二次函数压轴题之六种线段和差、周长最值问题-中考数学试题方法研究

中考数学二次函数压轴题之六种线段和差、周长最值问题（原理方法与例题详解） 中考数学压轴题中，与二次函数有关的最值问题有很多，变化多端，今天我们先只讨论与线段最值有关的问题，从原理方法与例题详解。 一、二次函数中常见的关于线段的最值问题有： （1）单线段最值问题 （2）两条线段之和的最值 （3）线段之差绝对值的最值 （4）三条线段之和的最值问题 （5）三角形周长最值 （6）矩形周长最值 2、 理论依据 （1） 垂线段最短 （2） 两点之间线段最短 （3） 点关于线对称 （4） 线段的平移 （5） 三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 （6） 二次函数的最值问题 三、例题详解 3.1、单线段最值问题 原理：垂线段最短 例1、已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P的横坐标为t． （1）求抛物线的表达式； （2）设抛物线的对称轴为l，l与x轴的交点为D．在直线l上是否存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． （3）如图2，连接BC，PB，PC，设△PBC的面积为S． ①求S关于t的函数表达式； ②求P点到直线BC的距离的最大值，并求出此时点P的坐标． 解：（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入y=﹣x2+bx+c， 解得抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3． （2）在图1中，连接PC，交抛物线对称轴l于点E， ∵抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点， ∴抛物线的对称轴为直线x=1． 当t=2时，点C、P关于直线l对称，此时存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形． ∵抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3， ∴点C的坐标为（0，3），点P的坐标为（2，3）， ∴点M的坐标为（1，6）； 当t≠2时，不存在，理由如下： 若四边形CDPM是平行四边形，则CE=PE， ∵点C的横坐标为0，点E的横坐标为1， ∴点P的横坐标t=1×2﹣0=2． 又∵t≠2， ∴不存在． （3）①在图2中，过点P作PF∥y轴，交BC于点F． 设直线BC的解析式为y=mx+n（m≠0）， 将B（3，0）、C（0，3）代入y=mx+n， ∴直线BC的解析式为y=﹣x+3． ∵点P的坐标为（t，﹣t2+2t+3），∴点F的坐标为（t，﹣t+3）， ∴PF=﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）=﹣t2+3t， ∴S=PF•OB=﹣t2+t=﹣（t﹣）2+． ②∵﹣＜0， ∴当t=时，S取最大值，最大值为． ∵点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3）， ∴线段BC==3， （原理：垂线段最短） ∴P点到直线BC的距离的最大值为=，此时点P的坐标为（，）． 3.2、两条线段之和的最值 原理：两点之间线段最短、对称性 例2、如图，已知抛物线y=﹣x2+mx+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0） （1）求m的值及抛物线的顶点坐标． （2）点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标． 解：（1）把点B的坐标为（3，0）代入抛物线y=﹣x2+mx+3得：0=﹣32+3m+3， 解得：m=2， ∴y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4， ∴顶点坐标为：（1，4）． （2）连接BC交抛物线对称轴l于点P，则此时PA+PC的值最小， 设直线BC的解析式为：y=kx+b， ∵点C（0，3），点B（3，0）， ∴， 解得：， ∴直线BC的解析式为：y=﹣x+3， 当x=1时，y=﹣1+3=2， ∴当PA+PC的值最小时，点P的坐标为：（1，2）． 3.3、线段之差绝对值的最值 原理：三角形两边之差小于第三边、对称性 例3、如图，平面直角坐标系中，四边形OABC是直角梯形，AB∥OC，OA＝5，AB＝10，OC＝12，抛物线y＝ax2+bx经过点B、C． （1）求抛物线的函数表达式； （2）一动点P从点A出发，沿AC以每秒2个单位长度的速度向点C运动，同时动点Q从点C出发，沿CO以每秒1个单位长度的速度向点O运动，当点P运动到点C时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，△PQC是直角三角形？ （3）问在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得|MO﹣MB|的值最大？若存在，直接写出最大值和点M的坐标；若不存在，请说明理由． 解：（1）y＝﹣x2+3x （2）根据勾股定理，AC＝＝＝13，∵点P沿AC以每秒2个单位长度的速度向点C运动，点Q沿CO以每秒1个单位长度的速度向点O运动，∴点P运动的时间为：13÷2＝6.5秒， CP＝AC﹣AP＝13﹣2t，CQ＝t，∵∠ACO≠90°，∴分∠PQC＝90°和∠CPQ＝90°两种情况