一元二次方程根与系数或方程的关系解题方法和策略-中考数学试题方法研究

初中数学：中考常见填空题型根与系数的关系解题方法和策略 一、基本知识原理 设一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根分别为x1 ，x2 ，则有 根与系数的关系：x1 +x2 = -(b/a)；x1 x2 =c/a ； 根与方程的关系：ax12+bx1+c=0 ，ax22+bx2+c=0 。 完全平方公式： 2、 解题方法与策略 对于中考数学中这种常见填空题型，出题方式一般是，条件中直接告诉方程有两个根，但通常不会告诉这两个根的具体值，就算你用求根公式可以解出根的具体值，看起来非常繁琐，也不利于求解。 所以，对于这种题目我们的解题方法与策略是：（1）运用根与系数的关系，先求出方程两个根的和与积；（2）对方程进行适当变形，使二次项转化为一次项或常数；或对所求代数表达式进行适当的变形，使其变为含有两根的和或积的形式；（3）代入两个根的和与积，或者代入根与方程的关系，进行计算，问题便迎刃而解。 三、例题详解 例1、已知a，b是一元二次方程x2﹣2x﹣2020＝0的两个根，则a2+2b﹣3的值等于　 　 解：由题意可知：a2﹣2a＝2020， （对方程进行适当的变形，使高次项转化为一次项或常数） 由根与系数的关系可知：a+b＝2， （根据方程求出两个根的和） ∴原式＝a2﹣2a+2a+2b﹣3 （对所求代数表达式进行适当的变形，使表达式中含有两根之和的形式；） ＝2020+2（a+b）﹣3 ＝2020+2×2﹣3＝2021 例2、一个直角三角形的两条直角边的长度恰好是方程2x2－8x＋7＝0的两个根，则这个直角三角形的斜边长是 . 解：x1 +x2 = 4；x1 x2 = （先求出方程两个根的和与积） 设直角三角形的斜边长为c，则有 （对所求代数表达式进行适当的变形，使表达式中含有两根之和的形式） 例3、已知：3a2﹣6a﹣11＝0，3b2﹣6b﹣11＝0，且a≠b，则a4﹣b4＝　 　． 解：由题意可知：a、b是方程3x2﹣6x﹣11＝0的两解，且a≠b， ∴a+b＝2，ab＝﹣，（先求出方程两个根的和与积） ∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab ＝， （a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab ＝， ∴a﹣b＝± ∴原式＝（a+b）（a﹣b）（a2+b2）（对所求代数表达式进行适当的变形） ＝±2×× ＝± 例4、已知关于x的方程x2-4x+k-1=0的两根之差等于6，那么k　 　． 解：设方程的两根为a、b， ∴a+b=4 , ab = k-1 （a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab = 42 -4(k-1)=36 解得：k=-4 例5、设m、n是一元二次方程x2-2018x+1=0的两个实数根，则代数式 2017m2+2018n2-2018n-2017×20182 的值为（ ） 解：由已知得m+n = 2018 , mn=1（先求出方程两个根的和与积） m2+n2 =(m+n)2 -2mn = 20182 -2 （利用和与积化简高次项为常数） ∴2017m2+2018n2-2018n-2017×20182 （对所求代数表达式进行适当的变形） = 2017(m2+n2) + n2 -2018n-2017×20182 = 2017( 20182 -2)-1-2017×20182 = -4035 练习： 1、若a是方程x2﹣3x+1=0的根，计算：　（ ） 2、若实数a、b满足等式a2=7﹣3a，b2=7﹣3b，则代数式之值为（　　） A．﹣ B． C．2或﹣ D．2或 3、已知a是方程2x2+2x﹣3=0的一个根，则= 　 4、已知、是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于（ ） A. B. C. D. 答案与解析： 1、 答案 0 2、 答案C 分为两种情况 ①a=b，则原式=2 ②a≠b，则a,b是方程的两根 则a+b=-3 ab=-7 而 3、 答案 由已知得2a2+2a﹣3=0 即 4、【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的定义得到，则，再利用根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：是一元二次方程的实数根， ， ， ， ，是一元二次方程的两个实数根， ， ． 故选：． 学科网（北京）股份有限公司 $$