与反比例函数有关的图形面积-中考数学试题方法研究

与反比例函数有关的图形面积（反比例函数面积不变性） 方法归纳 （1） 解与反比例函数相关的图形面积多用割补法、平滑定理、铅锤高法等； （2） 反比例函数图像要画在直角坐标系中，因此反比例函数图像辅助线作法是作与坐标轴相垂直或平行的直线，以构造直角三角形、相似三角形或全等三角形。 （3）注意解题过程中尽量少参数化。牢记三种图形面积及结论： ①过反比例函数图像上任一点P（a、b）分别作x轴、y轴的垂线，它们与坐标轴所形成的矩形面积为|k|，始终不变，如图中的矩形OAPE、ODCF面积皆为|k|． ②过双曲线上任一点P（a、b）分别作x轴、y轴的垂线，连接P点、垂足、坐标原点，所构成的三角形面积不变，始终为|k|/2，如图中的三角形OCF、ODC、OEP、OPA面积皆为|k|/2； ③反比例函数上任两点与原点所形成的三角形面积与这两点向x、y轴作垂线所形成的梯形面积一致。如图中三角形OCP的面积与梯形ADCP的面积相等。我们可用割补法推理： ④CP/DE//AF； 其中①和②通常也被称为“反比例函数面积不变性”。 例题解析 例1、【割补法】如图，点A（m，1），B（2，n）在双曲线，连接OA，OB．若S△ABO＝8，则k的值是（　　） A．﹣12 B．﹣8 C．﹣6 D．﹣4 【答案】C 【解析】过点A作y轴的垂线，过点B作x轴的垂线，交于点C，连接OC， 设A（k，1），B（2，），则AC＝2﹣k，BC＝1﹣， ∵S△ABO＝8，则有S△ABC﹣S△ACO﹣S△BOC＝8，（割补法） 即（2﹣k）（1﹣k）﹣（2﹣k）×1﹣（1﹣k）×2＝8， 解得k＝±6，而由图可知k＜0， ∴k＝﹣6，故选C。 例2、【平滑定理】如图，一次函数y=ax+b的图像与x轴，y轴交于A,B两点，与反比例函数y＝（k＞0）的图像交于C，D两点，分别过C，D两点作y轴，x轴的垂线，垂足为E，F，连接CF，DE。有下列三个结论：①△CEF与△DEF面积相等；②EF//CD;③AC=BD。其中正确结论的序号是（ ） 【答案】①②③ 【解析】①设D的坐标为（），则F（x,0） 由函数的图像可知：x>0，k>0。 ∴ 同理可得 （平滑定理） ∴△CEF与△DEF面积相等 正确 ②由①知△CEF与△DEF面积相等，根据平滑定理可知：EF//CD 正确 ③∵EF//CD ，DF//BE，CE//AF ∴四边形BDFE，四边形CAFE为平行四边形 ∴AC= EF =BD 正确 例3、如图所示，反比例函数的图象经过矩形OABC的对角线AC的中点D．若矩形OABC的面积为8，则k的值为（　　） A．2 B． C． D． 【答案】A 【解析】如图，过D作DE⊥OA于E， ∵点D是矩形OABC的对角线AC的中点，且矩形OABC的面积为8， ∴，故选：A． 跟踪练习 1、如图，直线AB与双曲线交于点A、B，点是直线AB上一动点，且点P在第二象限，连接PO并延长交双曲线于点C．过点P作PD⊥y轴，垂足为点D．过点C作CE⊥x轴，垂足为E．若点A的坐标为(-1,3)，点B的坐标为(m,1)，设△POD的面积为，△COE的面积为．当>时，点P的横坐标x的取值范围为　 ． 2、如图，函数y＝－x与函数的图象相交于A，B两点，过A，B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为C，D，则四边形ACBD的面积为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 3、如果一个正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，那么（x2－x1）（y2－y1）的值为________． 4、如图，已知直线与双曲线交于A，B两点，将线段AB绕点A沿顺时针方向旋转60°后，点B落在点C处，双曲线经过点C，则的值是_____． 5、【平滑定理】如图，在平直角坐标系中，过x轴正半轴上任意一点P作y轴的平行线，分别交函数的图象于点A、点B．若C是y轴上任意一点，则△ABC的面积为（　　） A．9 B．6 C． D．3 6、如图，是反比例函数图象上一点，B是反比例函数图象上一点，连接AB交轴于点C，若AC=BC，，则k=______． 7、如图所示，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，P是反比例函数图像 上的任意一点，以P为圆心、PO为半径的圆与x、y轴分别交于点A、B． (1)判断点P是否在线段AB上，并说明理由． (2)求△AOB的面积． (3)Q是反比例函数图像上异 于点P的另一点，请以Q为圆心，QO为半径画圆， 并与x、y轴分别交于点M、N，连接AN、MB．求证：AN//MB． 1、【答案】-3<x<-1 【解析】在双曲线上，∴k=-1×3=-3 点B(m,1)在上，解得m=-