，命题p：2m＋n＝mn，命题q：m＋n≥3＋2，则p是q的____________条件． 答案　充分不必要 解析　因为m>0，n>0，由2m＋n＝mn，得＋＝1，