第2章 第1讲 不等式及其性质-【金版教程】2025年高考数学一轮复习创新方案word（新教材，提升版）

金版教程 高考科学复习创新方案 数学(提升版) 第1讲　不等式及其性质 [课程标准]梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质． 1．比较两个实数大小的依据 关系 方法 作差法 作商法 a>b a－b>0 >1(a，b>0)或<1(a，b<0) a＝b a－b＝0 ＝1(b≠0) a<b a－b<0 <1(a，b>0)或>1(a，b<0) 2.不等式的性质 (1)对称性：a>b⇔b<a． (2)传递性：a>b，b>c⇒a>c． (3)可加性：a>b⇔a＋c>b＋c； a>b，c>d⇒a＋c>b＋d． (4)可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc； a>b，c<0⇒ac<bc； a>b>0，c>d>0⇒ac>bd． (5)可乘方性：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)． 1．有关倒数的性质 (1)a>b，ab>0⇒<；a>b，ab<0⇒>. (2)a>b>0，0<c<d⇒>. (3)0<a<x<b或a<x<b<0⇒<<. 2．有关分数的性质 若a>b>0，m>0，则 (1)<；>(a－m>0)； (2)>；<(b－m>0)． 1．(人教A必修第一册习题2.1 T3(2)改编)设M＝2a(a－2)，N＝(a＋1)(a－3)，则有(　　) A．M>N B．M≥N C．M<N D．M≤N 答案　A 解析　因为M－N＝2a(a－2)－(a＋1)(a－3)＝a2－2a＋3＝(a－1)2＋2>0，所以M>N.故选A. 2．如果x＋y<0，且y>0，那么下列不等式成立的是(　　) A．y2>x2>－xy B．x2>y2>－xy C．x2<－xy<y2 D．x2>－xy>y2 答案　D 解析　因为x＋y<0，y>0，所以x<－y<0<y.在不等式x<－y两边同时乘以x，得x2>－xy.在不等式x<－y两边同时乘以y，得xy<－y2，则－xy>y2.所以x2>－xy>y2.故选D. 3．(2024·烟台模拟)设x，y∈R，则“x<1且y<1”是“x＋y<2”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　A 解析　若x<1且y<1，则有x＋y<2.又当x＝2，y＝－1时，满足x＋y<2，但不满足x<1且y<1，所以“x<1且y<1”是“x＋y<2”的充分不必要条件．故选A. 4．(人教A必修第一册习题2.1 T5改编)若－<α<β<，则α－β的取值范围是________． 答案　(－π，0) 解析　由已知，得－<α<，－<－β<，所以－π<α－β<π，又α<β，所以α－β<0，故－π<α－β<0. 5．(人教B必修第一册习题2－2B T1改编)比较两数的大小：＋________＋. 答案　> 解析　因为(＋)2＝17＋2，(＋)2＝17＋2，所以(＋)2>(＋)2，所以＋>＋. 考向一　不等式的性质 例1　(1)(多选)已知a，b，c，d均为实数，则下列命题正确的是(　　) A．若a＞b，c＞d，则ac＞bd B．若ab＞0，bc－ad＞0，则－＞0 C．若a＞b，c＞d，则a－d＞b－c D．若a＞b，c＞d＞0，则＞ 答案　BC 解析　若a＞0＞b，0＞c＞d，则ac＜bd，故A错误；若ab＞0，bc－ad＞0，则＞0，化简得－＞0，故B正确；若c＞d，则－d＞－c，又a＞b，则a－d＞b－c，故C正确；若a＝－1，b＝－2，c＝2，d＝1，则＝－1，＝－1，＝＝－1，故D错误．故选BC. (2)(多选)(2023·长沙调研)若<<0，则下列不等式中正确的是(　　) A．< B．|a|＋b>0 C．a－>b－ D．ln a2>ln b2 答案　AC 解析　由<<0，可知b<a<0.对于A，因为a＋b<0，ab>0，所以＜0，＞0，所以＜，故A正确；对于B，因为b＜a＜0，所以－b＞－a＞0.故－b＞|a|，即|a|＋b＜0，故B错误；对于C，因为b＜a＜0，又＜＜0，则－＞－＞0，所以a－＞b－，故C正确；对于D，因为b＜a＜0，可得b2＞a2＞0，而y＝ln x在定义域(0，＋∞)上为增函数，所以ln b2＞ln a2，故D错误． 判断不等式是否成立的两种方法 (1)性质法 直接利用不等式的性质逐个验证，利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件． (2)特殊值法 适用于排除错误答案，取值应满足题设条件且便于计算． 提醒：当直接利用不等式的性质不能判断时，可以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性进行判断． 　(多选)(2024·海口模拟)已知a>b，c∈R，则下列不等式不一定成立的是(　　) A．a(c－1)2>b(c－1)2 B.> C．a(c2＋2)>b(c2＋1) D．ab2>a2b 答案　ACD 解