第1章 第2讲 充分条件与必要条件-【金版教程】2025年高考数学一轮复习创新方案word（新教材，提升版）

金版教程 高考科学复习创新方案 数学(提升版) 第2讲　充分条件与必要条件 [课程标准]1.理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系.2.理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系.3.理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系． 充分条件、必要条件与充要条件 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p⇒q且qp p是q的必要不充分条件 p q且q⇒p p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 p q且q⇒ p 1．(1)若p是q的充分不必要条件，q是r的充分不必要条件，则p是r的充分不必要条件． (2)若p是q的充分不必要条件，则q是p的必要不充分条件． 2．若A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则 (1)若A⊆B，则p是q的充分条件； (2)若A⊇B，则p是q的必要条件； (3)若A＝B，则p是q的充要条件； (4)若AB，则p是q的充分不必要条件； (5)若AB，则p是q的必要不充分条件； (6)若AB且AB，则p是q的既不充分也不必要条件． 总结：小推大，大不可推小． 1．(2024·福清三中月考)已知p：x(x－1)＝0，q：x＝1，则p是q的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　B 解析　x(x－1)＝0⇒x＝0或x＝1，因此由p：x(x－1)＝0不一定能推出q：x＝1，但是由q：x＝1一定能推出p：x(x－1)＝0，所以p是q的必要不充分条件．故选B. 2．(人教A必修第一册习题1.4 T6改编)在△ABC中，“AB2＋BC2＝AC2”是“△ABC为直角三角形”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　A 解析　在△ABC中，若AB2＋BC2＝AC2，则∠B＝90°，即△ABC为直角三角形；若△ABC为直角三角形，推不出∠B＝90°，所以AB2＋BC2＝AC2不一定成立．综上，“AB2＋BC2＝AC2”是“△ABC为直角三角形”的充分不必要条件．故选A. 3．(人教A必修第一册习题1.4 T3(3)改编)若p：AB，q：A∪B＝B，则p是q的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　A 解析　因为AB，所以可以推出A∪B＝B；又因为A∪B＝B，所以A⊆B，当A＝B时，推不出AB.故选A. 4．(人教A必修第一册习题1.4 T2(2)改编)已知命题p：一元二次方程x2－x＋m＝0有实数根，q：m≤，则p是q的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　C 解析　若方程x2－x＋m＝0有实数根，则Δ＝1－4m≥0，解得m≤，所以p是q的充要条件．故选C. 5．已知p：x>a是q：2<x<3的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________． 答案　(－∞，2] 解析　由已知，得{x|2<x<3}{x|x>a}，所以实数a的取值范围是(－∞，2]． 考向一　充分、必要条件的判断 例1　(1)(2024·济南模拟)“x>y”的一个充分条件可以是(　　) A．2x－y> B．x2>y2 C.>1 D．xt2>yt2 答案　D 解析　因为由xt2>yt2，可得x>y，所以“xt2>yt2”是“x>y”的充分条件，所以D符合题意．由2 x－y >＝2－1，得x－y>－1，当x＝1，y＝时成立，所以由2 x－y >不能推出x>y；由x2>y2，可得|x|>|y|，不一定能推出x>y，例如当x＝－3，y＝2时，x2>y2成立，但x>y不成立；若>1，当y<0时，可得x<y.因此A，B，C均不符合题意．故选D. (2)(2023·全国甲卷)“sin2α＋sin2β＝1”是“sinα＋cosβ＝0”的(　　) A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件 C．充要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件 答案　B 解析　当sin2α＋sin2β＝1时，例如α＝，β＝0，但sinα＋cosβ≠0，即sin2α＋sin2β＝1推不出sinα＋cosβ＝0；当sinα＋cosβ＝0时，sin2α＋sin2β＝(－cosβ)2＋sin2β＝1，即sinα＋cosβ＝0能推出sin2α＋sin2β＝1.综上可知，“sin2α＋sin2β＝1”是“sinα＋cosβ＝0”的必要条件但不是充分条件．故选B. (3)(2023·南京师范大学附属扬子中学模拟)设乙的充分不必要条件是甲，乙是丙的充要条件，丁是丙的必要不充分条件，那么甲是丁的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既