二次函数 系数之间关系的判断-中考数学试题方法研究

初中数学：根据二次函数图像判断各系数之间的关系（巧用特殊值代入法） 基本原理 抛物线与系数之间的关系 已知二次函数y=ax2+bx+c，（a≠0, a、b、c为各项系数） 1、a与抛物线的开口方向及大小之间的关系 抛物线开口向上 a>0， 抛物线开口向下 a<0， |a|越大，抛物线的开口越小 |a|越小，抛物线的开口越大 2、 a、b决定抛物线的对称轴 以及 二次函数的最大最小值 1）抛物线对称轴的表达式：x= − b/(2a) ① b=0时，对称轴为x=0，即y轴； ②当a、b同号时，对称轴<0，即对称轴在y轴左侧； ③当a、b异号时，对称轴>0，即对称轴在y轴右侧； 2） 二次函数的最值 ① 当a>0时，二次函数在x= − b/(2a) 处，取最小值（4ac - b²）/4a ② 当a<0时，二次函数在x= − b/(2a) 处，取最大值（4ac - b²）/4a 3、 c即抛物线与y轴的交点 因为对于二次函数y=ax2+bx+c，当x=0时，y=c； C>0 、C=0、C<0 ，抛物线与坐标轴分别交于y轴正半轴、原点、y轴负半轴。 4、 △ = b²- 4ac 决定抛物线与x轴的交点个数 1 当△ > 0时，抛物线与x轴有两个交点 2 当△ = 0时，抛物线与x轴有一个交点 3 当△ <0时，抛物线与x轴无交点 二、数形结合：代入特殊值 在确定了抛物线的开口方向、对称轴、最值，以及与坐标轴的交点后，往往只能解决前面一些较为简单的问题。我们还需要依据图形，代入特殊值，才能解决题目中较难的问题。 代入的特殊值一般有x= -1， x= 1， x= -2 ，x=2，x=对称轴 等，以及图形中标出的特殊数值，将这些特殊值代入二次函数解析式中，求出函数值，然后结合图像 （1） 与0作比较，判断表达式正负； （2）与函数最值作比较：若抛物线开口向下，抛物线上所有点的函数值小于最值；若抛物线开口向上，抛物线上所有点的函数值大于最值； （2） 如果有一次函数，在特殊点（即已知横坐标的点）结合图像与一次函数值作比较； （4）有时需要代入特殊值后，将得到的关于a、b、c表达式进行加减乘除运算等。 下面我们结合例题进行详细讲解： 三、例题解析 例1、如图所示，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x=1.直线y=﹣x+c与抛物线y=ax2+bx+c交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，则下列结论：①2a+b+c＞0；  ②a﹣b+c＜0；  ③x（ax+b）≤a+b；  ④a＜﹣1.其中正确的是（   ） A. ①②③④                                B. ①②③                                 C. ②③                    D. ①② 解：∵抛物线与y轴的交点在x轴上方， ∴c＞0， ∵抛物线的对称轴为直线x＝− b/(2a) ＝1， （利用对称轴公式得出a、b的关系） ∴b＝−2a， ∴2a＋b＋c＝2a−2a＋c＝c＞0，所以①正确； ∵抛物线与x轴的一个交点在点（3，0）左侧， 而抛物线的对称轴为直线x＝1， ∴抛物线与x轴的另一个交点在点（−1，0）右侧， ∴当x＝−1时，y＜0， （代入特殊值x＝−1，结合图像将函数值与0作比较） ∴a−b＋c＜0，所以②正确； ∵x＝1时，二次函数有最大值，（代入特殊值x＝1，得出函数最大值，二次函数的所有值都小于最大值） ∴ax2＋bx＋c≤a＋b＋c， ∴ax2＋bx≤a＋b，所以③正确； ∵直线y＝−x＋c与抛物线y＝ax2＋bx＋c交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3， ∴x＝3时，一次函数值比二次函数值大， 即9a＋3b＋c＜−3＋c，（代入特殊值x＝3，结合图像将二次函数值与一次函数值作比较） 而b＝−2a， ∴9a−6a＜−3，解得a＜−1，所以④正确. 故答案为：A. 例2、如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为（0.5，1），下列结论：①ac＜0；②a+b=0；③4ac﹣b2=4a；④（a+c）2﹣b2＜0．其中正确的个数是（   ） A. 1个  B. 2个  C. 3个   D. 4个 解：由图像可知： ①a<0, c>0 ∴ac＜0 正确 ②∵顶点的横坐标为0.5 ∴ x＝− b/(2a) ＝1/2 （利用对称轴公式得出a、b的关系） ∴a+b=0 正确 ③