圆的辅助线作法-中考数学试题方法研究

圆的辅助线做法（根据圆的定理作辅助线） 方法归纳 圆的解题原则：（1）利用半径相等，构造全等三角形； （2）找直角三角形，利用勾股定理或相似三角形解题（原因主要有三：①直径所对的圆周角是直角；②垂径定理；③圆的切线垂直于过切点的半径）。 圆的辅助线作法： （1）圆周角定理:圆周角的度数等于它所对弧上的的圆心角度数的一半. 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等 推论2:直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径； 辅助线方法：①若条件给出圆周角、圆心角的度数或等量关系等，那么我们就添加辅助线，找出同弧或等弧所对的圆周角或圆心角；②见到直径，就找出直径所对的圆周角。 （2）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 辅助线或使用方法： ①计算线段长，或证明线段相等，考虑垂径定理； ②一直线过圆心的情况，就要想到证某条弦被该直线垂直平分； ③若题目中有“弦的中点”和“弧的中点”条件时，直接连接中点与圆心。 （3）切线判定定理: 经过半径的外端并且垂直于半径的直线是圆的切线. 切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径. 推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点. 推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心. 所以如果一条直线具备以下三个条件中的任意两个,就可推出第三个： ①垂直于切线; ②过切点; ③过圆心. 辅助线方法：见到切线尤其是要证明相切关系，连接圆心与切点。 （4）弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角度数的一半，等于它所夹的弧所对的圆周角度数。 辅助线方法：见到弦切角就作出它所对应的圆周角或圆心角。 （5）两圆相交 辅助线方法：连接公共弦和两个圆心。 例题解析 例1、【圆周角定理】如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点D为的中点，若∠B＝50°，则∠A的度数为　 　度． 【方法技巧】有圆周角度数，添加辅助线，找出同弧所对圆心角；有“弧的中点”，直接连接中点与圆心。 【解析】连接OD、OC，∵点D为的中点，∴∠AOD＝∠COD， ∵∠B＝50°，∴∠AOC＝100°， ∴∠AOD＝∠COD＝50°，∴∠A＝∠ODA＝65°。 例2、【圆周角定理】如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB与点E，点P在⊙O上，∠1=∠C， （1）求证：CB∥PD； （2）若BC=3，sin∠P=，求⊙O的直径． 【方法技巧】若条件给出圆周角的三角函数值，就添加辅助线，找出同弧或等弧所对的圆周角或圆心角；②见到直径，就找出直径所对的圆周角。 （1）【证明】∵∠C=∠P，又∠1=∠C∴∠1=∠P∴CB∥PD； （2）【解析】连接AC∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90° 又∵CD⊥AB，∴=，∴∠P=∠CAB，又∵sin∠P=， ∴sin∠CAB=，即，又知，BC=3，∴AB=5，∴直径为5． 例3、【垂径定理】如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝4，tanB＝3．以AB为直径作⊙O，交边DC于E、F两点． （1）求证：DE＝CF； （2）求：直径AB的长． 【方法技巧】计算线段长，或证明线段相等，考虑垂径定理。 （1）【证明】过点O作OH⊥DC，垂足为H． ∵AD∥BC，∠ADC＝90°，OH⊥DC， ∴∠BCN＝∠OHC＝∠ADC＝90°，则有AD∥OH∥BC． 又∵O为AB中点，∴DH＝HC． ∵OH⊥EF，O为圆心，∴EH＝HF， ∴DH﹣EH＝HC﹣HF．即DE＝CF． （2）【解析】设BC与圆交点为G，由AB为直径知∠AGB＝90°， ∵∠AGB＝∠BCN＝90°，∴AG∥DC． ∵AD∥BC，∴AD＝CG． ∵AD＝2，BC＝4，解得BG＝BC﹣CG＝2． 在Rt△AGB中，∵tanB＝3，∴AG＝BG•tanB＝2×3＝6． 在Rt△AGB中，AB 2＝AG 2+BG 2，∴AB＝． 例4、【垂径定理】如图4－10(a)所示，A、B、C在⊙O上，∠ABC＝2∠C，BP平分∠ABC，AE⊥BP于E，求证：AE过圆心O． 【方法技巧】要证“一直线过圆心”的情况，就要想到证以这条直线为弦的垂直平分线，所以补齐图中图形，由垂径定理即可得证． 【证明·证法一】延长BP交⊙O于点F，见中图。 因为∠ABF＝∠ABC＝∠C，所以，[来源:学科网] 由垂径定理知，AE过圆心O．[来源:学科网ZXXK] 【证法二】作切线AG，G、B在AC同侧，见右图。 由∠GAB＝∠C及∠ABF＝∠ABC＝∠C，可知AG∥BE． 又因为AE⊥BP，所以AE⊥AG于点A，再由垂径定理知AE过圆心O． 例5、【切线判定定理】如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，∠APB＝60°，连接PO并延长与⊙O交于点C，连接A