角平分线的四种辅助线作图技巧-中考数学试题方法研究

角平分线的四种辅助线作图技巧 （1）有角平分线时，常过角平分线上的关键点向角两边做垂线，利用角平分线上的点到角两边距离相等证题。 例1、【初二】如图所示，在△ABC中，内角∠BAC与外角∠CBE的平分线相交于点P，BE＝BC，PB与CE交于点H，PG∥AD交BC于F，交AB于G，连接CP．下列结论：①∠ACB＝2∠APB；②S△PAC：S△PAB＝AC：AB；③BP垂直平分CE；④∠PCF＝∠CPF．其中，正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【解析】∵PA平分∠CAB，PB平分∠CBE， ∴可设∠DAP=∠EAP=∠1，∠CBP=∠EBP=∠2； ∴∠ACB=180º-2∠1-(180º-2∠2)=2(∠2-∠1)； ∠APB=180º-∠1-(180º-∠2)=∠2-∠1；∴∠ACB＝2∠APB；故①正确； 过P作PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，PS⊥BC于S， 由角平分线的性质知PM＝PN＝PS，∴PC平分∠BCD， ∵S△PAC：S△PAB＝（AC•PN）：（AB•PM）＝AC：AB；故②正确； ∵BE＝BC，BP平分∠CBE，∴BP垂直平分CE（三线合一），故③正确； ∵PG∥AD，∴∠FPC＝∠DCP ∵PC平分∠DCB，∴∠DCP＝∠PCF， ∴∠PCF＝∠CPF，故④正确．故选：D． （2）有与角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长，构造全等三角形 例2、【初二】如图，△ABC中，BC＝10，AC﹣AB＝4，AD是∠BAC的角平分线，CD⊥AD，则S△BDC的最大值为　 　． 【答案】10 【解析】延长AB，CD交点于E，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠EAD， ∵CD⊥AD，∴∠ADC＝∠ADE＝90°， ∵ ∴△ADE≌△ADC（ASA），∴AC＝AE，DE＝CD； 又AC﹣AB＝4，∴AE﹣AB＝4，即BE＝4； ∵DE＝DC，∴S△BDC＝S△BEC，∴当BE⊥BC时，S△BDC面积最大， 即S△BDC最大面积＝××10×4＝10．故答案为10． （3）有角平分线时常在角两边截取相等的线段，构造全等三角形 例3、【初二】已知，如图，AD为△ABC的中线且∠1 = ∠2，∠3 = ∠4，求证：BE+CF>EF 【证明】在DA上截取DN=DB，∵DE为公共边，∠1 = ∠2， ∴△DEN≌△DFN，∴BE=EN, AD为△ABC的中线，DF为公共边，∠3 = ∠4， ∴△DFN≌△DFC，∴NF=FC 而在同一三角形ENF中EN+NF>EF，∴BE+CF>EF得证。 （4）有两条角平分线交于一点时，常连接第三个顶点与角平分线的交点；并观察三角形两角和的一半是否为特殊角 例4、【初三】在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BE平分∠ABC，AD、BE相交于点F，且AF=4，EF=，则AC=　 　． 【答案】 【解析】作EG⊥AF，连接CF， ∵∠C=90°，∴∠CAB+∠CBA=90°， 又AD平分∠CAB,BE平分∠CBA, ∴∠FAB+∠FBA=45°，∴∠AFE=45°， 在Rt△EGF中，∵EF=,∠AFE=45°，∴EG=FG=1， 又∵AF=4,∴AG=3,∴， ∵AD平分∠CAB,BE平分∠CBA,∴CF平分∠ACB,∠ACF=45°， ∵∠AFE=∠ACF=45°，∠FAE=∠CAF， ∴△AEF∽△AFC，∴ ； 提示：题目中有边长为时，判断是否可以以此边构造等腰直角三角形。 六、角平分线在抛物线解题中的妙用 练习：如图1，抛物线y＝﹣x2+kx+c与x轴交于A和B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），点D是抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式和顶点D的坐标； （2）点P在x轴上，直线DP将△BCD的面积分成1：2两部分，请求出点P的坐标； （3）如图2，作DM⊥x轴于M点，点Q是BD上方的抛物线上一点，作QN⊥BD于N点，是否存在Q点使得△DQN∽△DBM？若存在，请 直接写出Q坐标；若不存在，请说明理由． 重要总结：任意选取一条边，在这条边上找到一点，使这点把该边分为1∶2，连接这点和这个点·所在边的对角顶点，得到两个小三角形，这两个三角形面积比就是1∶2， 【解答】解：（1）将B（3，0）、C（0，3）代入y＝﹣x2+kx+c得： ，解得：， ∴抛物线表达式为：y＝﹣x2+2x+3， 则点D的坐标为（1，4）； （2）取BC的三等分点E、F，作EG⊥x轴于点G，FH⊥x轴于点H， ∵B（3，0） ∴由平行线分线段成比例的性质可得：OG＝GH＝HB＝1． 由B（3，0）、C（0，3）可得BC的直线表达式为：y＝﹣x+3， ∴E（1，2）、F（2，1）， ∴P1坐标为（1，