等积法的妙用-中考数学试题方法研究

等积法的妙用（推导平滑定理、求三角形高、面积） 方法归纳 等积法即等面积法（等体积法）的简称，在平面几何中是指同一个三角形面积相等或者两个三角形等底等高,则两个三角形面积相等。做题时，巧妙利用等积法可以简化运算过程。 等积法的应用： （1）在同一个三角形中，可以利用“同一个图形面积不变”的原理，已知三角形的面积或已知一条边及其对应的高，求另外一条边或其对应的高，从而使运算更简便。 （2）如果两个三角形等底等高,已知其中一个三角形的底、高或面积，求另外一个三角形的底、高或面积；如平滑定理： 例题解析 例1、【初二】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝BC＝BD＝2，AD＝1，则AC＝　 　． 我们用常规思路和等积法两种方法来计算本题，进行比较： 【解析▪法一】常规思路，利用勾股定理，构造方程求解 过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥AB交AB延长线于点F ∴∠AED＝∠BED＝∠F＝90° 设AE＝x，∵AB＝BC＝BD＝2，AD＝1∴BE＝AB﹣AE＝2﹣x ∵在Rt△ADE中，，在Rt△BDE中， ∴，即 解得：， ∵AB∥CD ∴CF＝DE ∴在Rt△BCF中，BF＝ ∴AF＝AB+BF＝ ∴在Rt△ACF中，AC＝ 【法二】利用等积法求解。如图，过B作BH⊥AD ∵ ∴DE=CF=BH×AD÷AB=（等积法）其余解题过程同方法一，看看这样求DE是不是简单多了？ 例2、【初三▪平滑定理】如图，在平面直角坐标系中，直线l1：与反比例函数的图象交于A，B两点（点A在点B左侧），已知A点的纵坐标是2； （1）求反比例函数的表达式； （2）根据图象直接写出的解集； （3）将直线l1：沿y向上平移后的直线l2与反比例函数在第二象限内交于点C，如果△ABC的面积为30，求平移后的直线l2的函数表达式． 【答案】（1）（2）x＜﹣4或0＜x＜4（3） 【解析】（1）∵直线经过点A，A点的纵坐标是2，∴A（﹣4，2）， ∵反比例函数的图象经过点A，∴k＝﹣4×2＝﹣8， ∴反比例函数的表达式为； （2）∵直线l1：与反比例函数的图象交于A，B两点，知B（4，﹣2）， ∴不等式的解集为x＜﹣4或0＜x＜4； （3）如图，设平移后的直线l2与x轴交于点D，连接AD，BD， ∵CD∥AB，∴△ABC的面积与△ABD的面积相等，（等积法） 可知S△AOD+S△BOD＝30，即OD（|yA|+|yB|）＝30， ∴OD×4＝30，解得OD＝15，∴D（15，0）， 设平移后的直线l2的函数表达式为（两直线平行，斜率k相等为） 代入D（15，0），可得0＝﹣×15+b，解得 ∴平移后的直线l2的函数表达式为。 跟踪练习 1、【初二▪坐标】如图，在平面直角坐标系中，△ABC ≌ △DEF，AB=BC=5,若点A的坐标为(-3,1)，点B、C在直线y=-3上，点D在y轴的正半轴上，且点E的坐标为(0,-1)，则点F的坐标为（        ） 2、【初二】如图．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是斜边上的中点，点P在AB上，PE⊥BD于E，PF⊥AC于F，若AB＝6，BC＝3，则PE+PF＝（　　） A． B． C． D． 3、【初三】如图，在▱ABCD中，AB：AD＝3：2，∠ADB＝60°，那么cos∠A的值等于（　　） A． B． C． D． 1、【答案】F（4,2） 【解析】如图，作FH⊥DE于点H，CG⊥AB于G。 ∵点A到直线BC的距离为AK=1-(-3)=4 即F点横坐标 ∵△ABC的面积 = BC×AK = AB×GC（等积法） 而AB = BC ∴ AK = GC = 4 ∵△ABC ≌ △DEF ，EF=BC=5 ∴FH = CG = 4 ∴EH=3 （根据勾股定理） 而E(0,-1) ∴HO = 3-1=2 即F点纵坐标F（4,2） 2、【答案】A 【解析】如图过点B作BM⊥AC于M，连接PD． ∵∠ABC＝90°，点D是斜边上的中点，AB＝6，BC＝3， ∴BD＝AD＝DC，， ∵（等积法），∴BM＝， ∴S△ABD＝S△ADP+S△BDP（等积法）， ∴ ∴PE+PF＝BM＝．故选：A． 3、【答案】A 【解析】作AF⊥DB于F，作DE⊥AB于E．设DF＝x，则AD＝2x， ∵∠ADB＝60°，∴AF＝x， 又∵AB：AD＝3：2，则AB＝3x，于是BF＝x， ∴有3x•DE＝（等积法），，sin∠A＝， cos∠A＝．故选：A． 学科网（北京）股份有限公司 $$