第1章 第3讲 全称量词与存在量词-【金版教程】2025年高考数学一轮复习创新方案word（新教材，提升版）

金版教程 高考科学复习创新方案 数学(提升版) 第3讲　全称量词与存在量词 [课程标准]1.理解全称量词与存在量词的意义.2.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定.3.能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定． 1．全称量词和存在量词 (1)全称量词有：所有的、任意一个、任给一个，用符号“∀”表示；存在量词有：存在一个、至少有一个、有些，用符号“∃”表示． (2)含有全称量词的命题，叫做全称量词命题．“对M中任意一个x，有p(x)成立”用符号简记为∀x∈M，p(x)． (3)含有存在量词的命题，叫做存在量词命题．“存在M中元素x，使p(x)成立”用符号简记为∃x∈M，p(x)． 2．含有一个量词的命题的否定 命题 命题的否定 ∀x∈M，p(x) ∃x∈M，¬p(x) ∃x∈M，p(x) ∀x∈M，¬p(x) 1．含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”． 2．常用的正面叙述词语和它的否定词语 正面词语 等于(＝) 大于(>) 小于(<) 是 否定词语 不等于(≠) 不大于(≤) 不小于(≥) 不是 正面词语 都是 任意的 所有的 至多有一个 至少有一个 否定词语 不都是 某个 某些 至少有两个 一个也没有 3.因为命题p与¬p的真假性相反，所以不管是全称量词命题还是存在量词命题，当其真假不易判断时，可先判断其否定的真假． 1．(人教A必修第一册习题1.5 T3(1)改编)命题“∃x∈Q，|x|∈N”的否定是(　　) A．∀x∉Q，|x|∉N B．∀x∈Q，|x|∈N C．∃x∉Q，|x|∉N D．∀x∈Q，|x|∉N 答案　D 解析　存在量词命题的否定需要把存在量词改为全称量词，并否定结论．故选D. 2．(2023·厦门模拟)已知集合M，N满足M∩N≠∅，则(　　) A．∀x∈M，x∈N B．∀x∈M，x∉N C．∃x∈M，x∈N D．∃x∈M，x∉N 答案　C 解析　∵集合M，N满足M∩N≠∅，∴由交集定义得∃x∈M，x∈N.故选C. 3．(2024·宁德一中质检)若命题“∃x∈R，x2＋(a－1)x＋1<0”是真命题，则实数a的取值范围是(　　) A．[－1，3] B．(－1，3) C．(－∞，－1]∪[3，＋∞) D．(－∞，－1)∪(3，＋∞) 答案　D 解析　因为命题“∃x∈R，x2＋(a－1)x＋1<0”等价于“x2＋(a－1)x＋1＝0有两个不等的实根”，所以Δ＝(a－1)2－4>0，即a2－2a－3>0，解得a<－1或a>3. 4．(人教A必修第一册1.5.2练习T2改编)“等边三角形都是等腰三角形”的否定是________． 答案　存在一个等边三角形，它不是等腰三角形 解析　全称量词命题的否定是存在量词命题．故命题的否定是存在一个等边三角形，它不是等腰三角形． 5．(人教B必修第一册1.2.1练习B T4改编)若“∀x∈[－1，2]，x2－m≤1”为真命题，则实数m的最小值为________． 答案　3 解析　因为“∀x∈[－1，2]，x2－m≤1”为真命题，所以m≥x2－1对x∈[－1，2]恒成立，即m≥(x2－1)max＝3. 考向一　全称量词命题、存在量词命题真假的判断 例1　(1)(2023·沈阳东北育才学校模拟)已知P，Q为R的两个非空真子集，若∁RQ∁RP，则下列结论正确的是(　　) A．∀x∈Q，x∈P B．∃x∈∁RP，x∈∁RQ C．∃x∉Q，x∈P D．∀x∈∁RP，x∈∁RQ 答案　B 解析　因为∁RQ∁RP，所以PQ，如图，对于A，由题意知P是Q的真子集，故∃x∈Q，x∉P，故A不正确；对于B，由∁RQ是∁RP的真子集且∁RQ，∁RP都不是空集知，∃x∈∁RP，x∈∁RQ，故B正确；对于C，由P是Q的真子集知，∀x∉Q，x∉P，故C不正确；对于D，∁RQ是∁RP的真子集，故∃x∈∁RP，x∉∁RQ，故D不正确．故选B. (2)(多选)(2024·厦门外国语学校期中)下列命题中为真命题的是(　　) A．∃x∈(0，＋∞)，＜ B．∃x∈(0，1)，logx＞logx C．∀x∈(0，＋∞)，＞logx D．∀x∈，＜logx 答案　BD 解析　当x＞0时，y＝的图象永远在y＝的图象上方，因此A是假命题；当0＜x＜1时，y＝logx的图象永远在y＝logx的图象上方，因此B是真命题；当x＝时， ＜1＝log，因此C是假命题；当0＜x＜时，logx＞1＞，因此D是真命题．故选BD. 判断全称量词命题、存在量词命题真假的思路 　1.已知定义域为R的函数f(x)不是偶函数，则下列命题一定为真命题的是(　　) A．∀x∈R，f(－x)≠f(x) B．∀x∈R，f(－x)≠－f(x) C．∃x∈R，f